一道研究生入學考試題的思考

高巧琴

(呂梁學院 數(shù)學系， 山西 離石 033001)

0 引言

數(shù)學分析的研究對象是函數(shù)，主要研究函數(shù)的三大分析性質(zhì)：連續(xù)性、可微性與可積性，而極限是研究它們的主要工具，是貫穿數(shù)學分析的一條主線.因此,掌握好極限的求解方法是學習數(shù)學分析的關(guān)鍵環(huán)節(jié).極限包含數(shù)列極限與函數(shù)極限，二者是特殊與一般關(guān)系，要掌握求極限的方法，首先從最基本的數(shù)列極限開始.

求數(shù)列極限的方法繁多，學生碰到這類問題時常常會出現(xiàn)對方法選擇的困惑.以南京師范大學2017年研究生入學考試數(shù)學分析第一題的一道數(shù)列極限為例，分析探討學生易出現(xiàn)的誤區(qū)及合理選擇正確方法求解數(shù)列極限.

試題計算極限：

筆者針對這道題目的解法分析，探討在教學中如何打破學生的定勢思維和培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力.

1 解法分析

很多同學首先想到利用迫斂性求解：

因為

(1)

這樣的解法是錯誤的，錯在哪里呢？

可以看出，對于所有的n并不是單調(diào)的，而是從第三項開始是嚴格單調(diào)遞減的，如圖1所示.

圖1 數(shù)列的圖像

結(jié)構(gòu)分析這屬于數(shù)列極限問題，從形式上看，是關(guān)于n項和的極限，但不能直接應(yīng)用數(shù)列極限的四則運算法則，因為隨著n的增大數(shù)列項數(shù)不斷增加，而四則運算法則只適用于有限個數(shù)列的和，鑒于此，常規(guī)的思路是先求和再求極限.

方法1：(利用均值極限)

方法2：(利用施篤茲定理)

2 幾點反思

2.1 教師在教學過程中，一方面要注重基本概念的解析、基本理論的拓展、基本方法的使用、典型錯誤的剖析；另一方面，要打破學生的思維定勢，全方位考慮問題，可以培養(yǎng)學生的探索精神，提高學生解決問題的能力和創(chuàng)新思維能力[3].

2.2 學生在學習過程中，要研究各種解題方法的原理本質(zhì)，總結(jié)在解題過程中容易出現(xiàn)的誤區(qū)，注意知識的嚴謹性，學會全面分析解決問題的能力.