抗壓制干擾的離散相位編碼序列設(shè)計(jì)

杜 盈，王志誠，張勁東，蔣宜林，尹明月

（1.南京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，江蘇 南京 211100；2.上海無線電設(shè)備研究所，上海 201109）

0 引言

壓制干擾就是干擾機(jī)發(fā)射大功率噪聲或類似噪聲的干擾信號(hào)來遮蓋或者淹沒目標(biāo)信號(hào)，使雷達(dá)無法檢測(cè)到目標(biāo)，干擾雷達(dá)的正常工作。對(duì)抗壓制干擾，包括陷波濾波器、自適應(yīng)濾波器、子空間投影等方法，這些方法是利用干擾信號(hào)與真實(shí)目標(biāo)回波之間的強(qiáng)度特征差異來濾除干擾，但陷波濾波器方法受到濾波器零陷寬度的限制，自適應(yīng)濾波器法和子空間投影法在時(shí)變干擾環(huán)境下也不夠穩(wěn)健。

從波形設(shè)計(jì)的角度研究對(duì)抗壓制干擾的方法，要求干擾信號(hào)經(jīng)過濾波器的輸出水平盡可能低。干擾信號(hào)經(jīng)過失配濾波器的輸出水平可用濾波器序列和干擾信號(hào)協(xié)方差矩陣的二次型表示，該二次型值越小說明雷達(dá)的抗干擾能力越強(qiáng)。文獻(xiàn)［13］考慮最小化接收濾波器輸出功率；文獻(xiàn)［14］以發(fā)射信號(hào)距離旁瓣和干擾信號(hào)輸出水平之和構(gòu)建代價(jià)函數(shù)；文獻(xiàn)［15］以最大化信干噪比為準(zhǔn)則，聯(lián)合優(yōu)化發(fā)射波形和失配濾波器序列來達(dá)到對(duì)抗干擾的目的。如果只優(yōu)化發(fā)射波形1 個(gè)變量，可采用匹配濾波器，此時(shí)，干擾信號(hào)通過匹配濾波器的輸出水平用發(fā)射信號(hào)與干擾信號(hào)協(xié)方差矩陣的二次型值來表示。文獻(xiàn)［16］以最大化信干噪比為準(zhǔn)則設(shè)計(jì)單位模序列，可有效抑制主瓣干擾，但未考慮使用匹配濾波器帶來的高距離旁瓣問題。

本文以最小化發(fā)射信號(hào)距離旁瓣為準(zhǔn)則，預(yù)設(shè)的干擾輸出水平和離散形式相位編碼為約束條件，設(shè)計(jì)離散相位編碼序列。該問題的目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于發(fā)射信號(hào)的四次型，本文采用交替乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）嵌套擬牛頓法，即用ADMM-BFGS 方法進(jìn)行求解，可將干擾信號(hào)輸出抑制在預(yù)設(shè)值，同時(shí)降低發(fā)射信號(hào)旁瓣；在此基礎(chǔ)上，提出一種ADMM 嵌套類冪迭代法（Power Method-Like Iterations，PMLI），即ADMM-PMLI 方法，在保證雷達(dá)的抗干擾性能和目標(biāo)探測(cè)性能的同時(shí)，大大提升算法的計(jì)算時(shí)間。

1 問題模型

雷達(dá)發(fā)射波形為離散相位編碼序列，1 個(gè)點(diǎn)的相位編碼信號(hào)序列可表示為

發(fā)射信號(hào)旁瓣協(xié)方差矩陣為

式中：為轉(zhuǎn)移矩陣，定義為

發(fā)射信號(hào)距離旁瓣為

設(shè)干擾信號(hào)協(xié)方差矩陣為，∈C，干擾信號(hào)經(jīng)匹配濾波器的輸出為

設(shè)置干擾經(jīng)匹配濾波器的輸出水平為，抗壓制干擾的離散相位編碼序列設(shè)計(jì)問題可表示為

2 求解目標(biāo)函數(shù)

2.1 ADMM-BFGS

在該問題中引入輔助變量、，約束=，=，問題可表示為

設(shè)、為二次懲罰項(xiàng)系數(shù)，根據(jù)問題寫出增廣拉格朗日方程如下：

記、、、和為 第次迭代后的值，各值的更新如下。

1）更新。

將目標(biāo)函數(shù)式（8）由復(fù)數(shù)形式轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)形式：

對(duì)目標(biāo)函數(shù)式求得梯度如下：

2）更新。

此時(shí)將和視為已知量

式（13）相關(guān)的拉格朗日函數(shù)為

式中：為拉格朗日乘子，令其偏導(dǎo)為0，可得

將式（15）代入等式約束可得

該式可等價(jià)于

解出后可得的更新公式如下：

3）更新。

4）更新。

求得的更新公式為

5）更新。

ADMM 求解問題步驟如下：

初始化、、、和，預(yù)設(shè)干擾輸出水平，設(shè)迭代次數(shù)=0；

根據(jù)式（19）更新；

根據(jù)式（21）更新；

根據(jù)式（22）更新；

設(shè)收斂門限為Δ，最大迭代次數(shù)為，重復(fù)步驟2～步驟6，并令←+1，直到滿足||||+||-||＜Δ 或=時(shí)，迭代終止。

2.2 ADMM-PMLI

采用ADMM-BFGS 算法更新時(shí)，需要轉(zhuǎn)化數(shù)據(jù)形式并計(jì)算梯度，其運(yùn)算量大、計(jì)算時(shí)間長。針對(duì)這一問題，本節(jié)將在ADMM 方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，提出ADMM-PMLI算法來更新。式（8）可改寫為

令()+))，()+))，忽略常數(shù)部分，式（23）可表示為

根據(jù)文獻(xiàn)［17］提出的PMLI 算法，發(fā)射信號(hào)的更新即求解表示為

發(fā)射信號(hào)可以通過每次迭代求解最近向量問題更新如下：

ADMM-PMLI 求解步驟如下：

初始化、、、和，預(yù)設(shè)干擾輸出水平，設(shè)迭代次數(shù)=0；

更新，根據(jù)式（27）求解；

以式（18）更新；

根據(jù)式（19）更新；

根據(jù)式（21）更新；

根據(jù)式（22）更新；

設(shè)收斂門限為Δ，最大迭代次數(shù)為，重復(fù)步驟2～步驟6，并令←+1，直到滿足||||+||-||＜Δ 或=時(shí)迭代終止。

2.3 算法復(fù)雜度分析

ADMM-BFGS 和ADMM-PMLI 算法均以ADMM 為框架，兩種算法的主要差別在于變量的更新。ADMM 每次迭代更新時(shí)，BFGS 法的復(fù)雜度為（4），而PMLI 法的復(fù)雜度為（）。且相較于ADMM-PMLI，ADMM-BFGS 還需進(jìn)行變量實(shí)數(shù)和虛數(shù)形式的轉(zhuǎn)化，這一操作增加的運(yùn)算復(fù)雜度為（2）。如果算法運(yùn)行到+1 次時(shí)，迭代終止，那么上述部分還需乘以迭代次數(shù)。因此，ADMMPMLI 算法的復(fù)雜度明顯低于ADMM-BFGS。

3 仿真結(jié)果與分析

發(fā)射信號(hào)自相關(guān)處理結(jié)果可以顯示發(fā)射信號(hào)的旁瓣水平，反映雷達(dá)的探測(cè)性能。將發(fā)射信號(hào)與干擾信號(hào)疊加后經(jīng)過匹配濾波器處理，觀察目標(biāo)能否被檢測(cè)到，以反映雷達(dá)對(duì)抗壓制干擾的能力。為驗(yàn)證本文提出的ADMM-BFGS 和ADMM-PMLI這兩種算法是否有效，將兩種算法優(yōu)化后的自相關(guān)與匹配濾波結(jié)果和初始發(fā)射信號(hào)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖1 所示。

圖1 優(yōu)化前后信號(hào)處理結(jié)果對(duì)比Fig.1 Comparison of signal processing results before and after optimization

續(xù)圖1 優(yōu)化前后信號(hào)處理結(jié)果對(duì)比Continue fig.1 Comparison of signal processing results before and after optimization

對(duì)比圖1（a）和（b），在發(fā)射信號(hào)未受到干擾時(shí)，經(jīng)過匹配濾波后可以看到明顯的尖峰，能檢測(cè)到目標(biāo)，而發(fā)射信號(hào)疊加干擾后經(jīng)匹配濾波處理，檢測(cè)不到目標(biāo)信號(hào)，目標(biāo)信號(hào)被強(qiáng)干擾淹沒。由圖1 所示的被優(yōu)化前后的匹配濾波結(jié)果可知，優(yōu)化前無法檢測(cè)到目標(biāo)信號(hào)，優(yōu)化后壓制干擾被抑制，可以檢測(cè)到信號(hào)。綜上所述，ADMM-BFGS 和ADMMPMLI 這兩種算法均能對(duì)抗壓制干擾。通過對(duì)比優(yōu)化前后發(fā)射信號(hào)的自相關(guān)數(shù)據(jù)，優(yōu)化后的信號(hào)旁瓣比優(yōu)化前有明顯降低，且干擾輸出均能被抑制在-30 dB 左右，達(dá)到了預(yù)期效果。

ADMM-BFGS和ADMM-PMLI這兩種算法的收斂曲線圖如圖2 所示，橫坐標(biāo)為迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)為發(fā)射信號(hào)旁瓣功率。由圖2 可知，兩種算法的目標(biāo)函數(shù)值隨著迭代次數(shù)不斷降低，兩種算法均能收斂。

圖2 算法收斂曲線Fig.2 Algorithm convergence curve

為對(duì)比算法性能，本文在Intel i5-9400HQ CPU、16 GB 內(nèi)存、Matlab 2016a 仿真平臺(tái)下進(jìn)行了100 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)取平均值，獲得兩種算法優(yōu)化后的發(fā)射信號(hào)距離旁瓣減少值Δ、干擾輸出功率和運(yùn)行時(shí)間在信號(hào)序列長度不同時(shí)的結(jié)果，見表1。

表1 ADMM-BFGS 和ADMM-PMLI 算法性能對(duì)比Tab.1 Performance comparison of ADMM-BFGS and ADMM-PMLI algorithms

由表1 可知，離散相位編碼序列長度越長，算法對(duì)信號(hào)距離旁瓣的抑制效果越明顯。兩種算法均能降低信號(hào)旁瓣，且達(dá)到預(yù)期的干擾輸出水平，其抗干擾性能和目標(biāo)探測(cè)性能基本相當(dāng)，但是，相較于ADMM-BFGS 算法，ADMM-PMLI 算法的運(yùn)行效率得到大幅提升。

4 結(jié)束語

本文設(shè)計(jì)離散相位編碼序列來對(duì)抗壓制干擾，以最小化發(fā)射信號(hào)距離旁瓣作為目標(biāo)函數(shù)，預(yù)設(shè)的干擾輸出水平和離散相位作為約束條件，構(gòu)建優(yōu)化問題模型，采用ADMM-BFGS 算法優(yōu)化發(fā)射信號(hào)序列，提升雷達(dá)的目標(biāo)探測(cè)性能和抗干擾能力；同時(shí)，針對(duì)ADMM-BFGS 算法運(yùn)算量大、計(jì)算時(shí)間長的問題，提出一種新的ADMM-PMLI 算法。仿真結(jié)果表明，這兩種算法具有相當(dāng)?shù)哪繕?biāo)檢測(cè)性能和抗干擾能力。但是，相較于ADMM-BFGS 算法，ADMM-PMLI 算法的運(yùn)行效率得到大幅提升。