實(shí)模態(tài)靈敏度分析的2種模態(tài)算法及其應(yīng)用

張 淼, 于 瀾, 鞠 偉

(1.長(zhǎng)春工程學(xué)院 理學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130012; 2.中國(guó)第一汽車集團(tuán)有限公司 研發(fā)總院,吉林 長(zhǎng)春 130011)

0 引 言

靈敏度分析是指在結(jié)構(gòu)分析中通過(guò)引入設(shè)計(jì)參數(shù)向量,將系統(tǒng)的性質(zhì)矩陣和實(shí)模態(tài)參數(shù)(包括頻率和振型)視為該設(shè)計(jì)參數(shù)向量的函數(shù),并計(jì)算其關(guān)于某個(gè)或某些設(shè)計(jì)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。這些靈敏度分析結(jié)果可構(gòu)成靈敏度矩陣,用于集中處理模型修正[1-2]、損傷識(shí)別[3-4]及結(jié)構(gòu)控制[5]等大型工程問(wèn)題。近年來(lái)，伴隨著靈敏度分析技術(shù)的不斷進(jìn)步,以靈敏度作為基礎(chǔ)依據(jù)的模型修正、損傷識(shí)別及結(jié)構(gòu)優(yōu)化等方面的研究已經(jīng)得到越來(lái)越廣泛的關(guān)注。

針對(duì)無(wú)阻尼對(duì)稱單頻振動(dòng)系統(tǒng),目前較為常見(jiàn)的幾種實(shí)模態(tài)參數(shù)的靈敏度算法包括模態(tài)法[6-10]、代數(shù)法[6,11]、直接法[12-14]和迭代法[15-17]。文獻(xiàn)[6]針對(duì)廣義特征問(wèn)題提出求解特征向量一階靈敏度的代數(shù)法和模態(tài)法,并被視為最經(jīng)典的算法之一,目前依然在工程實(shí)際中得到廣泛的應(yīng)用;文獻(xiàn)[7-9]開(kāi)發(fā)以文獻(xiàn)[6]算法為基礎(chǔ)的截模態(tài)算法;文獻(xiàn)[11]針對(duì)廣義特征問(wèn)題提出能同時(shí)求解特征值與特征向量的一階導(dǎo)數(shù)的代數(shù)法;文獻(xiàn)[10]將文獻(xiàn)[6]算法推廣至實(shí)模態(tài)的二階及更高階靈敏度的計(jì)算中。

而最早的直接法框架是文獻(xiàn)[18]提出的,其針對(duì)特征向量的一階導(dǎo)數(shù)支配方程進(jìn)行數(shù)學(xué)處理,從而改變支配方程的系數(shù)矩陣的奇異性,使之存在唯一解。文獻(xiàn)[12]基于Nelson思想提出特征向量的一階靈敏度算法;文獻(xiàn)[13]將一階靈敏度算法[18]推廣到特征向量的高階靈敏度的計(jì)算中;文獻(xiàn)[14]針對(duì)廣義特征問(wèn)題提出基于Nelson法的特征向量一階靈敏度的移頻迭代技術(shù)。

在模型修正、損傷識(shí)別及結(jié)構(gòu)控制等領(lǐng)域中,人們經(jīng)常將實(shí)測(cè)模態(tài)強(qiáng)制滿足系統(tǒng)質(zhì)量矩陣正交規(guī)范化條件,或者在系統(tǒng)質(zhì)量矩陣正交規(guī)范化條件下與解析模態(tài)進(jìn)行匹配,從而修正矩陣元素,尋找損傷位置或?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)控制,因此與之相關(guān)的靈敏度算法也必須使用質(zhì)量矩陣加權(quán)正交規(guī)范化條件來(lái)確定一個(gè)特別的線性組合系數(shù)[19-21]。而近些年來(lái),在能夠?qū)Y(jié)構(gòu)進(jìn)行越來(lái)越好的參數(shù)化操作后,人們開(kāi)始傾向于發(fā)展更為簡(jiǎn)單的規(guī)范化方法來(lái)獲得實(shí)測(cè)模態(tài),相應(yīng)地,需要開(kāi)發(fā)與之相關(guān)的靈敏度分析算法,來(lái)實(shí)現(xiàn)更為靈活的設(shè)計(jì)參數(shù)型模型修正方法等應(yīng)用于工程實(shí)際。為此本文提出一種新算法,只需以最簡(jiǎn)單方便的歐幾里德范數(shù)為1作為實(shí)模態(tài)向量的規(guī)范化條件,來(lái)計(jì)算其一階、二階靈敏度,并討論其二階泰勒近似式的精度問(wèn)題,最后通過(guò)數(shù)值算例證明該算法的正確性及有效性。

1 實(shí)模態(tài)規(guī)范化方法

在靈敏度分析中特征向量的規(guī)范化條件主要有:① 確保特征向量的唯一性;② 與特征向量的正交性相結(jié)合來(lái)對(duì)角化方程組的系數(shù)矩陣,從而解耦方程組;③ 作為補(bǔ)充方程來(lái)彌補(bǔ)方程組的系數(shù)矩陣的降秩現(xiàn)象,使之存在唯一解。通常情況下,希望一個(gè)特征向量的規(guī)范化條件能滿足以上所有的要求。但為了滿足工程需要,往往通過(guò)去除某些要求,來(lái)適應(yīng)更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)。

N自由度的線性離散振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為:

(1)

把時(shí)間域的矩陣方程變換到拉氏域(變量為λ),并且假定初始位移和速度為0。若阻尼矩陣為零矩陣,則在無(wú)阻尼情況下拉氏域中的系統(tǒng)方程變?yōu)?

(K+λiM)φi=0

(2)

(3)

φi′TMφi=1,i=1,2,…,N

(4)

根據(jù) (3)式,此時(shí)仍有:

φi′TMφj=0,i≠j；i、j=1,2,…,N

(5)

記模態(tài)矩陣分別為Φ=[φ1φ2…φN]和Φ′=[φ1′φ2′ …φN′],根據(jù)(2)式、(4)式、(5)式可得:

Φ′TMΦ=E

(6)

Φ′TKΦ=diag(-λ1,-λ2,…,-λN)

(7)

2 實(shí)模態(tài)靈敏度的全模態(tài)算法

2.1 一階靈敏度

結(jié)構(gòu)靈敏度分析,即關(guān)于某些設(shè)計(jì)參數(shù)的變化所導(dǎo)致的系統(tǒng)響應(yīng)變化的研究,被應(yīng)用于各種工程實(shí)踐中,例如系統(tǒng)識(shí)別、抗干擾控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、基于梯度的數(shù)學(xué)規(guī)劃求解方法、系統(tǒng)響應(yīng)近似、靜態(tài)和瞬態(tài)響應(yīng)計(jì)算以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)等。其中模態(tài)靈敏度分析顯得尤其重要,它在某些分析和設(shè)計(jì)應(yīng)用中能夠完成多種工作,例如在設(shè)計(jì)參數(shù)的擾動(dòng)后求解新的模態(tài)、確定設(shè)計(jì)變化對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力行為所產(chǎn)生的影響、在結(jié)構(gòu)的某點(diǎn)處定制模態(tài)來(lái)達(dá)到最小位移等。

為此,引入設(shè)計(jì)參數(shù)向量b=[b1b2…bq]T,相應(yīng)的(2)式改寫為:

K(b)φ(b)+λ(b)M(b)φ(b)=0

(8)

為了討論方便,以下仍記為(2)式的形式。

若只是為了分析某階模態(tài)的跳躍或彎轉(zhuǎn)[22-23]等獨(dú)立信息,則相對(duì)于某個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度分析值可以作為主要的參考指標(biāo)來(lái)應(yīng)用。但工程中某些反問(wèn)題所引起的逆靈敏度分析中,通常需要計(jì)算該階模態(tài)對(duì)所有設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度,形成梯度矩陣。

對(duì)于單頻無(wú)阻尼系統(tǒng),由于不同的實(shí)頻率所對(duì)應(yīng)的實(shí)模態(tài)向量φk(k=1,2,…,N)線性無(wú)關(guān),因此可以作為 (2) 式的矩陣特征空間的基底,也可作為N維向量空間的基底,因此N維實(shí)模態(tài)向量的一階靈敏度向量φi,j(j=1,2,…,q)一定可在實(shí)模態(tài)空間內(nèi)表示為基底的某一線性組合,即

(9)

對(duì)于某個(gè)確定的i,將實(shí)模態(tài)向量φi所滿足的(2)式兩端分別對(duì)第j個(gè)參數(shù)bj求導(dǎo)得:

K,jφi+Kφi,j+λi,jMφi+λiM,jφi+

λiMφi,j=0

(10)

其中:(·),j代表(·)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)bj的一階偏導(dǎo)數(shù)。再將(9)式代入(10)式并左乘Φ′T,得到實(shí)模態(tài)的一階靈敏度向量φi,j的支配方程為:

Φ′T(K+λiM)Φa(ij)=-Φ′T(λi,jM+

K,j+λiM,j)φi

(11)

用單頻系統(tǒng)實(shí)模態(tài)向量之間的規(guī)范正交化關(guān)系(6)式、(7)式解耦支配方程,即可獲得一階模態(tài)靈敏度系數(shù)的控制方程為:

(12)

首先,觀察一階模態(tài)靈敏度系數(shù)的控制方程組中第i個(gè)方程為:

(13)

由于模態(tài)靈敏度系數(shù)的控制方程的解必然存在,不會(huì)出現(xiàn)矛盾方程,因此(13)式右端恒為0,可解得第i階實(shí)頻率的一階靈敏度為:

λi,j=-φi′T(K,j+λiM,j)φi,

i=1,2,…,N

(14)

其次,利用一階模態(tài)靈敏度系數(shù)的控制方程組中除第i個(gè)方程以外的(N-1)個(gè)方程,可解出(N-1)個(gè)一階模態(tài)靈敏度系數(shù)為:

k≠i;k=1,2,…,N

(15)

(16)

將(9)式代入(16)式得:

a(ij)TΦTφi=0

(17)

即有:

(18)

(19)

因此,由(15)式、(19)式即獲得全部一階模態(tài)靈敏度系數(shù),代入(9)式即可獲得實(shí)模態(tài)向量φi的一階靈敏度向量φi,j(j=1,2,…,q),再根據(jù)定義2,即可獲得實(shí)模態(tài)φi的梯度矩陣[φi]。

2.2 二階靈敏度

結(jié)構(gòu)分析的基本目標(biāo)之一是把能由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)構(gòu)分析模型公式化,該模型一開(kāi)始常常不能產(chǎn)生接近真實(shí)的基頻和模態(tài)振型,繼而必須引入一個(gè)迭代循環(huán)來(lái)調(diào)整分析模型,直到分析和實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)相互匹配。若沒(méi)有靈敏度的參與,則這一調(diào)整過(guò)程很難實(shí)現(xiàn)。近年來(lái)有許多調(diào)整方法在不斷地發(fā)展,但沒(méi)有一個(gè)能被普遍接受的方法出現(xiàn),這是由于對(duì)于一些特殊的應(yīng)用來(lái)說(shuō),很難達(dá)到目的[19]。一些方法還嘗試從不完全的模態(tài)數(shù)據(jù)中建立剛度矩陣,應(yīng)用最小二乘優(yōu)化技術(shù)來(lái)獲得期待的性質(zhì)矩陣;另一些方法則用截?cái)嗵├照归_(kāi)式,在修正過(guò)程中圍繞一個(gè)已知點(diǎn)展開(kāi)每一項(xiàng),然后求近似解的矩,特別是中值和方差。

實(shí)際上,在多數(shù)參數(shù)化的結(jié)構(gòu)分析工作中,都離不開(kāi)1個(gè)或多個(gè)非線性規(guī)劃模型的建立和求解,在此過(guò)程中,要重點(diǎn)考慮數(shù)據(jù)和建模的精度。二階靈敏度的計(jì)算是多樣化信息的來(lái)源,可以提供精度上的必要支持。在與非線性規(guī)劃求解有關(guān)的算法中,對(duì)海森矩陣的近似或精確表達(dá)都是必不可少的程序。

對(duì)于1,2,…,N中某個(gè)確定的i,為了計(jì)算實(shí)模態(tài)向量φi的海森矩陣[2φi],必須計(jì)算φi關(guān)于所有設(shè)計(jì)參數(shù)b1,b2,…,bq的二階靈敏度向量φi,jl(j、l=1,2,…,q)。

定義4 稱

為第i個(gè)實(shí)模態(tài)向量φi關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)向量b=[b1b2…bq]T的二階靈敏度矩陣(海森矩陣)。

N維實(shí)模態(tài)向量的二階靈敏度向量φi,jl(j、l=1,2,…,q)一定可在實(shí)模態(tài)空間內(nèi)表示為基底的某一線性組合,即

(20)

用與一階靈敏度計(jì)算相似的方法推導(dǎo)可得:

λi,lφk′TM,jφi+λiφk′TM,jlφi+

k≠i;k=1,2,…,N

(21)

(22)

其中:(·),jl代表(·)先對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)bj再對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)bl的二階偏導(dǎo)數(shù)。

由(21)式、(22)式可獲得全部二階模態(tài)靈敏度系數(shù),然后代入(20)式可獲得實(shí)模態(tài)向量φi的二階靈敏度向量φi,jl(j、l=1,2,…,q),再根據(jù)定義4,可獲得實(shí)模態(tài)φi的海森矩陣[2φi]。

(23)

3 實(shí)模態(tài)靈敏度的截模態(tài)算法

模態(tài)法最為顯著的特點(diǎn)是利用模態(tài)的正交規(guī)范性解耦了支配方程,便于求解。一方面由于其公式化的遞推形式,很容易在計(jì)算機(jī)上編程實(shí)現(xiàn);另一面由于其不需要任何數(shù)值技術(shù)就能提供一種穩(wěn)定的精度,這使得模態(tài)法具有良好的工程應(yīng)用性。但是全模態(tài)法在工程應(yīng)用中最大的難點(diǎn)在于需要獲得所有各階實(shí)模態(tài)來(lái)做線性組合才能得到精確解,眾所周知,在工程實(shí)際中獲得全部模態(tài)是十分困難的,因此尋求其所對(duì)應(yīng)的高效的截模態(tài)算法[7-9,24]具有十分重要的工程意義。

由(15)式、(21)式可知,由于兩式右端項(xiàng)的分母中含有因子(λk-λi),當(dāng)所求模態(tài)落入模態(tài)密集區(qū)時(shí),它們所對(duì)應(yīng)的頻率差很小,在一階及二階靈敏度的線性組合(9)式、(20)式中,這些線性組合系數(shù)就會(huì)相對(duì)較大[25]。這一點(diǎn)提示可以適當(dāng)?shù)乜s減自由度,由此可以只取距離所求模態(tài)范圍不是很遠(yuǎn)的模態(tài)來(lái)參與計(jì)算,而略去那些距離較遠(yuǎn)處的模態(tài)的貢獻(xiàn),從而建立一種截?cái)鄿?zhǔn)則,形成截模態(tài)算法。此截模態(tài)算法的精度及誤差,尤其是當(dāng)(23)式中所包含的梯度和海森矩陣中的所有一階、二階靈敏度均用截模態(tài)算法計(jì)算時(shí),誤差積累所產(chǎn)生的影響將通過(guò)以下數(shù)值算例加以說(shuō)明。

4 數(shù)值算例

一個(gè)7自由度的卡車集成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)如圖1所示。只考慮垂直平面上的振動(dòng),所有水平、轉(zhuǎn)動(dòng)和偏轉(zhuǎn)方向上的自由度并不予以考慮。

結(jié)構(gòu)各參數(shù)取值如下:前輪中心至車廂與車架連接的等效彈簧的距離分別為z1*=1.8 m、z2*=2.3 m、z3*=3.8 m、z4*=4.3 m、z5*=5.0 m、z1=2.5 m,前輪中心至車架質(zhì)心的距離z4=2.0 m,前輪中心至車廂質(zhì)心的距離z5=3.0 m,前輪中心至后懸掛點(diǎn)的距離L=3.5 m,后輪中心至后懸掛點(diǎn)的距離l=0.85 m,前輪、后輪、車架及車廂的等效質(zhì)量分別為m1=75 kg、m2=m3=80 kg、m4=3 500 kg、m5=1 800 kg,車廂繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J4,車架繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J5,車輪、前懸掛系統(tǒng)、后懸掛系統(tǒng)以及車廂與車架連接的等效阻尼系數(shù)分別為c0=120 N·s/m、c1=150 N·s/m、c2=50 N·s/m、c3=80 N·s/m,車輪、前懸掛系統(tǒng)、后懸掛系統(tǒng)以及車廂與車架連接的等效彈簧剛度分別為k0=12 000 N/m、k1=14 000 N/m、k2=9 500 N/m、k3=4 000 N/m。

圖1 7自由度卡車模型

取k3作為設(shè)計(jì)參數(shù)。以其第1階實(shí)模態(tài)為例,在初始系統(tǒng)中,計(jì)算得到的第1階實(shí)模態(tài)值；利用(9)式、(15)式、(19)式計(jì)算得到第1階實(shí)模態(tài)的一階靈敏度；利用(20)～(22)式計(jì)算得到第1階實(shí)模態(tài)的二階靈敏度值均見(jiàn)表1所列。

表1 初始系統(tǒng)的第1階實(shí)模態(tài)、靈敏度及其變化后系統(tǒng)的第1階實(shí)模態(tài)的泰勒近似值和誤差

表2 初始系統(tǒng)的第2階實(shí)模態(tài)、靈敏度及其變化后系統(tǒng)的第2階實(shí)模態(tài)的泰勒近似值和誤差

表3 初始系統(tǒng)的第3階實(shí)模態(tài)、靈敏度及其變化后系統(tǒng)的第3階實(shí)模態(tài)的泰勒近似值和誤差

表4 第1階實(shí)模態(tài)靈敏度的截模態(tài)算法的泰勒近似誤差 10-5

表5 第2階實(shí)模態(tài)靈敏度的截模態(tài)算法的泰勒近似誤差 10-4

表6 第3階實(shí)模態(tài)靈敏度的截模態(tài)算法的泰勒近似誤差 10-4

由表1～表3可知,實(shí)模態(tài)在步長(zhǎng)為4時(shí)比較穩(wěn)定,用本文提出的全模態(tài)算法對(duì)變化后的實(shí)模態(tài)進(jìn)行二階泰勒近似,其誤差很小,說(shuō)明本文全模態(tài)算法具有非常好的精度。

由表4～表6可知,即使只選取主模態(tài)附近及其附近極少的模態(tài)進(jìn)行截模態(tài)算法的疊加運(yùn)算,其精度也非常可靠,截模態(tài)算法與全模態(tài)算法誤差的數(shù)量級(jí)基本一致,說(shuō)明本文提出的截模態(tài)算法具有良好的工程應(yīng)用性。

5 結(jié) 論

本文提出的計(jì)算實(shí)模態(tài)向量的梯度向量及海森矩陣的方法,以及實(shí)模態(tài)向量在設(shè)計(jì)參數(shù)發(fā)生擾動(dòng)后的新值二階泰勒近似算法,都為工程應(yīng)用提供可靠且高效的算法基礎(chǔ)。利用一種更易于操作的實(shí)模態(tài)規(guī)范化條件,解決了由于靈敏度支配方程降秩所導(dǎo)致無(wú)法求解靈敏度系數(shù)的問(wèn)題,并實(shí)現(xiàn)了在相應(yīng)規(guī)范化條件下靈敏度的唯一性表達(dá),使計(jì)算的靈敏度能夠正確反映原始輸出實(shí)模態(tài)的變化。數(shù)值算例的結(jié)果證明了本文算法的精確性、有效性和可靠性。