質(zhì)量偏心對火箭彈振動特性影響的分析

楊宜

（中國直升機設(shè)計研究所，江西景德鎮(zhèn) 333001）

0.引言

火箭彈在高速運動過程中，通常需要通過彈體自旋來維持飛行姿態(tài)，火箭彈自旋可帶來的優(yōu)點很多，如減少由質(zhì)量偏心、推力偏心、氣動偏心等非對稱因素對飛行性能的影響，這也是自旋飛行方式廣泛應(yīng)用于各種戰(zhàn)斗飛行器的重要原因。如由美國洛克威爾國際公司為美國陸軍研制的AGM-114反坦克導(dǎo)彈，中國航天科技集團(tuán)公司第七研究院研究的“地地戰(zhàn)術(shù)打擊武器系統(tǒng)”的代表WS系列多管火箭武器系統(tǒng)。但因為加工精度、安裝等問題，彈體不可避免會存在質(zhì)量偏心問題，在火箭彈不做旋轉(zhuǎn)運動飛行時，因質(zhì)量偏心引起的運動穩(wěn)定性問題可不做考慮。但對于本文研究的自旋火箭彈而言，因為火箭彈的自身旋轉(zhuǎn)和質(zhì)量偏心，會形成一個作用于彈體橫向的周期往復(fù)載荷，進(jìn)而引起彈身的振動，若此時的彈體旋轉(zhuǎn)角速度與自身的固有頻率相近，則會引起彈體與旋轉(zhuǎn)頻率的共振，進(jìn)而造成進(jìn)一步的嚴(yán)重后果[1]，而隨著彈體的長徑比變大，彈體橫向形變對彈道性能的影響便不能被忽略[2]。此時火箭彈的橫向彎曲變形增加了彈體的有效氣動阻力面積，改變了氣動載荷的分布，使得彈體的壓心前移、穩(wěn)定性變差，進(jìn)而使彈體偏離預(yù)期軌道，影響射程和密集度[3-4]。且當(dāng)動壓超過一定閾值時，會導(dǎo)致彈體直接失穩(wěn)乃至發(fā)生顫振[5-6]。

1.模型簡化

假設(shè)彈體的質(zhì)心的位置狀態(tài)不變，且桿件可繞質(zhì)心處作繞彈軸的旋轉(zhuǎn)運動，并只取質(zhì)心到彈頭的一段彈長進(jìn)行分析。得到最終的簡化模型如圖1所示，在彈頭處受氣動阻力-f，且具有向彈體后方的慣性載荷-ma，同時彈身還具有旋轉(zhuǎn)角速ω。

圖1 出口階段火箭彈理論分析模型

2.振動方程

為便于理論建模分析，需對彈體作以下假設(shè)，如圖2～圖4所示，彈體的橫截面積A、單位長彈體質(zhì)量為ρmA、彈體各截面質(zhì)心坐標(biāo)yG，偏心距為ε(x)，又考慮到彈體在軸向還有端部氣動載荷和軸向均布載荷，可用N(x)表示彈體在任意x截面處的軸向受力[7-8]。

圖2 彈體的質(zhì)心分布與與截面受力圖

圖3 彈體任一截面的質(zhì)心位置

圖4 軸壓下彈體的截面受力分析

此時彈體偏心振動方程如下：

上式即為旋轉(zhuǎn)彈體受軸向壓力的動力學(xué)方程，式子的左端第一項表示彈體線質(zhì)量密度對橫向撓度的影響；第二項則表示彈體所受軸向壓力的影響；第三項表示彈體自身剛度值的影響；式子的右端表示旋轉(zhuǎn)彈體因質(zhì)量偏心而產(chǎn)生的離心載荷。

3.方程求解

3.1 振型方程求解

在分析離散系統(tǒng)的動響應(yīng)過程中，我們常利用主振型的正交性使微分方程解耦，從而將多自由度系統(tǒng)的動響應(yīng)分析轉(zhuǎn)化為多個單自由度系統(tǒng)的模態(tài)響應(yīng)問題。在求解各模態(tài)的動響應(yīng)后再進(jìn)行疊加，就可以得到原系統(tǒng)的響應(yīng)，這種模態(tài)分析方法也稱主振型疊加法[9]。令彈體偏心振動方程式等于零，即可得受軸向壓力時桿的橫向振動方程為：

3.2 邊界條件

由邊界條件可知：

對于彎曲剛度為EI，軸向載荷為N(x)，線質(zhì)量密度分布為ρmA的彈體，在分布的離心慣性載荷-ρmAω2ε(x)sin(ωt)作用下，彈體的振動微分方程為：

桿的各階振型Xi(x)滿足下列方程：

由上小節(jié)證明得知，在邊界條件下振型函數(shù)應(yīng)滿足正交關(guān)系，于是方程的解可以表示為振型函數(shù)的無窮級數(shù)，即：

3.3 lagrange方程推導(dǎo)振動微分方程

將qi(t)看做系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，用lagrange方程推導(dǎo)廣義坐標(biāo)下的運動微分方程，此時桿上各點的速度表示為：

系統(tǒng)動能表達(dá)式：

彈體彎曲勢能表達(dá)式：

彈體因軸向力做功勢能表達(dá)式：

此時系統(tǒng)總勢能總勢能表達(dá)式：

設(shè)彈體的虛位移為：

則載荷 -ρmω2ε(x)sin(ωt)在虛位移上做的功為 ：

式中的廣義力的定義如下：

將廣義力Qi、動能Ek以及勢能Ep的表達(dá)式帶入lagrange方程得最終微分方程表達(dá)式：

式中：

4.結(jié)論

取ζi=pi/ω，代入彈體參數(shù)（表1）后，對響應(yīng)表達(dá)式y(tǒng)(x,t)進(jìn)行繪圖可得。

表1 彈體計算參數(shù)

由圖5、圖6可知彈體的的每一階振型對于整體的響應(yīng)都有貢獻(xiàn)，且當(dāng)彈體的旋轉(zhuǎn)角速度與與受壓彈體某一階頻率相近時，該階對整體的響應(yīng)貢獻(xiàn)最大。彈體的頻率pi與旋轉(zhuǎn)角速度的比值?i越大時，此時第i階的振型對整體響應(yīng)的貢獻(xiàn)越小，所以對于彈體振動表達(dá)式一般取前4階即可。

圖5 響應(yīng)表達(dá)式值與頻率角速度比ζi

圖6 時間-幅值