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    帶約束的多輻射場(chǎng)源半航空瞬變電磁一維自適應(yīng)正則化反演方法

    2022-04-28 08:25:26
    物探與化探 2022年2期
    關(guān)鍵詞:阻層乘子場(chǎng)源

    張 瑩 瑩

    (新疆大學(xué) 地質(zhì)與礦業(yè)工程學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830047)

    0 引言

    半航空瞬變電磁法(semi-airborne transient electromagnetic method, semi-airborne TEM),也稱為地空瞬變電磁法,采用地面發(fā)射、空中接收的工作方式,兼具地面發(fā)射功率強(qiáng)、勘探深度大和空中接收面積測(cè)量、工作效率高的雙重優(yōu)點(diǎn),目前已在地?zé)嵴{(diào)查、火山結(jié)構(gòu)調(diào)查、地下巷道調(diào)查、地下水鹽漬化及地下水監(jiān)測(cè)、采空區(qū)探測(cè)、隧道勘察、古河道結(jié)構(gòu)探測(cè)等領(lǐng)域得到成功應(yīng)用[1-11]。半航空TEM的快速發(fā)展集中在近十年,目前對(duì)半航空TEM的研究仍處在初步階段,數(shù)據(jù)處理和解釋大都仍基于一維解釋方法[12],研究?jī)?nèi)容主要集中在視電阻率求解、快速成像方面,如:陽貴紅分析了接收高度對(duì)電磁響應(yīng)的影響并設(shè)計(jì)了求解全區(qū)視電阻率的算法[13];嵇艷鞠等基于三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Levenberg-Marquardt算法實(shí)現(xiàn)了電性源半航空TEM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)視電阻率反演[14];張瑩瑩等對(duì)多分量磁場(chǎng)響應(yīng)和磁場(chǎng)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)響應(yīng)進(jìn)行分析并基于反函數(shù)原理實(shí)現(xiàn)了多分量的全域視電阻率定義[15];吳啟龍研究了半航空TEM視電阻率成像,并將該算法應(yīng)用于復(fù)雜地形地區(qū)隧道勘察[10];李貅、張瑩瑩等基于瞬變電磁擬地震成像技術(shù)提出了地空瞬變電磁法逆合成孔徑成像,并基于浮動(dòng)薄板原理研究了地空TEM快速成像算法[16-17];呂仁斌利用查詢表方式求解視電阻率,并結(jié)合視深度公式研究了電導(dǎo)率深度成像[18];王仕興等基于分段二分搜索算法建立起電導(dǎo)—電磁響應(yīng)數(shù)據(jù)庫(kù),實(shí)現(xiàn)半航空TEM電導(dǎo)率深度快速成像[19]。這類研究的特點(diǎn)是計(jì)算速度快,不依賴初始模型,但其解釋結(jié)果大都很難提供與層厚相關(guān)的信息,且精度普遍較低,因此,諸如視電阻率計(jì)算和快速成像方法多用作定性分析。在一維反演方面,已有部分國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了相關(guān)工作,如:張澎等引入并行技術(shù)實(shí)現(xiàn)了最平緩模型約束條件下的半航空時(shí)間域電磁數(shù)據(jù)自適應(yīng)正則化反演算法[20];Abdallah等將頻率域電磁反演方法用于GREATEM的時(shí)間域數(shù)據(jù),該法適用于對(duì)電阻率橫向變化大的數(shù)據(jù)進(jìn)行反演[21];趙涵等以O(shè)ccam反演理論為基礎(chǔ)研究了多輻射場(chǎng)源地空瞬變電磁一維反演算法[22];楊聰?shù)冉Y(jié)合自適應(yīng)正則化反演方法和阻尼最小二乘反演方法提出自適應(yīng)正則化—阻尼最小二乘反演算法,該法可在一定程度上提高半航空TEM對(duì)高阻的分辨率,提高反演精度[23]。目前已經(jīng)發(fā)表的一維反演方面的研究成果大都基于單個(gè)輻射源,實(shí)際上半航空TEM的輻射源可以是單一的,也可以是多個(gè),磁性源也可視作多個(gè)輻射場(chǎng)源的疊加。多輻射場(chǎng)源能夠減少單個(gè)輻射源體積效應(yīng)的影響,在地下多方位激發(fā)地質(zhì)體,獲得多方位耦合信息,可通過調(diào)整電性源的位置或電流方向,有針對(duì)性地加強(qiáng)某一分量的采集信號(hào)強(qiáng)度,削弱隨機(jī)噪聲,提高半航空TEM對(duì)異常體的分辨能力[15,24]。在地形復(fù)雜地區(qū),半航空TEM具有重要優(yōu)勢(shì),若再結(jié)合多輻射場(chǎng)源技術(shù),對(duì)于實(shí)現(xiàn)高分辨率深部探測(cè)具有重要意義。與航空電磁法類似,半航空TEM同樣面臨數(shù)據(jù)量大、數(shù)據(jù)信噪比低等問題,可以借鑒航空電磁資料反演中綜合各種先驗(yàn)約束信息并輔以適當(dāng)?shù)淖顑?yōu)化的正則化反演方法,降低反演多解性,實(shí)現(xiàn)半航空TEM數(shù)據(jù)穩(wěn)定快速的一維反演[25]。

    本文結(jié)合半航空TEM的研究現(xiàn)狀和具體特點(diǎn),以多輻射場(chǎng)源半航空TEM為例,實(shí)現(xiàn)了垂直分量帶約束的自適應(yīng)Occam反演算法,在Occam反演的基礎(chǔ)上[26],采用陳小斌等提出的CMD自適應(yīng)調(diào)節(jié)方案改進(jìn)了拉格朗日乘子的處理方式[27],省去傳統(tǒng)Occam反演中搜索拉格朗日乘子的大量計(jì)算過程,并利用自然邊界條件和模型修正量可行下降方向法對(duì)反演過程進(jìn)行約束,減少反演過程的計(jì)算量,保證反演過程的穩(wěn)定性和計(jì)算效率。典型層狀地電模型反演結(jié)果表明,該法可以通過較少的迭代次數(shù)獲得可靠的、抗干擾能力強(qiáng)的反演結(jié)果,為實(shí)現(xiàn)多輻射場(chǎng)源半航空TEM數(shù)據(jù)穩(wěn)定快速一維反演打下理論基礎(chǔ)。

    1 多輻射場(chǎng)源TEM一維正演方法

    圖1 地表電偶極子層狀模型示意Fig.1 Schematic diagram of an electric dipole on the surface of layered earth

    (1)

    根據(jù)電矢量位與磁感應(yīng)強(qiáng)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系:

    (2)

    可得層狀大地地表電偶極子在空中產(chǎn)生的頻率域垂直分量磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式:

    (3)

    (4)

    考慮到實(shí)際工作中使用的發(fā)射源可能長(zhǎng)達(dá)數(shù)千米,在近區(qū)和過渡區(qū),場(chǎng)源不能被看作電偶極子,本文采用剖分疊加、有限求和的方式,將發(fā)射源剖分成多段電偶極子,然后將每一段電偶極子產(chǎn)生的頻率域磁場(chǎng)疊加在一起近似計(jì)算總場(chǎng)源的頻率域響應(yīng)。對(duì)于每一段剖分的電偶極子,z軸始終指向下,選定一個(gè)電性源所在的坐標(biāo)系作為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系(如圖2中的發(fā)射源1),可得層狀大地多輻射場(chǎng)源在空中產(chǎn)生的頻率域垂直分量磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式[28]:

    圖2 多輻射場(chǎng)源剖分示意Fig.2 Coordinate sketch of multi-source subdivision

    (5)

    式中:PEij=Iidsij,Ii表示第i個(gè)電性源的供電電流,dsij表示第i個(gè)電性源剖分的第j個(gè)電偶極子的長(zhǎng)度;φij和rij分別表示測(cè)點(diǎn)M在地表的投影P與第i個(gè)電性源剖分的第j個(gè)電偶極子的夾角和對(duì)應(yīng)的偏移距;n為電性源總個(gè);mi為第i個(gè)電性源的剖分段數(shù)。

    當(dāng)采用階躍電流作為發(fā)射波形時(shí),時(shí)間域響應(yīng)可以由頻率域響應(yīng)通過正弦變換得到:

    (6)

    2 多輻射場(chǎng)源瞬變電磁一維反演方法

    2.1 Occam反演方法

    Occam反演是一種改進(jìn)的帶平滑約束的最小二乘反演方法,在反演時(shí)要求實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與模型數(shù)據(jù)的擬合誤差在一定條件下達(dá)到極小,同時(shí)也要求反演模型的粗糙度達(dá)到極小,反演的目標(biāo)函數(shù)為[26]:

    (7)

    R=‖?m‖2;

    (8)

    其中?為粗糙度矩陣,形式如下:

    (9)

    在初始模型m1附近作線性化,將非線性問題轉(zhuǎn)為線性,則:

    F[m1+Δ]=F[m1]+J1Δ。

    (10)

    式中:Δ是模型修正量;m1是反演一次迭代的解;J1是初始模型的偏導(dǎo)數(shù)矩陣,即雅克比矩陣,其元素

    Jij=?Fi[m]/?mj,

    (11)

    mk+1={μ?T?+(WJ[mk])TWJ[mk]}-1·

    {WJ[mk]}TWdk,

    (12)

    其中:

    dk=d-F[mk]+J[mk]mk。

    (13)

    反演擬合誤差為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和響應(yīng)數(shù)據(jù)的全域視電阻率均方根相對(duì)誤差:

    (14)

    反演終止標(biāo)準(zhǔn)為上述均方根相對(duì)誤差小于給定值。

    2.2 拉格朗日乘子調(diào)節(jié)方案

    根據(jù)式(7),拉格朗日乘子的大小決定了反演的主要擬合對(duì)象。在反演中,反演效率、反演矩陣的病態(tài)程度和反演模型收斂性都與拉格朗日乘子有關(guān)。經(jīng)典的求取最佳拉格朗日乘子的方法是一維線性搜索,但該法每次迭代需要多次正演和求解反演方程,導(dǎo)致計(jì)算量很大;且每次迭代可能存在多個(gè)解,選取不當(dāng)可能導(dǎo)致反演不收斂。本文采用陳小斌等提出的CMD自適應(yīng)調(diào)節(jié)方案[27],該方案在滿足總目標(biāo)函數(shù)極小的同時(shí),還能近似滿足數(shù)據(jù)目標(biāo)函數(shù)極小和模型約束目標(biāo)函數(shù)極小的條件:

    (15)

    式中Δdk是第k次實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與模型數(shù)據(jù)的殘差。該方案不需要額外的正演計(jì)算,調(diào)解方案簡(jiǎn)單,可以有效減少計(jì)算量。

    2.3 可行下降方向法約束

    反演方程式(12)求解的是一個(gè)數(shù)學(xué)問題,為了盡量減少多解性的影響,引入可行下降方向法[29]。但反演過程中每次迭代的結(jié)果并不總是滿足自然規(guī)律,可能是極大值、極小值或負(fù)數(shù),這與實(shí)際地質(zhì)情況顯然不符。為此,設(shè)定m下和m上分別為mk的下界和上界,即可行域,對(duì)每一次迭代的結(jié)果mk進(jìn)行約束,判斷每一層反演的電阻率是否超出給定的下界m下和上界m上,文中取m下=0.1 Ω·m,m上=1 000 Ω·m。若超出可行域,即不滿足自然邊界條件,給出如下可行下降方向法:

    1) 對(duì)于可行域內(nèi)的mk,利用式(13)求出mk+1,計(jì)算出模型修正量Δmk=mk+1-mk。

    2) 令

    (16)

    其中ε為給定的小正數(shù)。

    3) 令

    (17)

    這樣求得的mk+1必在可行域內(nèi)。反演要達(dá)到更高的精度,要求相應(yīng)足夠小的步長(zhǎng)才有可能收斂,否則,在接近極小點(diǎn)附近時(shí),模型修正量大,可能使反演結(jié)果快速陷入局部極小,導(dǎo)致迭代在不能滿足精度要求后進(jìn)入發(fā)散軌跡。在此建議模型修正量的最大值在50 Ω·m以內(nèi)。

    這首詩暗用林和靖梅妻鶴子的典故,但不直白,頗含蓄蘊(yùn)藉,耐人尋味。他將長(zhǎng)安二月未見梅的原因詼諧地歸結(jié)于梅花還在等她的主人到來。董玘的七律也有個(gè)別寫得形象而富有哲理,如《題畫》:

    2.4 雅可比矩陣優(yōu)化

    由式(12)可知反演迭代的主要工作量在于雅克比矩陣的計(jì)算,若使用傳統(tǒng)的差分方法計(jì)算雅克比矩陣的矩陣元,若有N個(gè)反演參數(shù)就必須進(jìn)行N次正演,相應(yīng)的反演時(shí)間基本上就是正演耗時(shí)的N+1倍。瞬變電磁測(cè)深Occam反演的地層參數(shù)包括幾何參數(shù)和電參數(shù),一般同時(shí)待反演的參數(shù)能達(dá)到幾十個(gè),這就導(dǎo)致雅克比矩陣的計(jì)算量很大,因此研究雅克比矩陣的快速算法對(duì)于瞬變電磁資料反演具有重要意義。在此,借鑒文獻(xiàn)[30]中的方法對(duì)靈敏度矩陣進(jìn)行更新,減少雅可比矩陣的計(jì)算量:

    (18)

    3 層狀模型算例

    為檢驗(yàn)上述反演算法的可靠性,對(duì)層狀模型的一維正演數(shù)據(jù)進(jìn)行反演。多輻射場(chǎng)源采用與電流方向相反的平行源,裝置布置示意見圖3,電性源長(zhǎng)度均為200 m,間隔200 m,發(fā)射電流為階躍脈沖,電流大小10 A,電流方向如圖中箭頭所示,在off-time取了20個(gè)時(shí)間道電磁響應(yīng)作為反演數(shù)據(jù),接收線圈接收面積1 m2,匝數(shù)1,飛行高度100 m,以坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)為例進(jìn)行分析。反演過程中,設(shè)置最大迭代次數(shù)20次,反演地層30層,首層厚度為5 m,層厚按對(duì)數(shù)等間隔進(jìn)行離散,反演的初始模型均為電阻率100 Ω·m的均勻半空間。

    圖3 平行源裝置布置Fig.3 Arrangement diagram of parallel source device

    3.1 三層模型

    選擇三層模型中典型的H和K型地電模型進(jìn)行反演試算,H型模型各層電阻率分別為100、10、100 Ω·m,層厚為200、100 m;K型模型各層電阻率分別為100、1 000、100 Ω·m,層厚為200、100 m。圖4所示是H型模型反演結(jié)果,圖中顯示隨著反演迭代次數(shù)增加,拉格朗日乘子和擬合誤差快速下降,反演算法快速穩(wěn)定收斂,反演結(jié)果逐漸逼近真實(shí)模型,最終反演得出的各地層的深度和電阻率均與真實(shí)模型吻合較好。通過10次反演迭代,擬合均方根相對(duì)誤差降至約1%,已能獲得較為理想的反演結(jié)果。

    圖4 H型模型反演結(jié)果Fig.4 Inversion results of H model

    圖5所示是K型模型反演結(jié)果。圖中顯示隨著反演迭代次數(shù)的增加,拉格朗日乘子、擬合誤差、反演結(jié)果均表現(xiàn)出與H型模型相似的變化趨勢(shì),反演結(jié)果基本能反映出真實(shí)模型的特征。所不同的是,由于淺部低阻層的屏蔽作用,最終反演結(jié)果中間高阻層的電阻率值無法反演出真實(shí)模型的電阻率值,這也與瞬變電磁法對(duì)高阻層不夠靈敏的特點(diǎn)相吻合。

    圖5 K型模型反演結(jié)果Fig.5 Inversion results of K model

    3.2 四層模型

    設(shè)計(jì)了更為復(fù)雜的四層HK模型對(duì)反演算法進(jìn)行驗(yàn)證。HK型模型各層電阻率分別為200、50、300、100 Ω·m,層厚為100、100、100 m。隨著反演迭代次數(shù)的增加,拉格朗日乘子、擬合誤差、反演結(jié)果表現(xiàn)出與H型和K型模型相似的變化趨勢(shì),反演過程快速穩(wěn)定,最終能夠得到與真實(shí)模型特征吻合的反演結(jié)果。圖6顯示,本方法對(duì)第二層(低阻層)的反演效果很好,與真實(shí)模型很接近,但對(duì)高阻層沒有準(zhǔn)確反演出真電阻率值;隨著迭代次數(shù)增加,拉格朗日乘子逐漸減小,數(shù)據(jù)擬合誤差逐漸減小,最后趨近于0.4%,經(jīng)過10次迭代,本文算法已經(jīng)可以獲得較好的反演結(jié)果。

    圖6 HK型模型反演結(jié)果Fig.6 Inversion results of HK model

    4 含噪數(shù)據(jù)算例

    在野外實(shí)際工作中,由于各種噪聲源摻雜,半航空瞬變電磁測(cè)量的數(shù)據(jù)包含各種噪聲,如隨機(jī)噪聲和相關(guān)噪聲。為了評(píng)價(jià)噪聲對(duì)上述反演算法的影響,按文獻(xiàn)[25]的方法對(duì)一維正演所得的瞬變電磁響應(yīng)添加高斯噪聲模擬含噪數(shù)據(jù)進(jìn)行一維反演,t時(shí)刻一維正演瞬變響應(yīng)數(shù)據(jù)中加入如下所示高斯隨機(jī)噪聲:

    (19)

    式中:cnoise為常數(shù),表示噪聲大??;tNd和VNd分別表示最后一個(gè)(第Nd個(gè))延時(shí)及該時(shí)刻的理論瞬變響應(yīng)值。這種噪聲表現(xiàn)為晚期信號(hào)信噪比低的特征,與實(shí)際情況相符。

    4.1 三層模型

    圖7 cnoise=0.3高斯隨機(jī)噪聲H型模型反演結(jié)果 Fig.7 Inversion results of H model with cnoise=0.3 Gaussian noise

    圖8所示為添加cnoise=0.3高斯噪聲的K型模型反演結(jié)果,由于電磁場(chǎng)對(duì)高阻的不敏感性,對(duì)中間高阻層的反演結(jié)果一般,不能準(zhǔn)確刻畫高阻層電阻率值。隨著迭代次數(shù)的增加,拉格朗日乘子逐漸降低,但受噪聲影響,擬合均方根相對(duì)誤差在迭代8次時(shí)就逐漸趨于穩(wěn)定。對(duì)比圖5a和圖8a可見,噪聲對(duì)該模型反演結(jié)果的影響同樣主要體現(xiàn)在深部,對(duì)應(yīng)模型深度大于500 m的反演結(jié)果。

    圖8 cnoise=0.3高斯隨機(jī)噪聲K型模型反演結(jié)果Fig.8 Inversion results of K model with cnoise=0.3 Gaussian noise

    4.2 四層模型

    為了分析噪聲強(qiáng)弱對(duì)反演結(jié)果的影響,采用前文中的HK型四層模型,在一維正演瞬變響應(yīng)中分別加入cnoise=0.1、0.3的高斯隨機(jī)噪聲,利用本文提出的方法對(duì)地下電阻率進(jìn)行反演。圖9所示為含cnoise=0.1高斯噪聲的反演結(jié)果。對(duì)比圖6a和圖9a可以看出,由于噪聲信號(hào)強(qiáng)度較弱,含噪與不含噪數(shù)據(jù)的反演結(jié)果差別不大,能夠較好地刻畫出地下電阻率變化趨勢(shì),對(duì)于淺部低阻層反演效果較好,層界面位置也較為清楚,但是對(duì)于較深的高阻層反演效果一般,沒有準(zhǔn)確反演出真電阻率值,僅反映出在相應(yīng)層位存在高阻層,深部地層電阻率反演結(jié)果與模型真電阻率吻合很好。

    圖10所示為含cnoise=0.3高斯噪聲的反演結(jié)果,由圖可見,擬合誤差和拉格朗日乘子隨著迭代次數(shù)逐漸下降,在8次迭代后,擬合均方根相對(duì)誤差就逐漸趨于穩(wěn)定。與圖9a不同的是,由于噪聲信號(hào)強(qiáng)度較大,雖然能夠刻畫出地下電阻率變化趨勢(shì),但深部地層電阻率反演結(jié)果與模型電真阻率差別較大。對(duì)比圖9b和圖10b可以看出,噪聲信號(hào)強(qiáng)度會(huì)影響擬合均方根相對(duì)誤差,噪聲信號(hào)越強(qiáng),最終的擬合誤差越大。

    圖9 cnoise=0.1高斯隨機(jī)噪聲HK型模型反演結(jié)果 Fig.9 Inversion results of HK model with cnoise=0.1 Gaussian noise

    圖10 cnoise=0.3高斯隨機(jī)噪聲HK型模型反演結(jié)果Fig.10 Inversion results of HK model with cnoise=0.3 Gaussian noise

    5 結(jié)論

    本文基于垂直分量研究了帶約束的多輻射場(chǎng)源地空瞬變電磁一維自適應(yīng)正則化反演方法,并將其分別應(yīng)用于含噪和不含噪一維層狀模型數(shù)據(jù)的反演,得出如下結(jié)論。

    1)該算法基于Occam反演,采用CMD自適應(yīng)拉格朗日乘子調(diào)節(jié)方案改進(jìn)拉格朗日乘子的處理方式,并利用自然邊界條件和模型修正量可行下降方向法對(duì)反演過程進(jìn)行約束,減少反演過程的計(jì)算量,提高反演效率,計(jì)算速度快,收斂穩(wěn)定,經(jīng)過10次左右的迭代,已能獲得較為理想的反演結(jié)果。

    2)層狀模型反演結(jié)果表明該算法可以獲得光滑穩(wěn)定的反演結(jié)果,對(duì)于典型的H、K型三層模型和HK型四層模型均能獲得較好的反演結(jié)果,該算法對(duì)于復(fù)雜地電構(gòu)造仍具有較好的適應(yīng)性和有效性;受低阻層屏蔽作用和對(duì)高阻體不靈敏的影響,該算法對(duì)高阻層的反演僅能獲得下部地層的平均電阻率值。

    3)噪聲信號(hào)大小會(huì)影響反演結(jié)果,噪聲越大,對(duì)反演結(jié)果的影響越大,由于本文添加的高斯隨機(jī)噪聲表現(xiàn)為晚期數(shù)據(jù)信噪比低,噪聲對(duì)反演結(jié)果的影響主要體現(xiàn)在深部地層電阻率反演結(jié)果上;噪聲同樣會(huì)影響擬合均方根相對(duì)誤差,噪聲越大,最終的擬合誤差越大。

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