構(gòu)造直角三角形解答幾何問題的題型分析

莊菊詠

摘要：幾何問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn).幾何問題，是將一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形（直角三角形、平行四邊形等）進(jìn)行求解.而直角三角形是最有效的圖形之一，主要思路是對(duì)原圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形的相關(guān)問題，并利用直角三角形的性質(zhì)等直接求解.本文中主要介紹了直角三角形在求解幾何問題中的幾種應(yīng)用及對(duì)應(yīng)的策略.

關(guān)鍵詞：直角三角形;幾何題型;解題技巧

1 求角度

求解圖形中某一個(gè)角的大小是幾何問題中的常見問題之一.這類型問題可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解，利用直角三角形的特點(diǎn)和性質(zhì)，結(jié)合其他圖形，計(jì)算待求角的大小.解答這類問題的具體思路：①分析題意，添加輔助線構(gòu)造直角三角形;②利用直角三角形的特點(diǎn)（例如直角等于90°）、性質(zhì)，結(jié)合幾何知識(shí)求解;③經(jīng)過邏輯推理計(jì)算角的大小.

例1 △ABC的BC邊上存在一點(diǎn)P，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的大小.

分析：本題存在特殊角∠APC=60°，經(jīng)過點(diǎn)C作AP的垂線，構(gòu)造直角三角形CDP，將∠ACB分為兩部分，再根據(jù)點(diǎn)P的位置和∠APC的大小進(jìn)行分析.

解：如圖1，過點(diǎn)C作CD⊥AP，垂足為D，連接BD.

在Rt△CDP中，

∵∠APC=60°，

∴∠DCP=30°.

∴PC=2PD.

∵PC=2PB，

∴PB=PD.

∴∠PBD=∠PDB=30°.

又∵∠ABC=45°，

∴∠DAB=∠DBA=15°.

∴BD=AD=CD，∠ACD=45°.

∴∠ACB=45°+30°=75°.

2 求線段的長(zhǎng)

求解圖形中某一線段的長(zhǎng)是幾何圖形中的常見問題，有時(shí)可以通過構(gòu)造直角三角形求解，利用直角三角形的特殊角和對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，并結(jié)合相關(guān)定理（勾股定理、射影定理等）求解線段長(zhǎng)度.解答這類問題的具體思路為：①根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，并確定其內(nèi)角的大小;②利用特殊的三角函數(shù)值或?qū)?yīng)的定理列式求解，計(jì)算所求線段的長(zhǎng)度.

例2 在△ABC中，D是AC邊上一點(diǎn)，若BD⊥AB，∠ABC=120°，AB=CD=1，求AD的長(zhǎng).

分析：如圖2所示，本題需要從點(diǎn)B入手再構(gòu)造一個(gè)直角三角形，通過比例關(guān)系和勾股定理解得線段AD的長(zhǎng)度.

解：過點(diǎn)C作CE⊥AB，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

又DB⊥AB，所以BD∥CE.

令A(yù)D=x，則

x1=1BE，

即BE=1x.

所以，在Rt△BCE中，CE=BE＼5tan 60°= 3x.

在Rt△ACE中，由勾股定理可知1+x2=1+1x2+ 3x2，

即x4+2x3-2x-4=0.

等價(jià)于：x+2x3-2=0.

因?yàn)閤>0，

所以x=32，即AD=32.

3 求面積

求解某個(gè)圖形的面積大小是幾何中的?？紗栴}.這類型問題有時(shí)可以構(gòu)造直角三角形求解，一般將原問題轉(zhuǎn)化為求解直角三角形的面積問題，利用直角三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.解答的具體思路為：①分析圖形特點(diǎn)，通過輔助線等手段構(gòu)造直角三角形;②根據(jù)題意分析直接或間接計(jì)算面積，并確定相關(guān)線段的長(zhǎng)度;③利用幾何圖形的面積公式計(jì)算求解.

例3 已知在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=135°，AD=2 3，BC=6，求四邊形ABCD的面積.

分析：由題意可知，四邊形ABCD是不規(guī)則圖形，其面積需要利用添補(bǔ)法求解.如圖3所示，將其添補(bǔ)為一個(gè)直角三角形，并利用直角三角形的面積公式間接求解.

解：設(shè)DA，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，

由題意可得，四邊形補(bǔ)為Rt△EDC，如圖3所示，

且△EAB和△EDC都是等腰直角三角形.

在Rt△EAB中，令A(yù)B=BE=x，

則AE= 2x.

在Rt△EDC中，

DE=DC=2x+23，EC=x+6.

所以cos 45°= 2x+2 3x+6.

解得x=6-2 6.

故S四邊形ABCD=S△ECD-S△EAB=12[ 2（6-2 6）+2 3]2-126-2 62=12.

4 求最值

最值問題是幾何中的一類?？紗栴}，一般為求線段的最值或角度的最值，有時(shí)可以利構(gòu)造直角三角形求解.解答的具體思路為：①根據(jù)題目特點(diǎn)構(gòu)造直角三角形;②將待求角或待求線段與直角三角形建立聯(lián)系;③利用直角三角形的知識(shí)分析待求最值.

例4 在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在邊AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使線段DE將△ABC分為面積相等的兩個(gè)部分，試求這個(gè)線段的最短長(zhǎng)度.

分析：利用勾股定理的逆定理可知△ABC為直角三角形.過點(diǎn)D作△DEA的高DF，將原問題轉(zhuǎn)化為求解直角三角形的問題.

解：由BC=5，AB=12，AB=13，結(jié)合

勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且AC⊥BC.

故S△ABC=12×5×12=30.

又因?yàn)榫€段DE將△ABC分為面積相等的兩個(gè)部分，

所以S△DEA=15.

過點(diǎn)D作△DEA的高DF，交AC于點(diǎn)F，如圖4，則DF∥BC.

設(shè)AD=x，AE=y，

則DF5=AF12=x13.

所以DF=513x，AF=1213x，EF=y-1213x.

在Rt△DEF中，由DE2=EF2+DF2，得

y-1213x2+513x2=x-y2+213xy.

又由S△DEA=15，得xy=78.

所以DE2=x-y2+12.

因此當(dāng)x=y時(shí)，DE有最小值23.

故DE的最小值為23.

5 作證明

證明題是幾何中必不可少的一類問題，證明形式包括求證角度的大小或關(guān)系，求證線段的長(zhǎng)度或關(guān)系等，構(gòu)造直角三角形是解答幾何證明題常用的有效手段.具體思路為：①根據(jù)題意分析題目特點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形;②利用直角三角形的角度關(guān)系或邊長(zhǎng)關(guān)系，將待證明的線段或角與直角三角形建立聯(lián)系;③最后利用直角三角形的相關(guān)知識(shí)求證即可.

例5 已知點(diǎn)M是Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在邊AB，AC上，且PM⊥QM.

求證：PQ2=PB2+QC2.

分析：本題中QC與PQ，PB沒有直接關(guān)系，要想證明PQ2=PB2+QC2成立，就需要構(gòu)造直角三角形，將這三條邊之間建立聯(lián)系，且PQ為斜邊，如圖5所示.

證明：

延長(zhǎng)QM至點(diǎn)N，使MN=QM，

連結(jié)PN，BN，如圖5所示.

∵PM⊥QM，

∴PQ=PN.

又∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，

∴△BMN≌△CMQ.

∴BN=QC，∠MBN=∠C.

∴BN∥AC.

∴∠PBN=∠A=90°.

∴PN2=PB2+BN2.

故PQ2=PB2+QC2成立.

本文中介紹的幾種題型都是常見的利用直角三角形求解的幾何問題.直角三角形對(duì)求解幾何問題有重要作用，能有效降低題目難度，化繁為簡(jiǎn).解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活構(gòu)造直角三角形，除此之外，還要熟練掌握直角三角形的性質(zhì)及面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，確保萬無一失.

參考文獻(xiàn)：

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