考慮交直流多諧波耦合的模塊化多電平換流器矩陣建模

張海川，王順亮，劉天琪，董語晴，陳相

(四川大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 成都 610065)

0 引 言

模塊化多電平換流器(Modular Multilevel Converter，MMC)相較于傳統(tǒng)的電網(wǎng)換相型換流器具有有功、無功獨(dú)立控制和可靠性高、便于維護(hù)[1-2]等優(yōu)勢，在異步電網(wǎng)互聯(lián)和新能源接入等方面有著廣泛的應(yīng)用[3]。然而，交直流系統(tǒng)的背景諧波經(jīng)過MMC換流器的調(diào)制作用可能發(fā)生互相耦合，形成AC/DC之間的正反饋閉環(huán)，造成諧波來回振蕩放大，最終可能引發(fā)諧波不穩(wěn)定[4-6]。諧波耦合矩陣模型是一種分析復(fù)雜電力電子系統(tǒng)諧波傳導(dǎo)與耦合機(jī)理的有效工具，但同時(shí)MMC換流器運(yùn)行方式復(fù)雜、各電氣量相互影響的特點(diǎn)給其諧波耦合建模帶來一定的難度[7-8]。

文獻(xiàn)[9]提出了基于開關(guān)函數(shù)的MMC諧波傳導(dǎo)模型，其一次可對(duì)某特定次數(shù)諧波的傳導(dǎo)特性進(jìn)行討論；文獻(xiàn)[10-11]中提出了考慮內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性以描述MMC交、直流側(cè)電氣量耦合關(guān)系的狀態(tài)空間矩陣模型，但其只限于討論直流線路直流電氣量與交流系統(tǒng)基頻電氣量的幅值耦合關(guān)系，而不能描述各電氣量諧波的耦合特性；文獻(xiàn)[12]提出了諧波狀態(tài)空間(Harmonic State Space， HSS)基礎(chǔ)理論，該理論采用復(fù)數(shù)傅里葉分解與傅里葉級(jí)數(shù)相乘定理以使周期時(shí)變模型定?；?；文獻(xiàn)[13]提出了基于諧波狀態(tài)空間的MMC交流側(cè)阻抗建模方法，其通過研究換流器交流諧波電壓與諧波電流間關(guān)系以得到換流器交流側(cè)等效阻抗，但沒有對(duì)直流電壓與直流電流、直流電氣量和交流電氣量間諧波耦合關(guān)系進(jìn)行建模分析。為了同時(shí)考慮MMC交直流側(cè)各量所有次數(shù)諧波間耦合關(guān)系，將諧波狀態(tài)空間與開關(guān)函數(shù)結(jié)合以建立MMC換流器的諧波耦合矩陣。MMC諧波耦合矩陣模型采用開關(guān)函數(shù)以分別描述特定次數(shù)諧波間耦合關(guān)系；再采用諧波狀態(tài)空間理論將系數(shù)矩陣中的周期時(shí)變量(由開關(guān)函數(shù)產(chǎn)生)展開為常復(fù)數(shù)以克服模型系數(shù)矩陣中含有時(shí)變量的問題，且展開后的模型可同時(shí)描述所有次數(shù)諧波間耦合關(guān)系。

在加入諧波擾動(dòng)后，將搭建的MMC諧波耦合矩陣模型的計(jì)算結(jié)果與PSCAD電磁仿真模型進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了MMC諧波耦合矩陣模型對(duì)MMC換流器交直流側(cè)電壓電流的各次諧波間耦合關(guān)系描述的準(zhǔn)確性。

1 MMC換流器時(shí)域模型

1.1 MMC換流器橋臂平均模型

圖1 MMC換流器詳細(xì)模型Fig.1 Detailed model of MMC converter

(1)

(2)

(3)

(4)

式中Carm=CSM/N為橋臂等效電容。

1.2 MMC換流器時(shí)域狀態(tài)空間小信號(hào)模型

根據(jù)橋臂平均模型，MMC換流器及其交流系統(tǒng)可等效為如圖2所示結(jié)構(gòu)，其中igx(t)為換流器x相輸入電流，則MMC換流器與交流系統(tǒng)具有如式(5)所示電流關(guān)系。

圖2 MMC換流器橋臂平均模型Fig.2 Average model of bridge arm of MMC converter

(5)

式中icx(t)為換流器x相環(huán)流，其值為該相上橋臂、下橋臂電流的平均值。

將式(3)～ 式(5)進(jìn)行小信號(hào)化，可得MMC橋臂平均小信號(hào)模型，其中MMC換流器考慮為開環(huán)控制，即開關(guān)函數(shù)nux(t)、nlx(t)的變化量Δnux(t)、 Δnlx(t)均為零，結(jié)果如式(6)～式(8)所示。

(6)

(7)

(8)

將式(6)～式(8)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程形式，得到MMC換流器的單相時(shí)域狀態(tài)空間小信號(hào)模型，如式(9)所示。

(9)

其中：

上述討論中，nux0(t)、nlx0(t)分別為x相上橋臂、下橋臂開關(guān)函數(shù)的穩(wěn)態(tài)值，其由MMC的控制系統(tǒng)決定，其組成如式(10)所示。

(10)

其中：

vref1x(t)/vdc0=m1cos(ω0t+θm1x)

vref2x(t)/vdc0=m2cos(2ω0t+θm2x)

式中ω0為系統(tǒng)的基頻角頻率；vdc0為直流電壓穩(wěn)態(tài)值，其值為常數(shù)；vref1x(t)為由MCC基本控制器產(chǎn)生的x相參考電壓波基頻分量，其相位為θm1x；vref2x(t)為由環(huán)流抑制控制器產(chǎn)生的x相參考電壓波二次諧波分量，其相位為θm2x；m1與m2分別為基本控制器與環(huán)流抑制控制器的調(diào)制度。

2 MMC換流器頻域模型

2.1 諧波狀態(tài)空間理論

MMC換流器作為典型的時(shí)變系統(tǒng)，其狀態(tài)變量和輸入、輸出變量間具有如下關(guān)系：

(11)

當(dāng)系統(tǒng)正常運(yùn)行到穩(wěn)態(tài)時(shí)，其內(nèi)部各個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)域響應(yīng)都具有周期性的特點(diǎn)，故將式(11)中狀態(tài)變量x(t)復(fù)數(shù)傅里葉分解展開，并將其乘以est以描述信號(hào)的暫態(tài)過程，則式(11)中狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)寫為：

(12)

(13)

式中n為諧波次數(shù)；xn表示x(t)的第n次諧波的復(fù)傅里葉系數(shù)；ω0為系統(tǒng)的基頻角頻率。同理，輸入變量u(t)與輸出變量y(t)可寫為：

(14)

對(duì)于系數(shù)矩陣A(t)，其組成均為穩(wěn)態(tài)量而不存在任何暫態(tài)過程，可直接寫成傅里葉級(jí)數(shù)形式如式(15)所示，其中An為A(t)的復(fù)數(shù)傅里葉分解的n次項(xiàng)系數(shù)，B(t)、C(t)、D(t)的傅里葉級(jí)數(shù)形式同理可得：

(15)

根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的相乘定理，周期函數(shù)a(t)、b(t)與他們的時(shí)域乘積c(t)之間具有如式(16)所示關(guān)系[15]：

(16)

其中ck為c(t)的復(fù)數(shù)傅里葉分解的k次項(xiàng)系數(shù)，al與bk-l同理。則式(12)～式(15)中各變量和系數(shù)矩陣的傅里葉系數(shù)間具有如下所示關(guān)系：

(17)

式(17)即為諧波狀態(tài)空間中第n次諧波的狀態(tài)方程與輸出方程。將各次諧波的狀態(tài)方程聯(lián)立，可將式(11)中的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化到諧波狀態(tài)空間，其矩陣方程為：

sX=(A-N)X+BU

(18)

其中：

X=[x-h,…,x-2,x-1,x0,x1,x2,…,xh]T

U=[u-h,…,u-2,u-1,u0,u1,u2…,uh]T

N=diag[-jhω0I…-jω0I, zeros(m),jω0I, …

jhω0I]

式中h為考慮的最大諧波次數(shù)；zeros(m)為m階零矩陣，I為m階單位矩陣，m為時(shí)域系數(shù)矩陣A(t)的行列數(shù)；A、B為托普利茲(Toeplitz)矩陣形式；下標(biāo)表示諧波次數(shù)。

同理可將式(11)中的輸出方程轉(zhuǎn)化到諧波狀態(tài)空間，其矩陣方程為：

Y=CX+DU

(19)

式(18)與式(19)聯(lián)立，即為周期時(shí)變系統(tǒng)的諧波狀態(tài)空間模型，其系數(shù)矩陣與各變量均采用復(fù)傅里葉系數(shù)(常數(shù))進(jìn)行表示，實(shí)現(xiàn)了周期時(shí)變模型的定?；⒖擅枋鲈瓡r(shí)域變量的各次諧波分量間數(shù)學(xué)關(guān)系。

2.2 MMC換流器HSS小信號(hào)模型

如式(9)所示的基于開關(guān)函數(shù)建立的MMC換流器時(shí)域狀態(tài)空間小信號(hào)模型的系數(shù)矩陣中包含周期時(shí)變量nux0(t)、nlx0(t)，使得模型不能求解而不具有實(shí)際意義?？紤]諧波狀態(tài)空間理論可將周期時(shí)變方程定?；奶攸c(diǎn)，將其帶入式(9)中的時(shí)域狀態(tài)空間模型，使之轉(zhuǎn)化為頻域的諧波狀態(tài)空間模型并寫為三相形式，如式(20)所示。

ΔXM=AMΔXM+BMΔUM

(20)

其中：

ΔUM=[ΔVga,ΔVgb,ΔVgc,ΔVdc]T；

P=diag(p,p,p,p)；

p=diag[jhω0, …,-jω0, 0, jω0, …, jhω0]。

式中h為考慮的最大諧波次數(shù)；I1為2h+1階單位矩陣；ZM1為2h+1階零矩陣；ZM2和ZM3為零矩陣，其分別與AMx和BMx行列數(shù)相同。所有變量以頻域表示并以大寫字母標(biāo)識(shí)，其實(shí)質(zhì)為由原時(shí)域周期時(shí)變量的復(fù)數(shù)傅里葉系數(shù)以(-h，…，-1，0，1，…，h)的諧波次序排列而成的列矩陣。ΔIgx的結(jié)構(gòu)如式(21)所示,其他輸入變量與狀態(tài)變量同理可得。

(21)

式中 ΔIgx(h)為時(shí)域狀態(tài)變量Δigx(t)的復(fù)數(shù)傅里葉分解的h次項(xiàng)系數(shù)。Γ代表Toeplitz矩陣，其結(jié)構(gòu)如式(18)所示,則根據(jù)式(10)可得Γ[Nux0]的具體組成如式(22)所示，Γ[Nlx0]同理可得：

(22)

3 MMC換流器諧波耦合矩陣模型

MMC的HSS小信號(hào)模型如式(20)所示，其輸入變量為換流器交流側(cè)電壓Δvgx(t)的各次諧波分量和直流側(cè)電壓Δvdc(t)的各次諧波分量。故為完整描述MMC兩側(cè)電氣量各次諧波的耦合關(guān)系，取式(21)的輸出變量為換流器交流側(cè)各相輸入電流Δigx(t)的各次諧波分量和直流側(cè)輸入電流Δidc(t)的各次諧波分量。Δigx(t)本身為狀態(tài)變量，Δidc(t)可由式(23)計(jì)算：

(23)

則MMC的HSS小信號(hào)模型的輸出方程如式(24)所示。

ΔYM=CMΔXM

(24)

其中：

ΔYM=[ΔIga,ΔIgb,ΔIgc,ΔIdc]T;

Cg=[ZM1,ZM1,ZM1,I1];

式中ZM4為與Cg為行列數(shù)相同的零矩陣。當(dāng)系統(tǒng)加入小擾動(dòng)后重新達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)為零，則此時(shí)MMC的HSS小信號(hào)模型的輸入、輸出變量有如式(25)所示對(duì)應(yīng)關(guān)系：

(25)

式(25)即為MMC諧波耦合矩陣模型，其中Q為諧波耦合矩陣。式(25)也可寫為如式(26)形式表示：

(26)

式中qmm為諧波耦合矩陣Q的m行m列(m=8h+4)位置元素。MMC諧波耦合矩陣模型的建模步驟如圖3所示。

圖3 建模流程圖Fig.3 Modeling flow chart

MMC諧波耦合矩陣模型結(jié)合開關(guān)函數(shù)與諧波狀態(tài)空間以描述MMC電氣量的-h～h次數(shù)范圍內(nèi)諧波間耦合關(guān)系，當(dāng)h足夠大，理論可獲得全部整數(shù)次諧波間耦合關(guān)系。

4 仿真驗(yàn)證

加入擾動(dòng)后，將MMC換流器諧波耦合矩陣模型的計(jì)算結(jié)果與PSCAD電磁暫態(tài)仿真對(duì)比，以驗(yàn)證提出模型的準(zhǔn)確性。

仿真工況： 1 s時(shí)交流系統(tǒng)公共點(diǎn)處加入31 kV三相正序二次諧波電壓，并同時(shí)在直流接口加入27 kV二次諧波電壓。通過MMC換流器諧波耦合模型計(jì)算得到a相交流電流iga(t)的0～3次分量的幅值Iga(0)、Iga(1)、Iga(2)、Iga(3)以及直流電流idc(t)的0～3次分量幅值Idc(0)、Idc(1)、Idc(2)、Idc(3)，與電磁暫態(tài)仿真值的對(duì)比結(jié)果如圖4與圖5所示。

圖4 交流側(cè)電流0～3次分量幅值Fig.4 Amplitude of 0～3 times component of AC side current

圖5 直流側(cè)電流0～3次分量幅值Fig.5 Amplitude of 0～3 times component of DC side current

MMC換流器諧波耦合矩陣模型通過矩陣計(jì)算直接得到加入擾動(dòng)后換流器兩側(cè)電氣量的各次諧波穩(wěn)態(tài)值，故暫態(tài)過程與電磁仿真圖像不重合，但收斂得到的穩(wěn)態(tài)值與電磁仿真結(jié)果一致。

經(jīng)過對(duì)比，加入諧波擾動(dòng)后，MMC諧波耦合矩陣模型計(jì)算結(jié)果的諧波次數(shù)與幅值大小均與電磁仿真結(jié)果相符，驗(yàn)證了該模型對(duì)MMC換流器交直流側(cè)諧波耦合特性描述的準(zhǔn)確性。

5 結(jié)束語

能準(zhǔn)確反應(yīng)MMC諧波耦合特性的數(shù)學(xué)模型對(duì)包含MMC換流器的交直流互聯(lián)系統(tǒng)諧波穩(wěn)定性的研究至關(guān)重要。MMC換流器諧波耦合矩陣模型可同時(shí)描述MMC交、直流側(cè)電氣量所有次諧波間耦合關(guān)系。以上述耦合矩陣模型為基礎(chǔ)，通過其特征值、參與因子、靈敏度等指標(biāo)對(duì)MMC交直流互聯(lián)系統(tǒng)諧波穩(wěn)定性的進(jìn)一步研究留待后續(xù)討論。