非二次條件下一類橢圓系統(tǒng)的正解

吉 蕾

(晉中學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030619)

0 引言

考慮如下一類橢圓系統(tǒng)

(1)

其中：Ω?RN(N≥5)是具有光滑邊界?Ω的有界開集，參數(shù)k≥0.

系統(tǒng)(1)源自文獻(xiàn)[1]建立的數(shù)學(xué)模型.自此，四階橢圓型方程得到了人們廣泛的關(guān)注研究，近期相關(guān)結(jié)果可參見文獻(xiàn)[2-6]等及其相關(guān)文獻(xiàn).文獻(xiàn)[7]研究了系統(tǒng)(1)在一維情形下解的存在性.在非線性項(xiàng)形式更一般時(shí)，文獻(xiàn)[8]運(yùn)用山路引理和強(qiáng)極大值原理得到了系統(tǒng)(1)的正解.山路引理的運(yùn)用需要假設(shè)(AR)條件，但在實(shí)際應(yīng)用中，有很多函數(shù)不滿足(AR)條件.文獻(xiàn)[9]中作者提出了非二次條件.因此，本文考慮了非二次條件下系統(tǒng)(1)正解的存在性.

1 預(yù)備知識(shí)

下面給出本文所用的一些符號(hào)和定義，以及用到的命題.

設(shè)λ1是問題

-Δu=λu，x∈Ω，u=0，x∈?Ω

Δ2u=λu，x∈Ω，Δu=u=0，x∈?Ω

由變分法知，系統(tǒng)(1)的弱解對(duì)應(yīng)于以下能量泛函的臨界點(diǎn)：

其中：u=(y,z)∈V；F(x,u)為系統(tǒng)(1)的位勢(shì)函數(shù)，即

?uF(x,u)=f(x,u)=(f1(x,u),f2(x,u)).

且對(duì)?u=(y,z)，v=(ξ,η)∈V，

下面給出泛函J滿足(C)c條件的定義及證明中用到的環(huán)繞定理：

環(huán)繞定理[11]設(shè)H是實(shí)Hilbert空間，泛函J∈C1(H,R)，對(duì)?c>0，滿足(C)c條件.若存在閉子集S?H和Hilbert流形Q?H，且滿足：

(ii)S與?Q環(huán)繞；

則泛函J有臨界值c≥β.

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)系統(tǒng)(1)滿足條件(H1)-(H5)：

(H1)f1，f2∈C(Ω×R2,R).當(dāng)x∈Ω，u=(y,z)∈R2時(shí)，f1(x,u)，f2(x,u)≥0.

|f1(x,u)|+|f2(x,u)|≤a0|u|p-1+b0.

(H5)存在a2，b2>0，使得

關(guān)于a.e.x∈Ω一致成立.

則系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)正解.

推論假設(shè)(H1)～(H4)成立，且

關(guān)于a.e.x∈Ω一致成立，則系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)正解.

注定理中的條件(H4)即為非二次條件.比較上述結(jié)果和文獻(xiàn)[8]中的定理，文獻(xiàn)[8]中的條件(H3)即為(AR)條件，容易找到滿足推論條件而不滿足(AR)條件的函數(shù)，例如

F(x,u)=|u|2ln(1+|u|2).

3 主要結(jié)果的證明

分三步完成定理的證明.

第一步 證明對(duì)?c∈R，泛函J滿足(C)c條件.

由條件(H2)，上述泛函J∈C1(V,R)，設(shè)c∈R，任取{un=(yn,zn)}?V且

(2)

由(2)可得，存在M>0，使得

(3)

又由條件(H4)，存在實(shí)數(shù)M1>0，當(dāng)|u|≥M1時(shí)，有

(4)

當(dāng)|u|0，使得

(5)

由(4)、(5)可知存在常數(shù)C2>0，使得對(duì)?u∈R2和a.e.x∈Ω，有

成立.因此由(3)可推知

(6)

由條件(H3)，存在常數(shù)M2>0，使得當(dāng)|u|≥M2時(shí)，有

當(dāng)|u|0，使得F(x,u)≤C4.對(duì)?u∈R2和a.e.x∈Ω，有

F(x,u)≤2a1|u|q+C4.

(7)

一方面，由(3)和(7)可得

(8)

另一方面，當(dāng)k≥0時(shí)，

(9)

因此由(8)、(9)可得

(10)

于是，將H?lder不等式、Sobolev嵌入不等式和式(6)應(yīng)用于式(10)，可得

(11)

其中C6>0為常數(shù).

事實(shí)上，令

則

對(duì)ε0>0，由(H2)和(H5)可知，存在A≥0，B≥0，使得對(duì)?u∈R2和a.e.x∈Ω，

(12)

成立.所以

其中

又由(12)有

所以

(13)

令u0=(φ1,φ1)，則

(14)

由(13)和(14)可得，當(dāng)t→∞時(shí)，

第三步 證明泛函J存在非零臨界點(diǎn)，并證明該非零臨界點(diǎn)為系統(tǒng)(1)的正解.

應(yīng)用環(huán)繞定理，令

其中t0>0，使得J(t0u0)≤0.因此泛函J存在臨界值c≥γ>0，設(shè)J(u*)=c>0，則J′(u*)=0，即u*為泛函J的非零臨界點(diǎn)，即為系統(tǒng)(1)在V中的非零弱解.設(shè)u*=(y*,z*)，根據(jù)(H1)可斷言：y*≥0且z*≥0.

由k≥0得

由定理的結(jié)論，很容易推得推論成立.

4 結(jié)語

本文通過環(huán)繞定理和強(qiáng)極大值原理，當(dāng)非線性項(xiàng)在無窮遠(yuǎn)處滿足非二次條件時(shí)，得到了橢圓系統(tǒng)(1)正解的存在性. 此時(shí)非線性項(xiàng)更具一般性，所得結(jié)論推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的內(nèi)容.