基于測(cè)試粒子模擬的垂直無碰撞激波對(duì)離子的加速研究

劉煜琦， 劉凱軍， 程昆， 王焱， 鄭顯明， 周靜宜

南方科技大學(xué)地球與空間科學(xué)系， 深圳 518055

0 引言

無碰撞激波是空間中常見的等離子體物理現(xiàn)象，被認(rèn)為是空間中高能粒子加速的重要機(jī)制(Lembege and Simonet, 2001; Balogh and Treumann, 2013; Burgess and Scholer, 2015; Qu et al., 2021).無碰撞激波對(duì)帶電粒子的加速是一個(gè)多尺度的過程.在大尺度上，粒子被遠(yuǎn)上游和遠(yuǎn)下游的波動(dòng)散射可以多次穿越激波面，從而在激波上下游散射源的速度差中獲得能量，這種機(jī)制被稱為激波擴(kuò)散加速(Diffusive Shock Acceleration)(Axford, 1981; Bell, 1978a,b; Blandford and Ostriker, 1978).擴(kuò)散加速的發(fā)生要求粒子本身的能量大于一定閾值，這被稱為“入射問題”(Kucharek and Scholer, 1995; Zank et al., 2001; Scholer et al., 2002).在微觀尺度上，粒子在通過激波面時(shí)，會(huì)被激波面附近的電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)改變軌跡，可以被等離子體中的運(yùn)動(dòng)電場(chǎng)(E=-U×B,其中U和B分別為等離子體的流速和背景磁場(chǎng)所)加速，這種被激波內(nèi)部的微觀電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)影響而加速的機(jī)制往往扮演為擴(kuò)散激波加速提供預(yù)加速的角色，被稱為預(yù)加速機(jī)制.

無碰撞激波的性質(zhì)和激波角(上游背景磁場(chǎng)方向和激波面法向量方向之間的夾角，θBn)、Alfvén馬赫數(shù)(在上游等離子體參考系下，激波傳播速度與上游阿爾芬速度的比值)及上游等離子體溫度等緊密相關(guān)(Zhou and Smith, 2015).根據(jù)激波角可以將激波分為五類，分別為垂直激波(Perpendicular Shock，θBn=90°)、準(zhǔn)垂直激波(Quasi-perpendicular Shock，45°<θBn<90°)、斜激波(Oblique Shock，θBn=45°)、準(zhǔn)平行激波(Quasi-parallel Shock，0°<θBn<45°)和平行激波(Parallel Shock，θBn=0°).

本研究關(guān)注垂直激波.在垂直激波中，常見的預(yù)加速機(jī)制是激波漂移加速(Shock Drift Acceleration, SDA)和激波沖浪加速(Shock Surfing Acceleration, SSA)(Hudson and Kahn, 1965; Lee et al., 1996; Lever et al., 2001; Shapiro and ü?er, 2003).激波漂移加速是指粒子穿越激波面時(shí)由于磁場(chǎng)梯度的影響而沿運(yùn)動(dòng)電場(chǎng)的方向漂移一段距離，從而被運(yùn)動(dòng)電場(chǎng)加速；激波沖浪加速是指激波面附近存在一個(gè)沿著激波法向量方向的電勢(shì)，被稱為激波橫越電勢(shì)(Cross Shock Potential)，部分粒子可以被該電勢(shì)反射回上游，然后在上游的電場(chǎng)和磁場(chǎng)作用下再次回到激波面，這個(gè)過程中粒子會(huì)沿著激波面移動(dòng)一定的距離，并被運(yùn)動(dòng)電場(chǎng)加速.激波漂移加速的效率主要取決于激波本身的磁場(chǎng)壓縮比，但是磁場(chǎng)過沖(激波面內(nèi)磁場(chǎng)強(qiáng)度遠(yuǎn)高于下游平均磁場(chǎng)的尖峰結(jié)構(gòu))和磁足(激波面前磁場(chǎng)強(qiáng)度高于上游平均磁場(chǎng)但是遠(yuǎn)低于下游平均磁場(chǎng)的結(jié)構(gòu))的存在也會(huì)對(duì)加速產(chǎn)生一定的影響，這是由于磁場(chǎng)過沖和磁足的演化會(huì)影響激波面附近的磁場(chǎng)梯度大小(Lee et al, 2005).與激波漂移加速不同，激波沖浪加速主要與激波橫越電勢(shì)的強(qiáng)弱有關(guān).

本文利用測(cè)試粒子模擬的方法探究垂直激波中的離子加速問題，我們首先研究在較為簡(jiǎn)單的理想激波條件下，離子通過激波結(jié)構(gòu)后的能量增益與其初始參數(shù)(包括回旋相位角、初始位置和上游平均能量)的關(guān)系；然后利用自洽的一維混合模擬給出的更接近真實(shí)的激波結(jié)構(gòu)計(jì)算不同參數(shù)的離子獲得的加速，并通過與理想激波條件下的結(jié)果相對(duì)比，評(píng)估激波內(nèi)部的電場(chǎng)和磁場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)對(duì)離子能量增益的影響.本文的第1節(jié)介紹研究使用的模擬方法及模擬參數(shù)，第2節(jié)討論離子通過理想激波結(jié)構(gòu)獲得的能量和離子初始參數(shù)之間的關(guān)系，第3節(jié)討論了利用混合模擬得到的自洽激波電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)下離子的加速以及激波橫越電勢(shì)和磁過沖的強(qiáng)弱對(duì)離子加速的影響，最后一節(jié)給出了結(jié)論和進(jìn)一步的討論.

1 模擬方法及模擬參數(shù)

本文使用測(cè)試粒子模擬的方法研究離子在通過垂直激波時(shí)的能量增益.測(cè)試粒子模擬是研究粒子加速中常用的方法,該方法利用數(shù)值計(jì)算求解粒子在給定的電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程，僅關(guān)注場(chǎng)對(duì)粒子的作用而忽略粒子運(yùn)動(dòng)對(duì)場(chǎng)的影響.本文使用四階龍格-庫(kù)塔法來求解離子的運(yùn)動(dòng)方程(1)：

(1)

這里v,q,m分別是離子的速度、電荷和質(zhì)量，t是時(shí)間，而E和B分別代表離子位置的電場(chǎng)和磁場(chǎng).模擬區(qū)域在空間上被劃分為800個(gè)網(wǎng)格，在給定了網(wǎng)格點(diǎn)上的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的情況下，離子在某個(gè)位置的電場(chǎng)和磁場(chǎng)通過線性插值的方法獲得，然后被代入運(yùn)動(dòng)方程求解下一個(gè)時(shí)刻離子的位置和速度.

雖然測(cè)試粒子模擬方法并非完全自洽，但該方法只需要求解粒子的運(yùn)動(dòng)方程而無需求解相對(duì)復(fù)雜的電磁場(chǎng)和磁流體力學(xué)方程，允許我們追蹤每一個(gè)粒子的速度和位置的變化，便于探究粒子的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)與其在通過激波時(shí)獲得的能量增益之間的關(guān)系.相較于自洽模擬，測(cè)試粒子模擬還可以更方便地改變激波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)，從而更好地區(qū)分不同的激波結(jié)構(gòu)對(duì)于離子能量增益的影響.

為了便于表述和分析，在本文的模擬中所有的物理量都做了無量綱化處理.其中，磁場(chǎng)和電場(chǎng)的單位分別是激波上游背景磁場(chǎng)B0和B0VA，測(cè)試粒子模擬中時(shí)間步長(zhǎng)ΔtΩci=10-4，模擬區(qū)域的長(zhǎng)度為400λi.這里VA是上游的Alfvén速度，Ωci為質(zhì)子回旋頻率，λi(=VA/Ωci)為質(zhì)子慣性長(zhǎng)度.模擬在激波靜止坐標(biāo)系下進(jìn)行，在該坐標(biāo)系下，激波面被固定在x=300λi，上下游等離子體流體速度沿x軸方向，上游背景磁場(chǎng)方向沿y軸方向.測(cè)試粒子模擬中使用的激波磁場(chǎng)和電場(chǎng)首先使用從R-H關(guān)系(Rankine-Hugoniot Relations)導(dǎo)出的簡(jiǎn)單的理想激波結(jié)構(gòu)，然后利用由自洽的一維混合模擬得到的更接近真實(shí)的激波結(jié)構(gòu).

R-H關(guān)系通過磁流體力學(xué)方程和物質(zhì)、能量及動(dòng)量的守恒關(guān)系給出了激波上下游的磁場(chǎng)、磁流體速度、溫度、密度、壓強(qiáng)等宏觀物理量的壓縮比與激波角、上游Alfvén馬赫數(shù)和等離子體β(等離子體熱壓和磁壓之比)之間的關(guān)系.通過R-H關(guān)系，給定激波上游磁場(chǎng)的強(qiáng)度和方向、上游馬赫數(shù)以及上游的等離子體β就可以得到激波電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu).圖1a—1c(第一列)展示了本研究中使用的當(dāng)上游Alfvén馬赫數(shù)MA=7.42、激波角θBn=90°和上游等離子體β=0.05時(shí)R-H關(guān)系給出的激波的磁場(chǎng)和電場(chǎng)結(jié)構(gòu)(從上到下分別是磁場(chǎng)的y分量、電場(chǎng)x分量和電場(chǎng)的z分量；電場(chǎng)和磁場(chǎng)的其余分量均為0，所以沒有展示).利用R-H關(guān)系給出的這一簡(jiǎn)單的理想激波結(jié)構(gòu)，我們將探索離子通過激波后的能量增益與其初始參數(shù)(包括回旋相位角、初始位置和上游平均能量)的關(guān)系.值得注意的是，R-H關(guān)系不能給出激波面附近的精細(xì)結(jié)構(gòu)，得到的激波結(jié)構(gòu)的激波面厚度為0，也不存在磁過沖和激波橫越電勢(shì)等結(jié)構(gòu).

為了進(jìn)一步研究離子通過真實(shí)的激波結(jié)構(gòu)獲得的能量增益，我們利用自洽的一維混合模擬來獲得更接近真實(shí)的激波磁場(chǎng)和電場(chǎng)結(jié)構(gòu).混合模擬是一種常用的自洽等離子體模擬技術(shù)，該方法將等離子體中的電子作為磁流體而離子作為粒子處理，適合用于研究離子特征尺度的等離子體物理過程(Winske and Omidi, 1993).而激波的演化主要發(fā)生在離子特征尺度，因此使用混合模擬技術(shù)生成激波的電場(chǎng)、磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)是十分合適的.本文中的一維混合模擬的空間演化沿著x方向，模擬區(qū)域的長(zhǎng)度為400λi，網(wǎng)格長(zhǎng)度為0.5λi，時(shí)間步長(zhǎng)ΔtΩci=10-2，總模擬時(shí)間為tΩci=150.混合模擬中激波角、上游Alfvén馬赫數(shù)和等離子體β的取值和上述R-H關(guān)系給出的激波結(jié)構(gòu)保持一致，而模擬所獲得的激波電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)也展示于圖1d—1o(第二到五列)中，以與R-H關(guān)系給出的結(jié)果對(duì)比.由于R-H關(guān)系忽略了離子的動(dòng)理學(xué)效應(yīng)，R-H關(guān)系導(dǎo)出的激波的壓縮比和由混合模擬得到的激波壓縮比稍有差異，但是十分接近，前者為ηRH=3.46，后者約為ηHS=3.54.

由于無論是R-H關(guān)系還是一維混合模擬給出的激波磁場(chǎng)和電場(chǎng)的其他分量都恒為0，圖1僅僅展示了激波磁場(chǎng)的y分量(第一行)、電場(chǎng)的x分量(第二行)和z分量(第三行).同時(shí)，考慮到激波遠(yuǎn)上游和遠(yuǎn)下游的電場(chǎng)和磁場(chǎng)變化較小，圖1僅展示了接近激波面的部分以更清晰地顯示激波面附近的電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu).其中，圖1m、1n和1o(第五列)是由一維混合模擬生成的隨時(shí)間變化的激波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)，橫軸為x方向，縱軸為時(shí)間t(圖中僅展示了tΩci=40～50的電場(chǎng)和磁場(chǎng))，而顏色代表磁場(chǎng)和電場(chǎng)的強(qiáng)度.需要說明的是，激波的混合模擬本身是在激波下游等離子體的參考系中進(jìn)行的，相關(guān)結(jié)果已經(jīng)被轉(zhuǎn)換到了本研究中測(cè)試粒子模擬所采用的激波靜止參考系，激波面的位置(激波面位置被定義為磁場(chǎng)強(qiáng)度從上游到下游增長(zhǎng)為上游平均磁場(chǎng)強(qiáng)度和下游平均磁場(chǎng)強(qiáng)度的平均值的位置)固定在x=300λi處.從圖1m—1o可以看到激波面附近的磁場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度發(fā)生準(zhǔn)周期性的改變，這種現(xiàn)場(chǎng)被稱為激波重構(gòu)(Hellinger et al., 2002; Lobzin et al., 2007; Mazelle et al., 2010; Shinohara et al., 2011).

圖1 測(cè)試粒子模擬中使用的激波結(jié)構(gòu) 圖中第1行給出了磁場(chǎng)的y分量，第2行和第3行分別給出了電場(chǎng)的x和z分量.另外，第1列的激波結(jié)構(gòu)由R-H關(guān)系得到，而第2至第5列是由自洽一維混合模擬得到的激波結(jié)構(gòu)：第2列到第4列給出了模擬中三個(gè)不同時(shí)刻的結(jié)果，最后一列展示了模擬中激波結(jié)構(gòu)隨時(shí)間 的連續(xù)變化(縱軸為模擬時(shí)間).Fig.1 Shock profiles used in our test particle simulations From top to bottom, the panels in the three rows display the y-component of the magnetic field, the x-component and z-component of the electric field, respectively. The panels in the first column are for an ideal shock profile given by the Rankine-Hugoniot relations. The second to fourth columns present the shock profiles at three different simulation times produced by a self-consistent one-dimensional hybrid shock simulation. Finally, the last column shows the evolution of the simulated shock profile during tΩci=40～50.

與此對(duì)應(yīng)，圖1d—1l(第二到四列)展示了混合模擬給出的在一個(gè)激波重構(gòu)周期內(nèi)三個(gè)不同時(shí)刻的激波結(jié)構(gòu).這三個(gè)時(shí)刻分別是激波磁過沖最強(qiáng)的時(shí)刻(tΩci=41.7，圖1d—1f)，激波橫越電勢(shì)(在本研究中激波橫越電勢(shì)的強(qiáng)度通過對(duì)激波面內(nèi)部電場(chǎng)x分量小于0的部分積分獲得)最強(qiáng)的時(shí)刻(tΩci=42.6，圖1j—1l)和激波橫越電勢(shì)最弱的時(shí)刻(tΩci=42.1，圖1g—1i).相應(yīng)的具體數(shù)值如表1所示.此外，在tΩci=41.7時(shí)，不但激波磁過沖的強(qiáng)度最大，激波面的厚度較窄(激波面的厚度定義為磁足的起始點(diǎn)到磁場(chǎng)最大值之間的距離)，同時(shí)x方向的電場(chǎng)也最強(qiáng)，這與Yang等(2009a)通過全粒子模擬獲得的激波結(jié)構(gòu)特征一致.由于在x方向電場(chǎng)作用下離子能否反射除了和電場(chǎng)強(qiáng)度相關(guān)外，還與作用的時(shí)間/距離相關(guān)，因此在本文討論中我們更關(guān)注激波橫越電勢(shì).

表1 同一重構(gòu)周期內(nèi)三個(gè)不同時(shí)刻的激波橫越電勢(shì)和 磁場(chǎng)過沖強(qiáng)度Table 1 Values of shock crossing potential and magnetic overshoot at three different simulation times in a shock reformation cycle

2 理想激波結(jié)構(gòu)下的測(cè)試粒子模擬

2.1 能量增益與離子初始回旋相位角的關(guān)系

圖2 不同上游平均動(dòng)能(Eku)的離子在理想激波結(jié)構(gòu)作用下的能量增益和離子初始回旋相位角的關(guān)系Fig.2 Energy gain from the ideal R-H relation shock profile as a function of ion initial gyro-phase angle for ions of various initial average upstream kinetic energies (Eku)

2.2 能量增益與離子初始位置的關(guān)系

圖4展示了不同上游平均能量的離子的能量增益隨著其初始位置的變化.在某一上游平均能量，我們?cè)?00λi

圖3 直接穿越離子的軌跡(a)及其能量的變化(c)和SDA離子的軌跡(b)及其能量的變化(d)Fig.3 The trajectories (a,b) and kinetic energy (c,d) of a directly transmitted ion (a,c) and an SDA ion (b,d)

2.3 能量增益與離子上游平均動(dòng)能的關(guān)系

3 激波面內(nèi)部結(jié)構(gòu)對(duì)離子能量增益的影響

3.1 靜態(tài)激波結(jié)構(gòu)下的模擬

在對(duì)理想激波結(jié)構(gòu)下離子的能量增益與其初始參數(shù)的關(guān)系有了了解之后，我們研究在混合模擬給出的接近真實(shí)的激波電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)作用之下的離子能量變化.我們?cè)诒拘」?jié)首先選取圖1d—1l(第二到四列)所示的在一個(gè)激波的重構(gòu)周期中三個(gè)不同時(shí)刻的電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)開展研究.圖5中的紅色、黃色、紫色三條實(shí)線展示了在三個(gè)不同時(shí)刻的不同靜態(tài)激波結(jié)構(gòu)作用下，離子能量增益和其上游平均動(dòng)能的關(guān)系(與理想激波結(jié)構(gòu)下的做法類似，離子的能量增益已經(jīng)對(duì)初始回旋相位角和位置分別在一個(gè)周期和五個(gè)周期內(nèi)做了平均).

圖5 不同的激波結(jié)構(gòu)下離子的能量增益(對(duì)初始回旋相位角和初始位置分別在一個(gè)和五個(gè)周期內(nèi)取平均) 與其上游平均動(dòng)能的關(guān)系Fig.5 Ion energy gain (averaged over initial gyro-phase angle and position) as a function of average upstream ion kinetic energy under various shock profiles as labelled

與理想激波結(jié)構(gòu)下的結(jié)果(黑線)類似，離子通過混合模擬得到的激波電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)的能量增益大體上仍然隨離子的上游平均動(dòng)能增加而增加.而且隨著離子上游平均動(dòng)能的提升，不同激波結(jié)構(gòu)作用下的離子能量增益趨于一致.這是因?yàn)楫?dāng)離子能量比較高時(shí)，離子的回旋半徑顯著大于激波橫越電勢(shì)和磁場(chǎng)過沖的空間尺度，這些微觀結(jié)構(gòu)對(duì)于離子的能量增益的影響變得可以忽略.而當(dāng)離子上游平均能量相對(duì)較低時(shí)，混合模擬給出的三個(gè)時(shí)刻不同的激波結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的離子能量增益都顯著強(qiáng)于理想激波結(jié)構(gòu)下的結(jié)果.這說明激波橫越電勢(shì)和激波磁場(chǎng)過沖等微觀結(jié)構(gòu)在離子的上游平均能量較低時(shí)，能有效促進(jìn)離子的能量增益.對(duì)比三個(gè)時(shí)刻的混合模擬激波結(jié)構(gòu)下的結(jié)果，tΩci=41.7和tΩci=42.1時(shí)刻的磁場(chǎng)過沖較強(qiáng)，離子的能量增益也更強(qiáng)；tΩci=42.6時(shí)刻的激波橫越電勢(shì)最強(qiáng)，不過離子的能量增益最弱.這說明離子能量增益主要受到激波磁場(chǎng)過沖的影響.

3.2 時(shí)變激波結(jié)構(gòu)下的模擬

圖6 (a)在一個(gè)激波重構(gòu)周期中不同時(shí)刻的混合模擬激波結(jié)構(gòu)作用下三個(gè)上游平均動(dòng)能離子的能量增益及 相對(duì)應(yīng)的(b)激波磁場(chǎng)過沖強(qiáng)度和橫越電勢(shì)強(qiáng)度Fig.6 (a) Energy gain of ions at three different average upstream kinetic energies under the hybrid simulation-produced shock profiles at different times over a shock reformation period. (b) The corresponding magnetic shock overshoot strength and the cross-shock potential amplitude

3.3 雙極電場(chǎng)結(jié)構(gòu)對(duì)離子加速的影響

圖7 (a) 混合模擬給出的時(shí)變激波結(jié)構(gòu)下一個(gè)離子的軌跡(黑線)和其在消除激波結(jié)構(gòu)的橫越電勢(shì)后(Ex置零)的軌跡(紅線)對(duì)比； (b) 兩種情形下離子到達(dá)激波面時(shí)刻磁場(chǎng)y分量的剖面對(duì)比； (c) 兩種情形下離子到達(dá)激波面時(shí)刻電場(chǎng)x分量 的剖面對(duì)比Fig.7 (a) The comparison of typical ion trajectories under the time-varying shock profile and after zeroing Ex in the time-varying shock profile; (b) The profiles of the y component of the magnetic field when the ion crosses the shock front in the two cases; (c) The profiles of the x component of the electric field when the ion crosses the shock front in the two cases

4 結(jié)論

本文使用R-H關(guān)系推導(dǎo)出的理想激波結(jié)構(gòu)和自洽的一維混合模擬得到的激波結(jié)構(gòu)進(jìn)行測(cè)試粒子模擬，研究垂直激波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)對(duì)離子能量增益的影響.得出以下結(jié)論：

(1)離子的能量增益隨著離子上游平均動(dòng)能的上升而增加.

(2)在理想激波結(jié)構(gòu)中，離子的初始位置和初始回旋相位角對(duì)于能量增益的影響都是周期性的.當(dāng)離子能量較低時(shí)，能量增益和初始回旋相位角的關(guān)系滿足正弦關(guān)系；隨著離子上游平均動(dòng)能的升高，將會(huì)有部分離子獲得明顯激波漂移加速?gòu)亩鴮?dǎo)致能量增益和初始回旋相位角之間的關(guān)系偏離正弦.

(3)當(dāng)離子能量較大時(shí)，激波面內(nèi)部的小尺度電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)對(duì)離子的能量增益的影響基本可以忽略.而當(dāng)離子能量較低時(shí)(離子回旋半徑小于激波面厚度或者相當(dāng))，激波面內(nèi)部的電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)會(huì)對(duì)離子的能量增益產(chǎn)生促進(jìn)作用.

(4)離子能量增益主要受到激波磁場(chǎng)過沖強(qiáng)度的控制.當(dāng)激波的磁過沖較強(qiáng)時(shí)離子的能量增益更強(qiáng)，而激波橫越電勢(shì)更強(qiáng)時(shí)，能量增益則不一定更強(qiáng).

(5)在離子加速的過程中，激波面處的電場(chǎng)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)共同影響離子的能量增益.激波磁過沖和橫越電勢(shì)對(duì)離子能量增益的貢獻(xiàn)有互相抵消的效應(yīng)，例如激波法向電場(chǎng)的雙極結(jié)構(gòu)對(duì)于離子的激波漂移加速機(jī)制有抑制作用.當(dāng)然，更多時(shí)候激波橫越電勢(shì)和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)對(duì)于離子加速的影響耦合在一起，是無法簡(jiǎn)單區(qū)分的.