基于四線性平行因子的機(jī)械故障盲分離方法

朱亞靜，李志農(nóng)，，楊曉飛，李澤東，陶俊勇

(1.南昌航空大學(xué) 無損檢測(cè)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌 330063;2.國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410073)

1 引言

盲分離(blind source separation，BSS)可以在源信號(hào)和信號(hào)傳輸?shù)幕旌贤ǖ赖认闰?yàn)知識(shí)未知的情況下分離觀測(cè)信號(hào)獲取有用源信號(hào)。傳統(tǒng)機(jī)械故障盲分離方法中常采用二階統(tǒng)計(jì)量的方法進(jìn)行混合矩陣和源信號(hào)的估計(jì)，例如，劉歡[1]在風(fēng)力機(jī)主軸承的故障診斷中引入二階統(tǒng)計(jì)量BSS算法該應(yīng)用取得了良好的效果。文獻(xiàn)[2]中將EMD和ICA相結(jié)合用于去除風(fēng)電機(jī)機(jī)組的強(qiáng)干擾信息，分離混合信號(hào)得到源信號(hào)估計(jì)。但是這些傳統(tǒng)的源數(shù)估計(jì)方法和故障源信號(hào)識(shí)別方法均屬于二維數(shù)據(jù)處理方法，采用矩陣分解，需要添加一些約束或者限制條件(比如恒模約束以及正交約束)才能使其分解具有唯一性。實(shí)際應(yīng)用中并不能滿足這些苛刻的約束條件，因此需要研究新的方法來解決這些不足。

PARAFA因分解具有唯一性而備受關(guān)注。PARAFAC概念開始于心理學(xué)領(lǐng)域，后來快速的在許多領(lǐng)域得到發(fā)展和應(yīng)用[3]。尤其，PARAFAC能夠充分利用信號(hào)的代數(shù)性質(zhì)使其在通訊和機(jī)械故障信號(hào)處理等領(lǐng)域發(fā)展迅速，其主要通過多維數(shù)據(jù)的擬合迭代求得各種參數(shù)估計(jì)[4-5]。楊若男等[6]為了解決SIMO-OFDM系統(tǒng)下的信道估計(jì)和符號(hào)檢測(cè)問題，建立了PARAFAC模型，利用此模型中的行滿秩特性，并且結(jié)合奇異值分解，提出了一種聯(lián)合盲估計(jì)的求解方法，成功減少了計(jì)算的復(fù)雜度，同時(shí)也避免了性能下降的問題。但是實(shí)際的應(yīng)用中，使用現(xiàn)有的三線性平行因子方法實(shí)現(xiàn)機(jī)械故障的診斷時(shí)，只能對(duì)采集信號(hào)的傳感器數(shù)目，振動(dòng)信號(hào)的分段數(shù)以及每個(gè)數(shù)據(jù)段包含的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)信息進(jìn)行建模，振動(dòng)信號(hào)中的時(shí)間序列信息被完全忽略，振動(dòng)信號(hào)包含的信息不完整，所以有必要將三維平行因子方法擴(kuò)展至四維。目前，三線性平行因子向四線性平行因子的擴(kuò)展有許多的進(jìn)展。Shang F[7]在三線性平行因子模型的基礎(chǔ)上，加入一個(gè)維度使其成為四線性平行因子模型，進(jìn)行四維數(shù)據(jù)的獲取與分析，結(jié)果表明四線性平行因子比三線性平行因子效果更好。文獻(xiàn)[8]中通過使用模擬和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集比較PARAFAC和四線性PARAFAC，結(jié)果表明四線性PARAFAC可以從數(shù)據(jù)中提取更多的信息，而且證實(shí)了與三線性平行因子分解算法相比四線性平行因子具有更高的參數(shù)估計(jì)精度。隨著研究的深入諸多文獻(xiàn)均表明四線性PARAFAC比三線性PARAFAC有更好的應(yīng)用價(jià)值。

基于以上理念，本文中提出了一種基于四線性平行因子的機(jī)械故障源盲分離方法，四線性盲分離模型相比于傳統(tǒng)的盲分離優(yōu)勢(shì)明顯，主要表現(xiàn)在：分解在寬松條件下具有唯一性，可擴(kuò)展范圍廣，利用數(shù)學(xué)分離的思想代替?zhèn)鹘y(tǒng)的信號(hào)分離的思想。該方法相比于在傳統(tǒng)平行因子分解算法主要優(yōu)勢(shì)主要表現(xiàn)在：① 在三維的基礎(chǔ)引入第四維解決振動(dòng)信號(hào)時(shí)序信息被忽略的問題，數(shù)據(jù)包容量大，建模時(shí)包含的信息更加完整；② 在寬松條件下分解具有唯一性，可擴(kuò)展范圍廣。利用四線性交替最小二乘進(jìn)行迭代擬合，收斂更加平穩(wěn)，預(yù)測(cè)能力更強(qiáng)。

2 四線性平行因子理論基礎(chǔ)

四維矩陣X∈CI×J×K×L的四線性成分模型分解示意圖如圖1。

圖1 四線性成分模型分解直觀分解示意圖Fig.1 Intuitive decomposition diagram of quadrilinear component model decomposition

其中，X是一個(gè)四維矩陣，將X分解為大小分別為I×R，J×R，K×R，N×R的相關(guān)矩陣A，B，C，D。G是一個(gè)四維核對(duì)角矩陣，維數(shù)為I×J×K×N，并且超對(duì)角元素為1，其他元素為0。E為一個(gè)I×J×K×N四維殘差矩陣。

矩陣X∈CI×J×K×N的四線性成分模型標(biāo)量形式通常可以表示為：

(1)

其中，A∈CI×R，B∈CJ×R，C∈CK×R，D∈CN×R分別為四線性成分模型的4個(gè)承載矩陣。k=1，2,…,K，n=1，2,…,N，i=1，2,…,I，j=1，2,…,J，E∈CI×J×K×N為四維殘差矩陣。

四線性平行因子模型是將四線性成分模型中的四維矩陣X鋪展成二維矩陣形式，沿4個(gè)方向進(jìn)行交替分解得到，有4種表述形式：

(2)

其中，Di(A)，Dj(B)，Dk(C)，Dn(D)為對(duì)角化算子，Di(A)表示矩陣其余的位置均為零，主對(duì)角線元素以矩陣A的第i行作為元素的新生成矩陣。其他對(duì)角化算子表示的含義與Di(A)表示的含義相似。

3 四線性平行因子盲分離模型

線性瞬時(shí)混疊模型可以表示為：

X(t)=Α(t)·S(t)+E(t)

(3)

式中：X(t)=[x1(t)，x2(t)，…,xN(t)]T為N維觀測(cè)信號(hào)；S(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sM(t)]T為M個(gè)源信號(hào)；Α(t)是維度為N×M的混合矩陣；E(t)是噪聲信號(hào)。假定一個(gè)時(shí)間段內(nèi)每個(gè)觀測(cè)信號(hào)的數(shù)據(jù)點(diǎn)為L(zhǎng)個(gè)(共N個(gè)傳感器)，將觀測(cè)信號(hào)中心化處理，接著將處理后的觀測(cè)信號(hào)平均截成不會(huì)重復(fù)的數(shù)據(jù)段J個(gè)，每一個(gè)數(shù)據(jù)段里面含有的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng)/J個(gè)，令L/J等于K。采樣時(shí)間為t，每一段數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的采集時(shí)間為h，則共分為t/h個(gè)時(shí)間段記其為I。則式(3)可以表示為：

X(i，h)=A·S(i，h)+E(i，h)

(4)

計(jì)算各段時(shí)滯協(xié)方差矩陣Rk：

Rk(tk，h)=ARx(tk，h)AT

(5)

其中，k=1，2,…,K，序號(hào)tk表示t內(nèi)第k個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，式中：

(6)

假設(shè)每個(gè)源信號(hào)均不相關(guān)，則塊時(shí)滯協(xié)方差矩陣化可以化為對(duì)角矩陣，令這個(gè)對(duì)角矩陣為B，則式(5)化為

Rk(tk，h)=Adiag(B)AT

(7)

接著計(jì)算一個(gè)時(shí)間段內(nèi)N個(gè)觀測(cè)信號(hào)的源時(shí)滯協(xié)方差Rn：

Rn(tn，h)=ARS(tn，h)AT

(8)

式中tn表示t內(nèi)第n個(gè)觀測(cè)信號(hào)，式(8)中RS(tn，h)可以表示為：

(9)

將源時(shí)滯協(xié)方差矩陣化為對(duì)角矩陣，并令這個(gè)對(duì)角矩陣為C，則式(7)化為：

Rn(tn，h)=Adiag(C)AT

(10)

所有的源時(shí)滯協(xié)方差矩陣和塊時(shí)滯協(xié)方差矩陣疊加為三階張量，并且將這個(gè)三階張量記為Rk，n：

(11)

其中，diag(A)，diag(B)，diag(C)，diag(D)是載荷矩陣A，B，C，D的對(duì)角陣。k=1，2，…，K，n=1，2，…，N。K×N個(gè)切片累積成N×J×K×I的四維形式，R為最佳組分?jǐn)?shù)，則其四線性平行因子標(biāo)量形式可表示為：

(12)

式中，r=1，2，…，R，并且n=1，2，…，N，j=1，2，…，J，i=1，2，…，I，k=1，2，…，K，式(12)即為四線性平行因子盲分離模型。

4 四線性平行因子的分解

kA+kB+kC+kD≥2R+3

(13)

則在寬松條件下，A，B，C，D可唯一確定，也就是X的K秩分解具有唯一可以確定，即四線性分解具有唯一性。其中，kA，kB，kC，kD分別是載荷矩陣A，B，C，D的秩，R表示四線性平行因子模型中的成分?jǐn)?shù)。

四線性平行因子用四線性交替最小二乘方法(quadrilinear alternating least square，QALS)完成四線性平行因子模型的擬合迭代，其基本思路是每一步更新一個(gè)矩陣，更新辦法是：對(duì)余下的矩陣，依據(jù)前一次估計(jì)的結(jié)果，利用最小二乘法來更新，該形式的更新迭代過程一致重復(fù)，直至算法收斂。相比于三線性迭代方法，該方法擬合精度更高，表現(xiàn)更平穩(wěn)，收斂速度更快。一般來講，迭代過程是通過初始化承載矩陣B，C，D，然后根據(jù)式(14)求出A，根據(jù)求得的A，由式(15)、式(16)、式(17)依次分別求出矩陣B，C，D。循環(huán)該過程直至算法收斂。

A=XI×JKN[(B⊙D⊙C)T]+

(14)

B=XJ×KLI[(A⊙D⊙C)T]+

(15)

C=XK×NIJ[(B⊙D⊙A)T]+

(16)

D=XN×IJK[(B⊙A⊙C)T]+

(17)

四線平行因子分析的步驟為：

1) 估計(jì)最佳組分?jǐn)?shù)

2) 初始化3個(gè)載荷矩陣B，C，D

3) 由式(14)迭代計(jì)算A

4) 依據(jù)迭代計(jì)算的A由式(15)迭代計(jì)算B，依次計(jì)算C，D。

5) 重復(fù)步驟3)和4)，到收斂至滿足收斂準(zhǔn)則。

該算法可通過優(yōu)化式(18)所示的迭代函數(shù)實(shí)現(xiàn)X的分解:

(18)

四線性平行因子迭代的停止準(zhǔn)則是：

(19)

其中：上標(biāo)符號(hào)“+”含義為Moore-Penrose偽逆；⊙代表矩陣的Khatri-Rao積；ε殘余誤差的平方和，m為迭代次數(shù)。一般認(rèn)為ε為1×10-6，當(dāng)滿足式(19)就可以認(rèn)為算法收斂。

5 仿真研究

模擬兩組調(diào)制信號(hào)s1(t)，s2(t)來產(chǎn)生數(shù)據(jù)仿真說明算法有效性。信號(hào)s1(t)由基頻為70 Hz，調(diào)頻為30 Hz的信號(hào)和一頻率為150 Hz的正弦信號(hào)疊加而成。信號(hào)s2(t)由基頻為120 Hz，調(diào)頻為10 Hz的信號(hào)和一頻率為145 Hz的正弦信號(hào)疊加而成。

(20)

2組源信號(hào)的采樣頻率為Fs=3 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為N=10 240，源信號(hào)s1(t)，s2(t)的時(shí)域波形圖如圖2，幅值譜圖如圖3。

圖2 源信號(hào)時(shí)域波形圖Fig.2 Time domain waveform of Source signal

圖3 源信號(hào)幅值譜圖Fig.3 Amplitude spectrum of Source signal

源信號(hào)幅值譜圖如圖3(a)以及圖3 (b)所示，圖3(a)中源信號(hào)s1(t)和圖3(b)源信號(hào)s2(t)的所顯示的頻率均為基頻頻率和調(diào)頻頻率的疊加，s1(t)其特征頻率分別為40 Hz、70 Hz、100 Hz、150 Hz。s2(t)的所顯示的頻率也為基頻頻率和調(diào)頻頻率的疊加，其特征頻率分別為120 Hz、110 Hz、130 Hz、145 Hz。

為了得到虛擬的觀測(cè)信號(hào)將兩路觀測(cè)信號(hào)混疊為一路，這里選擇一個(gè)隨機(jī)混合矩陣A并且添加噪聲干擾得到混疊信號(hào)時(shí)域波形圖如圖4，得到混疊信號(hào)幅值譜圖如圖5。由圖4以及圖5可知中兩路仿真信號(hào)的源信號(hào)時(shí)域波形圖完全混疊在了一起，并且兩源信幅值均在混合幅值譜上顯示，其特征頻率分別為40 Hz、70 Hz、100 Hz、110 Hz、120 Hz、145 Hz、150 Hz，兩源信號(hào)幅值譜圖完全混疊，并且無法辨識(shí)兩源信號(hào)的特征頻率，表明兩路觀測(cè)信號(hào)已經(jīng)完全混疊。

圖4 混疊信號(hào)時(shí)域波形圖Fig.4 Time domain waveform of aliased signal

圖5 混疊信號(hào)幅值譜圖Fig.5 Amplitude spectrum of aliased signal

為了比較三線性和四線性的迭代平穩(wěn)性和以及迭代收斂性，比較仿真信號(hào)滿足三線性和四線性平行因子迭代的停止準(zhǔn)則時(shí)三線性和四線性平行因子迭代收斂過程中迭代函數(shù)值的變化以及迭代結(jié)束時(shí)的迭代次數(shù)，比較結(jié)果如圖6所示。由圖6可知，迭代結(jié)束時(shí)四線性平行因子的迭代次數(shù)明顯低于三線性平行因子，并且在迭代過程中，四線性迭代函數(shù)的值明顯比三線性低，表明四線性相比于三線性平行因子收斂性更好，意味著四線性在的估計(jì)精度更高估計(jì)誤差更小。

圖6 迭代次數(shù)曲線Fig.6 Comparison of iteration times of different methods

用四線性平行因子盲分離方法分離混疊信號(hào)波形圖得到的時(shí)域波形圖，如圖7(a)和圖7(b)。用四線性平行因子盲分離方法分離混疊信號(hào)波形圖恢復(fù)得到的幅值譜圖，如圖8(a)與圖8(b)。用三線性平行因子分離得到的時(shí)域波形圖，如圖9(a)和圖9(b);得到幅值譜圖，如圖10(a)與圖10(b)。

圖7 恢復(fù)信號(hào)時(shí)域波形圖(四線性平行因子)Fig.7 Time-domain waveform of recovered signal (quadrilinear parallel factors)

圖8 恢復(fù)信號(hào)幅值譜圖(四線性平行因子)Fig.8 Altitude spectrum of recovered signal (quadrilinear parallel factors)

由圖8可知，用四線性平行因子盲分離方法能夠分離分離混疊信號(hào)，由圖7(a)可知，其主要特征頻率主要為40 Hz、70 Hz、100 Hz、150 Hz，其與源信號(hào)s1(t)的特征頻率基本一致，所以用四線性平行因子盲分離算法分離混疊信號(hào)其可以識(shí)別源信號(hào)s1(t)。由圖8(b)可知，特征頻率主要為110 Hz、120 Hz、130 Hz、145 Hz，其與源信號(hào)s2(t)的特征頻率基本一致，所以用四線性平行因子盲分離算法分離混疊信號(hào)其可以識(shí)別源信號(hào)s2(t)。由圖7與圖2以及圖4的對(duì)比(即四線性平行因子盲分離方法分離得到的時(shí)域波形圖與源信號(hào)時(shí)域波形圖的對(duì)比以及混疊信號(hào)時(shí)域波形圖對(duì)比)可以發(fā)現(xiàn)四線性平行因子盲分離方法很好地分離了混疊信號(hào)，分離得到的時(shí)域波形圖與源信號(hào)時(shí)域波形圖相似度很高。

圖9 恢復(fù)信號(hào)時(shí)域波形圖(三線性平行因子)Fig.9 Time-domain waveform of recovered signal (trilinear parallel factors)

圖10 恢復(fù)信號(hào)幅值譜圖(三線性平行因子)Fig.10 Altitude spectrum of recovered signal (trilinear parallel factors)

由圖8與圖10的對(duì)比(即四線性平行因子盲分離方法分離得到的幅值譜圖與三線性平行因子盲分離方法分離得到的幅值譜圖對(duì)比)可知三線在分離時(shí)效果沒有四線性分離效果好。由圖8與圖3以及圖5的對(duì)比(即四線性平行因子盲分離方法分離得到的幅值譜圖與源信號(hào)幅值譜圖以及混疊信號(hào)幅值譜圖對(duì)比)可知，四線性平行因子盲分離方法成功分離了混疊信號(hào)，并且分離得到的信號(hào)特征頻率與兩源信號(hào)特征頻率一致，表明四線性盲分離算法可以有效地分離混合信號(hào)得到源信號(hào)。

盲源分離中通常用性能指數(shù)以及相似系數(shù)來評(píng)判分離效果的好壞，這里選擇相似系數(shù)來分析評(píng)定。將混疊信號(hào)分別用三線性平行因子盲分離算法以及4-PARAFAC-BASS分離算法的分離，然后計(jì)算相似系數(shù)。式(21)是相似系數(shù)值的計(jì)算方法，式中cov(·)為方差。一般認(rèn)為恢復(fù)信號(hào)與源信號(hào)越相似，則相似系數(shù)|ρij|的值越接近為1。若|ρij|值越大則表示分離效果越好，|ρij|值越小分離效果越不好。

(21)

用ρij在信噪比為20 dB時(shí)，PARAFAC-BSS分離算法與4-PARAFAC-BASS分離算法的分離性能，如表1所示。

表1 PARAFAC-BSS與4-PARAFAC-BSS的分離性能Table 1 Comparison of separation performance between PARAFAC-BSS and 4-PARAFAC-BSS

由表1可知，三線性平行因子盲源分離(PARAFAC-BSS)得到的相似系數(shù)分別是0.667 7與0.304 1與四線性平行因子盲源分離(4-PARAFAC-BSS)得到的相似系數(shù)0.932 0與0.746 4相比，四線性得到的相似系數(shù)的值更接近于1，由此可知四線性的分離效果更好。并且三線性分離中s2(t)的相似系數(shù)的值較低，分離效果很不好。綜上可知，表明四線性盲分離算法可以有效地分離混合信號(hào)得到源信號(hào)。并且四線性平行因子盲分離算法得到的分離效果比三線性平行盲分離算法得到的分離效果更好，證實(shí)了所提算法的有效性。

6 實(shí)驗(yàn)研究

用如圖11所示的實(shí)驗(yàn)裝置，驗(yàn)證所提四線性平行因子盲分離算法的有效性。用電火花加工技術(shù)分別在驅(qū)動(dòng)端軸承內(nèi)圈中央位置以及軸承外圈中央位置加工點(diǎn)蝕故障，故障直徑為0.007英寸，深度為0.011英寸。將加工過的故障軸承重新裝入測(cè)試電機(jī)中，在電機(jī)負(fù)載為0馬力的工況條件下工作，電機(jī)轉(zhuǎn)速1 796 r/min，相應(yīng)的轉(zhuǎn)頻為fr=29.17 Hz，采樣頻率為12 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為24 000，軸承內(nèi)圈的故障頻率為104.31 Hz，軸承外圈的故障頻率為143.95 Hz。當(dāng)電機(jī)1單獨(dú)運(yùn)行時(shí)用加速度傳感器采集到的振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)，截取0.4 s的振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)得到時(shí)域波形圖如圖11中(a)所示，當(dāng)電機(jī)2單獨(dú)運(yùn)行時(shí)用加速度傳感器2采集振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)，截取0.4 s的振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)得到時(shí)域波形圖如圖11中(b)所示。

圖11 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.11 Test bed

當(dāng)兩電機(jī)分別單獨(dú)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，采集數(shù)據(jù)，得到的兩源信號(hào)時(shí)域波形圖分別如圖12(a)與圖12(b)所示，幅值譜圖13(a)對(duì)應(yīng)特征頻率為電機(jī)轉(zhuǎn)頻29.17 Hz，軸承故障特征頻104.31 Hz，以及轉(zhuǎn)頻的二倍頻等以及故障特征頻率和轉(zhuǎn)頻的疊加影響頻率。幅值譜圖13(a)與圖13(b)所示分別對(duì)應(yīng)特征頻率為電機(jī)轉(zhuǎn)頻29.17 Hz，軸承故障特征頻率143.95 Hz，以及轉(zhuǎn)頻的二倍頻等以及故障特征頻率和轉(zhuǎn)頻的疊加影響頻率。

圖12 源信號(hào)時(shí)域波形圖Fig.12 Time-domain waveform of source signal

當(dāng)電機(jī)1和電機(jī)2同時(shí)運(yùn)行時(shí)得到雙通道混合信號(hào)時(shí)域波形圖如圖14(a)與圖14(b)所示，得到的幅值譜圖如圖15(a)與圖15 (b)所示。

圖13 源信號(hào)幅值譜圖Fig.13 Altitude spectrum of source signal

圖14 混疊信號(hào)時(shí)域波形圖Fig.14 Time domain waveform of aliased signal

圖15 混疊信號(hào)幅值譜圖Fig.15 A ltitude spectrum of aliased signal

由圖14的混疊信號(hào)時(shí)域波形圖與圖12源信號(hào)時(shí)域波形圖對(duì)比可知，每一個(gè)通道采集得到的振動(dòng)信號(hào)都是兩個(gè)電機(jī)同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)信號(hào)的疊加。由圖13的混疊信號(hào)的幅值譜圖與圖13的源信號(hào)幅值譜圖對(duì)比可知，圖15中兩源信號(hào)的特征頻率均同時(shí)在混合信號(hào)的幅值譜上顯示，無法辨識(shí)各源信號(hào)的特征頻率，所以兩源信號(hào)完全混合。

用四線性平行因子盲分離算法分解得到的時(shí)域波形圖如圖16(a)與圖16 (b)示，以及得到的幅值譜圖如圖17(a)與圖17(b)所示。

圖16 恢復(fù)信號(hào)的時(shí)域波形圖(四線性平行因子)Fig.16 Time domain waveform of recovered signal separated by quadrilinear parallel factor

圖17 恢復(fù)信號(hào)幅值譜圖(四線性平行因子)Fig.17 Altitude spectrum of recovered signal separated by quadrilinear parallel factor

由圖16可知，由圖17所示的四線性平行因子盲分離方法能夠分離分離混疊信號(hào)。由圖17中(a)可知，特征頻率主要為29.17 Hz、58.34 Hz、85.61 Hz、143.95 Hz，其分別對(duì)應(yīng)著電機(jī)轉(zhuǎn)頻、轉(zhuǎn)頻的二倍頻、二倍頻與故障頻率的疊加頻率、以及故障特征頻率。由其故障特征頻率為143.95 Hz可知，該頻譜為軸承外圈的故障。由圖17中(b)可知，特征頻率主要為29.17 Hz、104.31 Hz、208.61 Hz，其分別對(duì)應(yīng)著電機(jī)轉(zhuǎn)頻、故障特征頻率以及兩倍故障特征頻率。由其故障特征頻率為104.31 Hz可知，該頻譜為軸承內(nèi)圈的故障。由圖17與圖12以及圖14的對(duì)比(即四線性平行因子盲分離方法分離得到的時(shí)域波形圖與源信號(hào)時(shí)域波形圖的對(duì)比以及混疊信號(hào)時(shí)域波形圖對(duì)比)可以發(fā)現(xiàn)，分離得到的時(shí)域波形圖與源信號(hào)時(shí)域波形圖有很高的相似度，分離效果良好。由圖17與圖13以及圖15的對(duì)比(即四線性平行因子盲分離方法分離得到的幅值譜圖與源信號(hào)幅值譜圖以及混疊信號(hào)幅值譜圖對(duì)比)可知，四線性平行因子盲分離方法成功分離了混疊信號(hào)，并且分離得到的信號(hào)特征頻率與兩源信號(hào)特征頻率一致，但是由于盲分離本身模糊性的特性，會(huì)導(dǎo)致了盲分離得到的幅值譜圖排序次序出現(xiàn)顛倒或者互換，這種排序及波形幅值的變換并不影響分離結(jié)果的準(zhǔn)確性。從圖17可以看出分離得到的幅值譜圖除了排序及波形幅值有些變換外，恢復(fù)以及分離效果良好。四線性平行因子盲分離方法有效并且分離效果良好。

7 結(jié)論

本文提出基于四線性平行因子的機(jī)械故障盲分離方法，將三線性平行因子擴(kuò)展到四線性，彌補(bǔ)了三線性建模時(shí)只對(duì)振動(dòng)信號(hào)部分信息建模的缺陷，使數(shù)據(jù)包含的信息更完整。該方法在盲分離無需通道信息和源信號(hào)等先驗(yàn)知識(shí)的條件下能對(duì)分離出未知源信號(hào)，并且將盲分離與四線性平行因子在寬松條件下分解唯一性結(jié)合，在振動(dòng)信號(hào)特征提取和信號(hào)分離時(shí)能充分發(fā)揮2種算法的優(yōu)勢(shì)。并且該方法使用四線性最小二乘法進(jìn)行迭代擬合，相比于三線性平行因子迭代速度更快，迭代誤差更小，迭代精確度更高。最后利用仿真和實(shí)驗(yàn)證實(shí)了所提的四線性平行因子的機(jī)械故障盲分離方法可以很好地提取故障特征并分離混合源信號(hào)。