光子糾纏光纖陀螺的光路互易性分析

張桂才,馮 菁,馬 林

（天津航海儀器研究所,天津 300131)

0 引言

在干涉測(cè)量中,給定有限的資源（如光功率或光子數(shù)等),相位檢測(cè)靈敏度受光源或探測(cè)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)不確定性限制。研究證明,傳統(tǒng)光纖陀螺采用光的經(jīng)典態(tài)（比如激光器和寬帶光源),相位靈敏度受散粒噪聲限制[1]:Δ?=1/。其中,Δ?為相位誤差,N為Sagnac干涉儀的輸入光功率（或輸入光子數(shù))。另一方面,量子干涉測(cè)量技術(shù)采用光的非經(jīng)典態(tài)[2-4],基于被探測(cè)光子的糾纏特性,導(dǎo)致一種縮短的de Broglie波長(zhǎng),理論上可以突破經(jīng)典光纖陀螺的散粒噪聲極限,達(dá)到Heisenberg極限:Δ?=1/N,這為光纖陀螺提供了一種新的精度提升途徑[5-7]。

眾所周知,傳統(tǒng)光纖陀螺采用一個(gè)寬帶光源和一個(gè)探測(cè)器,輸入/輸出共用Sagnac干涉儀的一個(gè)端口,這種結(jié)構(gòu)構(gòu)成一種互易性光路,使Sagnac干涉儀中的兩束反向傳播的光束具有相同的傳輸特性[1,8],也即各種因素引起的兩束光的附加相移相同。采用互易性結(jié)構(gòu)使傳統(tǒng)Sagnac干涉儀的相位測(cè)量精度遠(yuǎn)超其它類型的光纖干涉儀,能夠檢測(cè)出優(yōu)于10-7rad～10-8rad（量級(jí))的微小相位差。另一方面,光子糾纏光纖陀螺同樣存在互易性問(wèn)題。一般情況下,光子糾纏光纖陀螺需要采用雙端口輸入/雙端口輸出的光路結(jié)構(gòu),這種光路結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)光纖陀螺完全不同,是否具備互易性尚未被人們充分認(rèn)識(shí)。

光子糾纏光纖陀螺作為一項(xiàng)前沿技術(shù),目前尚處于原理論證和理論探索階段,相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道還很少,且主要集中在Heisenberg極限靈敏度的理論分析方面,個(gè)別實(shí)驗(yàn)報(bào)道雖已產(chǎn)生量子增強(qiáng)效果,但其精度和實(shí)驗(yàn)手段距離實(shí)用還較遠(yuǎn)。本文主要對(duì)光子糾纏光纖陀螺的原理和誤差機(jī)制進(jìn)行研究,針對(duì)光子糾纏光纖陀螺通常采用雙端口輸入/輸出的光路特征,利用散射矩陣模型分析了非理想分束器的相位特性,理論推導(dǎo)了各種非經(jīng)典輸入態(tài)的二階符合輸出光強(qiáng)。在此基礎(chǔ)上,首次研究了光子糾纏光纖陀螺的光路互易性。

1 光子糾纏光纖陀螺的光路結(jié)構(gòu)

1.1 傳統(tǒng)光纖陀螺的光路互易性

傳統(tǒng)光纖陀螺的光路結(jié)構(gòu)如圖1所示,分束器（2×2光纖耦合器)和光纖線圈共同構(gòu)成Sagnac干涉儀（其它部分未示出)。Sagnac干涉儀有兩個(gè)輸入/輸出端口,分別稱為端口1和端口2。端口1的輸入場(chǎng)為a1,端口2沒(méi)有輸入場(chǎng),則從端口1輸出的順時(shí)針（cw)光波前后兩次通過(guò)光纖耦合器,先經(jīng)歷一次透射（傳輸)過(guò)程再經(jīng)歷一次耦合過(guò)程;從端口1輸出的逆時(shí)針（ccw)光波先經(jīng)歷一次耦合過(guò)程再經(jīng)歷一次透射（傳輸)過(guò)程。兩束反向傳播光波各經(jīng)歷了一次耦合和一次傳輸,累積相位差為零,經(jīng)典干涉輸出（端口1)必為中心明紋（1+ei?)形式。從端口2輸出的順時(shí)針（cw)光波兩次通過(guò)光纖耦合器,兩次經(jīng)歷透射（傳輸)過(guò)程;而從端口2輸出的逆時(shí)針（ccw)光波則兩次經(jīng)歷耦合過(guò)程。由于耦合光束相對(duì)反射光束存在相位差（理想情況下為π/2),這意味著即使陀螺靜止,兩束反向傳播光波之間也存在一個(gè)π弧度的累積相位差,干涉輸出必為中心暗紋 （1+ei（π+?)=1-ei?) 形式。 傳統(tǒng)光纖陀螺能夠檢測(cè)10-8rad（量級(jí))的微小相位,這意味著這個(gè)π弧度的相位差也應(yīng)具有相同量級(jí)的穩(wěn)定性。但實(shí)際中,光纖耦合器存在插入損耗,且插入損耗和分光比通常是不穩(wěn)定的,受環(huán)境溫度、振動(dòng)等的影響很大,這個(gè)π弧度的相位差也是不穩(wěn)定的,會(huì)在陀螺中產(chǎn)生較大的誤差或漂移。因此,在傳統(tǒng)光纖陀螺中,端口1通常稱為互易性端口,既是輸入信號(hào)端口,也是輸出信號(hào)端口,而端口2稱為非互易端口。傳統(tǒng)光纖陀螺這種輸入/輸出共享一個(gè)端口的互易性光路結(jié)構(gòu)確保了兩束反向傳播光波經(jīng)過(guò)光纖耦合器時(shí)歷經(jīng)的耦合相移和傳輸相移相等,從而使干涉信號(hào)的固有累加相移抵消為零,這是傳統(tǒng)光纖陀螺與其它光纖干涉儀（如M-Z干涉儀)相比具有較高相位檢測(cè)靈敏度的主要原因。

圖1 傳統(tǒng)光纖陀螺的互易性結(jié)構(gòu)Fig.1 Reciprocity structure of classical fiber optic gyroscope

1.2 采用雙環(huán)行器的光子糾纏光纖陀螺

在光子糾纏Sagnac干涉儀中,需要兩個(gè)輸入端口和兩個(gè)輸出端口,以便實(shí)現(xiàn)二階符合計(jì)數(shù)。實(shí)際中,為了實(shí)現(xiàn)輸入和輸出模式的有效分離,提出了一種采用雙環(huán)行器的Sagnac干涉儀結(jié)構(gòu),如圖2所示。

圖2 采用雙環(huán)行器的光子糾纏Sagnac干涉儀Fig.2 Photon entangled Sagnac interferometer with double circulators

在量子理論中,輸入/輸出場(chǎng)振幅均用湮滅算符表示,因?yàn)檫@些算符的行為類似經(jīng)典場(chǎng)中的復(fù)數(shù)場(chǎng)表示。假定a1、a2為對(duì)應(yīng)端口1和端口2的輸入,b1、b2為相應(yīng)端口的輸出。a1、a2、b1、b2對(duì)經(jīng)典來(lái)說(shuō)是場(chǎng)振幅,對(duì)量子來(lái)說(shuō)是場(chǎng)的湮滅算符,則Sagnac干涉儀的輸入輸出關(guān)系為

式（1)中的傳輸矩陣SSagnac可以寫為[9]

式（2)中,SBS1為光第一次經(jīng)過(guò)分束器時(shí)的傳輸矩陣,SBS2為光第二次經(jīng)過(guò)分束器時(shí)的傳輸矩陣,?為旋轉(zhuǎn)引起的Sagnac相移,S?為光纖線圈（可以看成一個(gè)相移器)的傳輸矩陣,（t1,r1)和（t2,r2)分別為從分束器兩側(cè)輸入時(shí)的振幅透射系數(shù)和振幅耦合系數(shù)。對(duì)于分立光學(xué)元件或空間光學(xué)元件,分束器可由半透半反鏡構(gòu)成;對(duì)于光纖器件,分束器是一個(gè)2×2光纖耦合器。其中,半透半反鏡的透射光束對(duì)應(yīng)光纖耦合器的傳輸光束,半透反射鏡的反射光束對(duì)應(yīng)光纖耦合器的耦合光束,兩者的分析模型相同。

在分析量子分束器時(shí),同樣用場(chǎng)的湮滅算符a1、a2、b1、b2分別表示輸入和輸出,分別為與之對(duì)應(yīng)的創(chuàng)生算符,則輸入/輸出關(guān)系寫成矩陣形式為

由于分束器的互易性, 有φ1= φ2、ψ1= ψ2。通常認(rèn)為反射鏡厚度為零,則反射相位相對(duì)透射相位的相位差:ψ1- φ1= ψ1、ψ2- φ2= ψ2。因此,對(duì)于無(wú)損耗分束器,由式（7)得到: ψ1= ψ2= π/2。

2 非理想分束器相位特性的散射矩陣分析

2.1 分束器的散射矩陣模型

實(shí)際分束器通常是不理想的,這表現(xiàn)為光纖耦合器存在插入損耗和分光比不等于50:50。其傳輸矩陣不再是幺正矩陣,耦合光束相對(duì)傳輸光束的相位關(guān)系也將偏離π/2。可以用散射矩陣分析非理想分束器的傳輸特性[10-11],如圖3所示,對(duì)于含有4個(gè)端口的光纖耦合器,不考慮內(nèi)部反射,則其散射矩陣S為

圖3 光纖耦合器的散射矩陣模型Fig.3 Scattering matrix model of optical fiber coupler

式（8)中,Sij為耦合器散射矩陣的元素。

式（11)中,D=[I]-[S]H[S]為耗散矩陣。對(duì)于含有損耗的光纖耦合器,[A]H[A]-[B]H[B]>0,因此式（11)為正定二次型。由于DH=D,所以D為厄密矩陣。根據(jù)矩陣?yán)碚?實(shí)域上實(shí)對(duì)稱矩陣及其正定二次型性質(zhì)可以推廣到復(fù)數(shù)域的厄密矩陣及其正定二次型。矩陣D=[I]-[S]H[S]為正定的充要條件是其各階順序主子式detiD>0。據(jù)此,可以分析非理想分束器的相位特性。

2.2 非理想分束器的相位特性

分束器存在損耗時(shí),假定損耗沒(méi)有破壞分束器的功率互易性,此時(shí)ψ1=ψ2但不等于π/2。設(shè)ψ1=ψ2=ψ,根據(jù)前面的分析,有損耗的分束器傳輸矩陣可以表示為

圖4為插入損耗αs對(duì)分束器相位特性的影響,圖5為分光比誤差ε對(duì)分束器相位特性的影響。由式（16)、圖4和圖5可以看出,當(dāng)αs為零,即沒(méi)有損耗時(shí),光纖耦合器的累積耦合相位2ψ=π,與分束器分光比無(wú)關(guān);但當(dāng)考慮插入損耗αs時(shí),累積耦合相位2ψ將大大偏離π相位,且變得與分束器分光比也有關(guān)系。尤其在實(shí)際中,耦合器插入損耗和分光比誤差還隨環(huán)境如溫度、振動(dòng)變化,對(duì)于非互易的光路結(jié)構(gòu),2ψ與Sagnac相移寄生在一起,將對(duì)光纖陀螺的相位檢測(cè)靈敏度產(chǎn)生嚴(yán)重影響。

圖4 插入損耗αs對(duì)分束器相位特性的影響Fig.4 Effect of insertion lossαson phase characteristics of beam splitter

圖5 分光比誤差ε對(duì)分束器相位特性的影響Fig.5 Effect of splitting ratio errorεon phase characteristics of beam splitter

3 輸入態(tài)對(duì)光子糾纏光纖陀螺互易性的影響

非理想分束器傳輸矩陣SBS取式（12)的形式時(shí),由式（2),非理想Sagnac干涉儀的傳輸矩陣為

3.1 非對(duì)稱Fock態(tài)輸入

當(dāng)輸入態(tài)為非對(duì)稱雙模Fock態(tài)時(shí),為方便運(yùn)算,這里以 | 21〉態(tài)為例,二階符合計(jì)數(shù)為

將式（1)、 式（19)、 式（20)代入式（21)中, 并忽略ε的二階及高階小量,則有

可以看出,非互易誤差2ψ寄生在與量子增強(qiáng)項(xiàng)2?有關(guān)的余弦項(xiàng)中,與Sagnac相移不可區(qū)分。令2ψ =π-δ,可以證明,δ對(duì)式（22)中其它項(xiàng)的影響產(chǎn)生了一個(gè)二階強(qiáng)度漲落,可以忽略?？紤]偏置相位?→Φ0+?,Φ0=π/4,測(cè)量微小?時(shí),只考慮上式中的量子增強(qiáng)項(xiàng)cos（2? +2ψ)+4cos2?,有

分束器插入損耗和分束器給定,δ是一個(gè)固定值,對(duì)相位檢測(cè)沒(méi)有影響。但分束器常常隨環(huán)境如溫度、振動(dòng)等變化,致使δ存在不穩(wěn)定性,進(jìn)而分束器不理想引起的相位漂移Δ?為

廣義地講,如果兩個(gè)端口的輸入態(tài)是完全不同的量子態(tài),則圖2所示也必然是一個(gè)非互易性光路,典型例子是相干態(tài)+壓縮態(tài)輸入 |α,r〉。其中,α為相干態(tài)的振幅,r為壓縮態(tài)的壓縮參數(shù),其二階符合光強(qiáng)I12中量子增強(qiáng)項(xiàng)為

它是δ的一階小量,不能忽略。因此,對(duì)于非對(duì)稱Fock態(tài)輸入,光子糾纏Sagnac干涉儀將是一個(gè)非互易性光路結(jié)構(gòu)。

在與量子增強(qiáng)項(xiàng)2?有關(guān)的余弦項(xiàng)中存在寄生的2ψ相位,顯然光路不具有互易性。

3.2 對(duì)稱Fock態(tài)輸入

當(dāng)輸入態(tài)為對(duì)稱的雙模Fock態(tài)時(shí),以 |22〉態(tài)為例,二階符合計(jì)數(shù)為

可以看出,在與量子增強(qiáng)項(xiàng)2?有關(guān)的余弦項(xiàng)中沒(méi)有寄生的2ψ相位,2ψ只對(duì)I12的強(qiáng)度有影響。令2ψ =π-δ,同樣考慮偏置相位?→Φ0+?,Φ0=π/4,測(cè)量微小?時(shí),分束器不理想引起的相位漂移Δ?為

這是δ的二階小量,可以忽略。因此,對(duì)于對(duì)稱的Fock態(tài)輸入,光子糾纏Sagnac干涉儀將是一個(gè)互易性光路結(jié)構(gòu)。

對(duì)稱Fock態(tài)輸入的典型光源是雙模壓縮態(tài),通過(guò)參量向下轉(zhuǎn)換（SPDC)產(chǎn)生[9]

3.3 N00N態(tài)

這些都是經(jīng)過(guò)理想分束器產(chǎn)生4004態(tài)的輸入態(tài),這兩種N00N態(tài)的輸入態(tài)都含有非對(duì)稱Fock態(tài)。下面以式（34)為例,研究N00N態(tài)的光路互易性。忽略振幅項(xiàng)中與δ2有關(guān)的高階誤差項(xiàng),通過(guò)非理想Sagnac干涉儀的二階相關(guān)光強(qiáng)I12為

這說(shuō)明,通過(guò)理想分束器后能夠生成理想N00N態(tài)的輸入態(tài)組合。在第一次經(jīng)過(guò)Sagnac干涉儀的非理想分束器后,盡管生成的N00N態(tài)非理想（含其它態(tài)),但第二次經(jīng)過(guò)非理想分束器后,對(duì)二階關(guān)聯(lián)光強(qiáng)I12來(lái)說(shuō),與量子增強(qiáng)項(xiàng)2?有關(guān)的余弦項(xiàng)中不含與2ψ有關(guān)的寄生相移。這說(shuō)明,基于N00N態(tài)的光子糾纏光纖陀螺,由于其輸入態(tài)組合包含等概率形式的非對(duì)稱Fock態(tài)的疊加,理論上仍是一個(gè)互易性光路。

4 結(jié)論

本文運(yùn)用散射矩陣模型對(duì)非理想光纖耦合器的相位特性進(jìn)行了理論分析,光纖耦合器耦合光束相對(duì)傳輸光束的相位ψ與光纖耦合器的插入損耗和分光比有關(guān),而插入損耗和分光比隨環(huán)境（如溫度、振動(dòng))的變化導(dǎo)致相位ψ存在不穩(wěn)定性。傳統(tǒng)光纖陀螺采用單端輸入,輸入/輸出共享一個(gè)端口,確保兩束反向傳播光波經(jīng)過(guò)光纖耦合器時(shí)歷經(jīng)的耦合相移和傳輸相移相等,從而使干涉信號(hào)的固有累加相移抵消為零,這種互易性的光路結(jié)構(gòu)是傳統(tǒng)光纖陀螺具有較高相位檢測(cè)靈敏度的主要原因。本文針對(duì)光子糾纏光纖陀螺通常采用雙端口輸入/輸出的結(jié)構(gòu)特征,通過(guò)分析不同F(xiàn)ock態(tài)輸入時(shí)的二階符合計(jì)數(shù),對(duì)光子糾纏光纖陀螺的光路互易性進(jìn)行了分析。研究表明,采用對(duì)稱輸入的Fock態(tài)（比如雙模壓縮態(tài)),光子糾纏光纖陀螺的雙端口輸入/輸出光路結(jié)構(gòu)仍然具有互易性;但對(duì)于非對(duì)稱的輸入態(tài),相位ψ寄生到量子增強(qiáng)的Sagnac相移中,產(chǎn)生一種不能忽略的非互易誤差。幸運(yùn)的是,盡管N00N態(tài)的輸入態(tài)含有非對(duì)稱Fock態(tài)分量,但采用雙環(huán)行器的非理想Sagnac干涉儀對(duì)N00N態(tài)來(lái)說(shuō),仍是一個(gè)互易性光路。本文的研究對(duì)于光子糾纏光纖陀螺的光源選型具有參考意義。