淺析圖像的認(rèn)識和應(yīng)用

摘 要：圖像作為一種表達物理量之間關(guān)系的一種方式，在物理教學(xué)中有著廣泛應(yīng)用.本文就如何正確理解圖像的意義和應(yīng)用作些探討.

關(guān)鍵詞：圖像;應(yīng)用圖像;斜率;截距;面積;函數(shù)關(guān)系;等效

中圖分類號：G632?? 文獻標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）10-0087-07

圖像是表示物理規(guī)律的方法之一，它可以直觀地反映某一物理量隨另一物理量發(fā)生變化的函數(shù)關(guān)系，圖像具有直觀、形象、簡明的特點.運用圖像處理有關(guān)物理問題可達到化難為易，化繁為簡的目的.圖像不僅在力學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，而且在電學(xué)、熱學(xué)中也有不可或缺的作用.因此，在中學(xué)物理教學(xué)中，不僅要理解圖像的物理意義，而且能運用圖像解決有關(guān)問題，為此，本文就如何理解圖像的物理意義和如何有效運用圖像解決物理問題作些探討.

1 圍繞一個核心

物理圖像種類很多，在高中物理中主要涉及的圖像有：在力學(xué)中有x-t圖像、v-t圖像、F-t圖像、F-x圖像、a-F圖像、a-1/m圖像、振動圖像x-t、波動圖像y-x等;在電學(xué)中有I-t圖像、U-I圖像、電場中的E-x圖像、φ-x圖像、交流電中的i（或e）-t圖像、電磁感應(yīng)中的-t圖像、E-t圖像等;在熱學(xué)中有F-r圖像、P-V圖像、V-T圖像、P-T圖像等;在光電效應(yīng)中有Ek-ν圖像等.

物理圖像直觀地表達兩個物理量間的函數(shù)關(guān)系，如圖1 所示，圖1（1）所示的圖像表示物體速度隨時間的變化規(guī)律，圖1（2）所示的圖像表示分子力隨分子間距離的變化規(guī)律，圖1（3）所示的圖像表示光電效應(yīng)產(chǎn)生的光電子最大初動能隨入射光的頻率的變化規(guī)律.因此，在求解有關(guān)圖像問題時，必須緊緊抓住圖像與函數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系這個核心，以便迅速找到解題的切入口.

2 把握兩種方法

2.1 公式與圖像的轉(zhuǎn)化

如果要作出一個物理圖像，則必須知道相關(guān)物理量間的函數(shù)關(guān)系，明確哪個物理量是自變量，哪個物理量是因變量，同時，還要明確與之相關(guān)的一些常量，最后作出圖像.

例1 （2016年江蘇卷）小球從一定高度處由靜止下落，與地面碰撞后回到原高度再次下落，重復(fù)上述運動，取小球的落地點為原點建立坐標(biāo)系，豎直向上為正方向，圖2所示的速度v和位

置x的關(guān)系圖像中，能描述該過程的是（? ）.

分析 取豎直向上方向為正方向，設(shè)小球開始時距地面的高度為h，當(dāng)小球距地面的高度為x時的速度為v，根據(jù)自由落體運動規(guī)律可得v2=2g（h-x）.

這樣，就找到了因變量v隨自變量x的函數(shù)關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識可知，這個函數(shù)對應(yīng)v-x圖像上的圖線是一條開口向左的拋物線，可見，選項A正確.

2.2 圖像與情境的轉(zhuǎn)化

要利用圖像解決物理問題，則必須弄清圖像所給的物理現(xiàn)象、狀態(tài)、過程和變化的實際情境，因為，在圖像所呈現(xiàn)的情景中隱含著相關(guān)的物理條件，在圖線的變化規(guī)律中體現(xiàn)了物理量間的函數(shù)關(guān)系，只有這樣，才能有效實現(xiàn)圖像與情景間的轉(zhuǎn)化.

例2 如圖3所示，是某一輕質(zhì)彈簧的長度L和彈力F大小的關(guān)系，試由圖線確定：

（1）彈簧的原長;

（2）彈簧的倔強系數(shù);

（3）彈簧伸長2.5cm時，彈力的大小.

分析 設(shè)彈簧的原長為L0，當(dāng)彈簧的長度為L時，根據(jù)胡克定律得

F=k（L-L0），

也即彈簧的彈力與彈簧的形變量L-L0成正比.當(dāng)彈簧的彈力等于零時，其長度即為原長，即L0=10cm.

當(dāng)彈簧的長度L=15cm時，從圖象中可知，彈簧的彈力F=10N，則：

k=FL-L0=100.15-0.10=200N/m

當(dāng)彈簧伸長2.5cm時，彈力的大小為：F=k（L-L0）=200×0.025N=5N.

3 熟悉三類題型

3.1 根據(jù)圖像分析問題

根據(jù)所給圖像，結(jié)合相關(guān)的圖像特點和物理規(guī)律，分析和解決相應(yīng)的問題.

例3 （2015年廣東）甲、乙兩人同時同地出發(fā)騎自行車做直線運動，前1小時內(nèi)的位移-時間圖像如圖4所示，下列表述正確的是（? ）.

A.0.2～0.5小時內(nèi)，甲的加速度比乙的大

B.0.2～0.5小時內(nèi)，甲的速度比乙的大

C.0.6～0.8小時內(nèi)，甲的位移比乙的小

D.0.8小時內(nèi)，甲、乙騎行的路程相等

分析 由于題目給出的是位移時間圖像，則圖線的斜率表示速度的大小，在.0.2～0.5小時內(nèi)，甲和乙都做勻速運動，則選項A錯誤;在.0.2～0.5小時內(nèi)，圖線甲的斜率大于圖線乙的斜率，說明甲的速度大于乙的速度，選項B正確;在0.6～0.8小時內(nèi)，甲的位移為x甲=5km-10km=-5km，乙的位移為x乙=5km-8km=-3km，可見，甲的位移大于乙的位移，選項C錯誤;在0.8小時內(nèi)，甲的路程s甲=10km+5km=15km，乙的路程s乙=8km+4km=12km，因此，甲的路程大于乙的路程，選項D錯誤.

3.2 畫出圖像解決問題

根據(jù)物理情景和物理條件，作出相應(yīng)的圖像，再利用圖像的特點求解有關(guān)物理問題.

例4 甲、乙、丙三輛汽車以相同的速度同時經(jīng)過某一路標(biāo)，從此時開始，甲車一直做勻速直線運動，乙車先加速后減速，丙車先減速后加速，它們經(jīng)過下個路標(biāo)時速度又相同，則（? ）.

A.甲車先通過下一個路標(biāo)

B.乙車先通過下一個路標(biāo)

C.丙車先通過下一個路標(biāo)

D.條件不足，無法判斷

分析 分別作出三輛汽車運動的v-t圖像，如圖5所示.考慮到三輛汽車經(jīng)過下一個路標(biāo)時速度相同，而且它們經(jīng)過的位移相同，由此可作出相應(yīng)的v-t圖像，從圖像上可以看出，三輛汽車經(jīng)過這兩個路標(biāo)所用的時間滿足如下關(guān)系：t丙>t甲>t乙.所以，選項B正確.圖5

3.3 轉(zhuǎn)化圖像求解問題

將問題中已知的圖像進行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，作出從不同側(cè)面（不同函數(shù)關(guān)系）但反映同一物理過程的圖像，以使轉(zhuǎn)化后的圖像更容易切入解題突破口.

例5 一個質(zhì)量m=4kg的物體靜止在足夠大的水平地面上，物體與地面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.1.從t=0開始，物體受到一個大小和方向呈周期性變化的水平力F的作用，水平力F隨時間的變化規(guī)律如圖6所示.則在83s內(nèi)物體的位移大小為m.

分析 取物體為研究對象，在0-2s內(nèi)，它受到F-μmg的合力作用，由牛頓第二定律得：F-μmg=ma1

即a1=F-μmgm=12-0.1×4×104=2m/s2

2s末物體的速度為：v1=a1t1=2×2m/s=4m/s

在2s-4s內(nèi)，物體受到F+μmg的合力作用，由牛頓第二定律得：

F+μmg=ma2

即a2=F+μmgm=4+0.1×4×104=2m/s2，物體做勻減速運動.

4s末物體的速度為：v2=v1-a2t2=4m/s-2×2m/s=0

這樣，我們作出該物體運動的v-t圖像，如圖7所示.由于v-t圖像中圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積等于物體位移的大小，所以，從圖像上可以求出物體在83s內(nèi)的位移：x=20個三角形面積+0.5個三角形面積+1個小梯形面積

=[4×42×20+2×42+2+42]m=167m

4 提高四個能力

4.1 認(rèn)識圖像

認(rèn)識圖像是指弄清坐標(biāo)軸代表什么物理量，圖像反映哪兩個物理量間的函數(shù)關(guān)系，知道圖像中的點（包括起點、交點、拐點和終點等）、線、最大（?。┲?、截距、斜率、面積等的物理意義.（1）點.圖像能直觀地反映應(yīng)變量與自變量間的函數(shù)關(guān)系，圖像上的某一點表示應(yīng)變量和自變量在變化過程中某一瞬時對應(yīng)值.交點表示兩種物理變化過程在該點具有相同的坐標(biāo)值;拐點（或者轉(zhuǎn)折點）表示從一種變化過程變?yōu)榱硪环N變化過程的突變點;極值點表示一個變化過程中應(yīng)變量能達到的極大值或者極小值;端點表示變化過程的起始點或者終止點.

（2）圖線.圖線反映應(yīng)變量與自變量之間的函數(shù)關(guān)系.解題時必須弄清是線性關(guān)系、二次函數(shù)關(guān)系還是其他函數(shù)關(guān)系.

（3）截距.截距是指圖線與兩坐標(biāo)軸的交點所代表的坐標(biāo)數(shù)值，它是該坐標(biāo)代表的物理量變化的初始值（或邊界值），在求解問題時有著特殊的意義.

（4）斜率.圖線上某點的斜率表示兩個坐標(biāo)軸所代表的物理量增量的比值，即k=ΔyΔx，它反映該點處因變量y隨自變量x變化的快慢情況.如v-t圖像中某點的斜率表示物體在該點的瞬時加速度a=ΔvΔt;v-t圖線上兩點連線的斜率a=ΔvΔt則表示物體在這兩點間的平均加速度.

（5）面積.圖線與橫軸所圍成的面積往往可以代表某個物理量.利用無限分割法可知，圖線和坐標(biāo)軸圍成的微小面積為ΔS=Δx×Δy，因此，這個物理量有時往往就是縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)所表示的物理量的乘積.如v-t圖像中，其圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示ΔS=Δv×Δt，顯然，ΔS的意義與位移x相同;再如F-x圖像中，其圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示ΔS=ΔF×Δx，顯然，ΔS的意義與功W相同.

（6）延伸.根據(jù)圖像的信息，既要明確圖像所反映的物理量間的變化規(guī)律，也要明確圖像的發(fā)展態(tài)勢，也就是圖線的持續(xù)變化是在原圖線上的延伸還是需要重新作圖.如已知某段時間內(nèi)物體的振動圖像，則在以后的時間內(nèi)的振動圖像，只要繼續(xù)延伸就可以了.再如已知某時刻的波動圖像，則下一時刻的波動圖像并非是在原有圖像上繼續(xù)延伸，而是按照波的傳播方向平移圖線.

例5 如圖8所示是甲、乙兩個物體的v-t圖像，則以下說法中正確的是（ ?）.

A.圖線的交點表示兩個物體在該時刻相遇

B.甲物體在第7s時的加速度大小為10m/s2

C.從圖中看出物體乙做曲線運動

D.物體甲在8s內(nèi)通過的位移大小為110m

分析 兩個物體的v-t圖像的交點表明兩個物體在此時刻（即t=6 s）的速度大小都等于v=20m/s，但與是否相遇無關(guān)，選項A錯誤;從圖中看到，甲物體在6s-8s的時間內(nèi)做勻減速運動，則第7s的加速度為：a=ΔvΔt=0-202=-10m/s2，選項B正確;物體乙的圖線雖然是一條曲線，但它并不代表物體乙做曲線運動，事實上，物體乙做加速度越來越大的加速直線運動，選項C錯誤;根據(jù)v-t圖像的意義可知，甲圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積即為物體甲在8s內(nèi)通過的位移，即：S=S梯形+S三角形=10+20×62m+2×202m=110m，可見選項D正確.

例6 一列沿x軸正方向傳播的機械波，在t=0時的波動圖像如圖9所示.其波速為v=4m/s，振幅A=4cm（圖中未畫出）.則：

（1）x=2m和x=4m處的質(zhì)元在t=0時沿什么方向運動？

（2）畫出t=0.5s時的波動圖像;

（3）x=1m處的質(zhì)元在t=0.5s內(nèi)通過的路程？

分析 （1）機械波是由于前一質(zhì)元帶動后一質(zhì)元依次振動起來而形成的，因此，當(dāng)機械波向右傳播時，x=2m處的質(zhì)元跟著前一質(zhì)元振動，而前一質(zhì)元在它的下方，所以它將向下運動，同理可知x=4m處的質(zhì)元向上運動.

（2）由波速公式可得：T=λv=44=1s.則經(jīng)過t=0.5s時，波向右傳播過半個波長的路程，這樣就可以畫出此時的波動圖像，如圖10所示.

（3）x=1m處的質(zhì)元在t=0.5s內(nèi)由波谷位置運動到波峰位置，因此，它通過的路程是振幅的2倍，即s=2A=2×4cm=8cm.

4.2 描繪圖像

描繪圖像有二種情形：其一，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)描點畫圖;其二，根據(jù)函數(shù)關(guān)系畫圖.在描繪圖像時，注意二個優(yōu)先：

（1）優(yōu)先畫特殊點.對圖像與縱、橫坐標(biāo)的交點、圖像的拐點應(yīng)優(yōu)先畫出;

（2）優(yōu)先選擇線性函數(shù).線性函數(shù)能直觀地反映物理現(xiàn)象的性質(zhì)，為此，如果一個函數(shù)直接作圖時是一條曲線，那么，可以嘗試將兩個坐標(biāo)中的一個用倒數(shù)表示，這樣，化曲線為直線，有利于對問題的分析和判斷.

當(dāng)然，描繪圖像時，必須注意選擇合適的標(biāo)度，使得在坐標(biāo)圖上作出的數(shù)據(jù)點盡量散開，以確保連接數(shù)據(jù)點畫出圖線時的準(zhǔn)確性.例7 某同學(xué)在實驗室做“探究加速度與力、質(zhì)量的關(guān)系”實驗：在物體所受合外力不變時，改變物體的質(zhì)量，通過實驗得到如下表所示的數(shù)據(jù).

實驗次數(shù)物體質(zhì)量m（kg）物體的加速度a（m/s2）物體質(zhì)量的倒數(shù)1/m

（1/kg）

10.200.785.0020.400.382.50

30.600.251.674

0.800.201.2551.000.161.00

請你在如圖11所示的坐標(biāo)系中選擇適當(dāng)?shù)奈锢砹拷⒆鴺?biāo)系，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出圖像，通過圖像得出的結(jié)論為.

分析 如果取橫軸標(biāo)代表物體的質(zhì)量m，縱坐標(biāo)代表物體的加速度a，利用表中實驗數(shù)據(jù)，在坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點，并作出圖像，如圖12所示.作出的圖線是一條曲線，但是不是雙曲線？難以確定，也就是無法確定a與m間的函數(shù)關(guān)系.

如果取橫軸標(biāo)代表物體質(zhì)量m的倒數(shù)，即1/m，縱坐標(biāo)代表物體的加速度a，利用表中實驗數(shù)據(jù)，在坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點，并作出圖像，如圖13所示.作出的圖線是一條直線，因此，可以確定a與1/m間成正比關(guān)系，即a與m間成反比關(guān)系.

所以，通過實驗發(fā)現(xiàn)，在物體所受合外力不變的情況下，物體的加速度a與質(zhì)量m成反比.

4.3 轉(zhuǎn)換圖像

已知a物理量隨b物理量間變化的關(guān)系圖像，根據(jù)需要畫出c物理量隨b物理量間變化的關(guān)系圖像，這種變換叫做轉(zhuǎn)換圖像.在解決某些問題時，如果直接應(yīng)用所給的圖像，往往無法順利切入解題突破口，為此，可以通過不同側(cè)面或者不同角度轉(zhuǎn)換圖像，實現(xiàn)化隱為顯、變抽象為直觀、變思路閉塞為柳暗花明的目標(biāo).

例8 一只老鼠從洞口爬出，沿一條直線運動，老鼠爬行的速度大小與其離開洞口的距離成反比，如圖14所示.當(dāng)老鼠運動到距洞口為d1的A點時速度為v1，若B點離洞口的距離為d2 （d2 > d1 ），求老鼠從A 運動到B 所需的時間.

分析 由于v=kd，因此，v-t圖像是一條雙曲線，通過這樣的圖像求出老鼠運動的時間并不容易.現(xiàn)在將v-t圖像轉(zhuǎn)換為1v-d圖像，因為1v與d成正比，其圖線是一條過原點的直線，如圖15所示.根據(jù)圖像的物理意義可知，其圖中的梯形abd2d1a面積就是老鼠從A運動到B的時間：

t=S梯形面積=1v1+1v2d2-d12=d2-d122d1v1

4.4 應(yīng)用圖像

應(yīng)用圖像分析和解決物理問題，是圖像問題中最重要、最靈活、最具有創(chuàng)新能力的具體表現(xiàn).應(yīng)用圖像實質(zhì)上就是利用圖像中的點（起點、交點、拐點、終點）、線、最大值、截距、斜率、面積、正負號等的物理意義來分析和研究物理問題.有些問題，用常規(guī)解法可能比較繁瑣，甚至無法求解，但如果應(yīng)用圖像法，可能思路更清晰、解答更簡捷、方法更巧妙.應(yīng)用圖像法解題時，關(guān)鍵抓住以下三點：

（1）尋找關(guān)系.根據(jù)題給條件，弄清所要求解的物理量，依據(jù)相應(yīng)的物理規(guī)律，尋找所求物理量與其他物理量間的關(guān)系;

（2）作出圖像.依據(jù)物理量間的制約關(guān)系，確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)所表示的物理量，根據(jù)具體的物理特征、變化過程和物理規(guī)律作出函數(shù)圖像;

（3）應(yīng)用圖像.利用圖像的物理意義（點、斜率、面積等），結(jié)合數(shù)學(xué)工具，求出相應(yīng)的物理量，確定相應(yīng)的物理規(guī)律，解決相應(yīng)的物理問題.

例9 如圖16所示是額定電壓為100伏的燈泡由實驗得到的I-U圖像.若將規(guī)格為“100V、100W”的定值電阻與此燈泡串聯(lián)接在100V 的電壓上，設(shè)定值電阻的阻值不隨溫度的變化而發(fā)生變化，則此燈泡消耗的實際功率為多大？

分析 當(dāng)燈泡與定值電阻串聯(lián)，在它們兩端加上100V的電壓時，由于燈泡的電阻隨溫度變化而變化，因此，此時燈泡的電阻難以確定.為了解決這個問題，需要應(yīng)用圖像法.設(shè)通過燈泡的電流為I，加在燈泡兩端的電壓為U，由電路知識可知：

U+100I=100V，即：I=1-U100

作出以上函數(shù)的圖像，如圖17所示.在兩條圖線上有一個交點，此交點的意義就是燈泡在這個實際電路中的工作狀態(tài)，即燈泡中的實際電流為I=0.28A，燈泡兩端的實際電壓為U=72V，由電功率的計算公式可求得燈泡的實際功率為：P=UI=72×0.28W=20W

5 理解五項注意

注意1：圖線不是軌跡.如v-t圖像、x-t圖像中圖線只用來描述運動的規(guī)律，并非是物體的運動軌跡.v-t圖像表示物體單向或雙向做直線運動的速度隨時間的變化規(guī)律，x-t圖像表示物體單向或雙向做直線運動的位移隨時間的變化規(guī)律.若物體做曲線運動時，應(yīng)先將其分解為直線運動，然后在某個方向上應(yīng)用v-t或x-t圖像進行描述.

注意2：圖像的特征量不一定具有物理意義.斜率和面積作為圖像中的重要特征量，對某些圖像具有特定的物理意義，但對其他圖像不一定有意義.如v-t圖像中的斜率表示加速度、面積表示物體在相應(yīng)時間內(nèi)的位移;而a-t圖像中的斜率和x-t圖像中的面積就沒有相應(yīng)的物理量與之對應(yīng)，即沒有實際意義.

注意3：交點不一定是指物體處在同一點.若甲、乙兩個物體在x-t圖像上有一個交點，其意義是指兩個物體的位置相同，也就是它們的相遇點.在如圖18所示的v-t圖像中，其交點是指兩個物體在此時刻速度大小相同，并非是它們在此相遇，即使是在T時刻，兩條圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積相同，說明在T時間內(nèi)發(fā)生的位移相同，但也不一定是相遇點，因為，它們的起點是否相同不知道.圖18

注意4：圖形相似但意義不同.如振動圖像和波動圖像在形狀上十分相似，但圖像所表達的物理意義并不相同，在研究此類問題時務(wù)必引起注意.

注意5：斜率為正時物理量不一定增大.如在v-t圖像中，當(dāng)斜率為正時，物體可能做加速運動，也可能做減速運動.

例10 （2019年4月浙江）甲、乙兩物體零時刻開始從同一地點向同一方向做直線運動，位移-時間圖像如圖19所示，則在0～t1時間內(nèi)（? ）.圖19

A.甲的速度總比乙大

B.甲、乙位移相同

C.甲經(jīng)過的路程比乙小

D.甲、乙均做加速運動

分析 從圖像中看到，甲物體做勻速直線運動，乙物體做加速運動，開始階段甲的速度大于乙的速度，后來乙的速度大于甲的速度，選項A錯誤;甲乙兩物體運動的起點相同，在t1時刻位置又相同，因此，它們在0～t1時間內(nèi)的位移相同，選項B正確;甲乙兩物體都做單向運動，且起點和終點又相同，則它們的路程也相同，選項C錯誤;甲物體做勻速直線運動，則選項D錯誤.

總之，認(rèn)識和應(yīng)用圖像，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，形象思維，拓展創(chuàng)新，靈活解題的能力.

參考文獻：[1]

成金德.求解非線性電阻實際功率的常見題型和方法[J].物理教學(xué)， 2018（8）：56-70.

[責(zé)任編輯：李 璟]