首次積分法求變系數(shù)（3+1）維非線性薛定諤方程的精確解

歐陽坦，肖 冰

（新疆師范大學 數(shù)學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017）

物理學、生物學、化學、力學、生物醫(yī)學、通信工程、圖像處理等許多領(lǐng)域的問題通過數(shù)學建模都可以歸結(jié)為非線性偏微分方程的相關(guān)問題。因此，研究非線性偏微分方程的精確解［1-5］有助于更好地處理以上問題。目前，許多求解非線性微分方程精確解的有效方法已經(jīng)被證明，如指數(shù)函數(shù)法［6］，齊次平衡法［7］，雙曲正切法［8］，Jacobi橢圓函數(shù)展開法［9］等。

肖婷婷［10］用Jacobi 橢圓函數(shù)展開法求出了1 維薛定諤方程的精確解，杜玲禧等［11］用符號運算方法求出了廣義非線性薛定諤方程的精確解，張清梅等［12］用首次積分法［13］求出了廣義非線性薛定諤方程和高階色散非線性薛定諤方程的精確解，何曉瑩等［14］用首次積分法求出了（2+1）維非線性薛定諤方程。基于以上研究，文章運用首次積分方法來求解變系數(shù)（3+1）維非線性薛定諤方程［15］。

它描述的是空間孤子在克爾介質(zhì)中的傳輸特性且系數(shù)隨時間而變換，在直角坐標系中的歸一化形式，u(x,y,z)是孤波波包，t 為歸一化傳輸時間；β(t)是克爾非線性系數(shù)，當β(t)＞0 時是自聚焦非線性介質(zhì)，當β(t)＜0 時是自散焦非線性介質(zhì)。當（1）在一維的情況下，它描述的是光孤子在單模光纖中的傳輸規(guī)律［16］。求解方程（1）的精確解具有非常重要的意義，可以洞察這些物理現(xiàn)象的本質(zhì)，非線性薛定諤方程可以解釋光脈沖在色散和非線性介質(zhì)中的傳輸，可以討論非線性光學的自陷現(xiàn)象。

1 首次積分方法的介紹

對于一個非線性偏微分方程：

再引入一個新的獨立變量X( ξ )=U( ξ ),Y( ξ )=U( ξ ),則（2）等價于常微分方程組

由常微分方程的定性理論可知，若能找到首次積分，常微分方程組就能通過除法定理得到它的解。

除法定理：假設(shè)P( w,z )，Q( w,z )是復數(shù)域C[ w,z ]上的多項式，并且P( w,z )是復數(shù)域C[ w,z ]上的不可約多項式，如果P( w,z )的所有零點也是Q( w,z )的零點，那么在復數(shù)域上存在一個多項式Q[ w,z ]使得Q[ w,z ]=P[ w,z ]G[ w,z ].

2 變系數(shù)（3+1）維非線性薛定諤方程的精確解

假設(shè)（1）有如下形式的行波解

將（5）代入（1）得

令X(ξ )=U(ξ ),Y(ξ )=Uξ(ξ ),則方程（6）等價于

依照首次積分方法，假設(shè)X( ξ ),Y( ξ )是（7）的非平凡解，則在復數(shù)域C上存在不可約多項式

其中，ai( X( ξ ))( i=0,1,…,m )是關(guān)于X( ξ )的多項式，且am( X( ξ ))≠0（,8）為（7）的首次積分。由除法定理可知，在復數(shù)域C上存在多項式g( X )+h( X )Y滿足

情形1 考慮m=1，則（8）變?yōu)?/p>

將（10）代入（9）后比較等式兩邊Yi( i=0,1) 的系數(shù)得

由（11）可知a1( X )為一個常數(shù)且h( X )= 0.為了運算的簡便不妨假設(shè)a1( X )= 1，通過平衡a0( X )和g( X)的系數(shù)，可得deg=2.則令g( X )=AX+B，可得a0( X )=AX2+BX+D，其中D 為積分常數(shù)。將a0( X )代入（13），并使Xi兩邊的系數(shù)相等，可得

將（14）代入（8）得

將（16）代入（7）得

其中，ξ0為任意常數(shù)。

所以，可以得到（1）的精確解

同理，將（15）代入（8）得

將（19）代入（7）得

其中ξ0為任意常數(shù)。

所以，可得（1）的精確解

情形2 考慮m = 2的情形，則（8）變?yōu)?/p>

將（22）代入（9）后比較等式兩邊Yi( i=0,1,2 )的系數(shù)得

由（23）可知a2( X )為一個常數(shù)且h( X )=0.為了運算的簡便不妨假設(shè)a2( X )=1,通過平衡a0( X )，a1( X )，g( X )的系數(shù)，可得deg[ g( X )]=1，deg[ a1( X )]=2，deg[ a0( X )]=4。則令g( X )=AX+B,可得

其中E 為積分常數(shù)。將a0( X )，a1( X )，g( X )代入（26），并使Xi兩邊的系數(shù)相等，可得

解方程（29）至（34），可得

將其解（35）代入（27），（28）得

將（37），（38）代入（8）得，

解（39）可得

將（40）代入（7）得

其中，ξ0為任意常數(shù)。

所以，得到（1）精確解

同理，將（36）代入代入（27），（28）得

將（43），（44）代入（8）得，

解（45）可得

將（46）代入（7）得

其中，ξ0為任意常數(shù)。

所以，可得（1）的精確解

結(jié)論

文章在交換代數(shù)的環(huán)理論的基礎(chǔ)上，應(yīng)用首次積分法，通過計算得到了在m=1 和m=2 的情形下變系數(shù)（3+1）維非線性薛定諤方程的精確解，當m=1 時，精確解為（18）和（21），當m=2 時，精確解為（42）和（48），并且這些都是新的方法的精確解。首次積分方法在求解變系數(shù)（3+1）維非線性薛定諤方程時，是具有可行性的，可以將之用于求解條件更廣泛的非線性數(shù)學物理方程。