基于因果檢驗的非線性系統(tǒng)的預測試驗*

張綠夷 王革麗 譚桂容 吳越

1) (中國科學院大氣物理研究所,中層大氣和全球環(huán)境探測重點實驗室,北京 100029)

2) (中國氣象局廣州熱帶海洋氣象研究所,廣州 510641)

3) (南京信息工程大學,氣象災害教育部重點實驗室,氣象災害預報預警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心,氣候與環(huán)境變化國際合作聯(lián)合實驗室,南京 210044)

4) (四川省氣候中心,成都 610072)

非線性、非平穩(wěn)系統(tǒng)的預測是一個具有重要科學意義的研究課題.最近一些工作已將收斂交叉映射算法(convergent cross mapping,CCM)用于檢驗變量之間的因果關系,由于在CCM 算法中,相空間中相互靠近的點在時間上具有相似的發(fā)展趨勢和運動軌跡,因此該方法可以嘗試應用于非線性、非平穩(wěn)系統(tǒng)的預測試驗研究中.鑒于此,本文將CCM 算法分別應用于Lorenz 系統(tǒng)和實際氣候時間序列的預測中,并檢測不同相空間重構方法對預測效果的影響.主要結(jié)果如下:1)不論是理想Lorenz 模型還是實際氣候序列,對于單變量、多變量和多視角嵌入法3 種重構相空間方法而言,多視角嵌入法對變量的預測效果最好,表明對于給定長度的時間序列,重構相空間中包含的信息越多,其預測能力越強;2)將NAM (northern hemisphere annular mode)加入SAT (surface air temperature)的重構相空間中可以改善SAT 的預測效果.在使用單變量、多變量和多視角嵌入法進行預測時,利用復雜系統(tǒng)中變量中共有信息的特性,在時間序列長度一定的情況下,可以利用動力系統(tǒng)的復雜性來增加系統(tǒng)內(nèi)的信息.基于因果檢驗的預測建模方法,通過挖掘數(shù)據(jù)中定量信息的提取,對非線性、非平穩(wěn)系統(tǒng)預測技巧的改進提供了一個新穎的思路.

1 引言

對于氣候預測而言,目前的預測建模理論大多建立在傳統(tǒng)的統(tǒng)計預報、數(shù)值模式以及機器學習等方法上[1?5].氣候系統(tǒng)作為一個非線性、非平穩(wěn)的系統(tǒng),其過程比混沌運動更為復雜[6],氣候系統(tǒng)多因子間相互作用的復雜性是其預測理論和技術的瓶頸,有關非線性大氣動力學的研究及預測依然是一個具有重大科學意義的前瞻性課題.

1980 年,Packard 等[7]提出了時間序列的相空間重構理論,通過一維時間序列的時間延滯來恢復原系統(tǒng)的動力學;1981 年,Takens[8]提出的嵌入定理,表明可以從一維時間序列中重構一個與原動力系統(tǒng)在拓撲意義下等價的相空間,奠定了非線性系統(tǒng)的理論基礎.隨后,一系列基于這些理論的非線性時間序列分析和預測方法便應運而生.在非線性時間序列預測中,Farmer 等[9]給出了混沌時間序列對單變量時間序列進行預測的方法;Casdagli[10]則比較了局域近似、全局近似和輻射近似3 種非線性預測方法的優(yōu)劣.Yang 等[11]和Wang 等[12]則參考場時間序列的思想,分別利用神經(jīng)網(wǎng)絡建模方法和“場時間序列”的局域近似預測模型,對臭氧濃度和北半球500 hPa 高度場進行了預測試驗,結(jié)果表明利用場時間序列信息可有效提高預測技巧.

然而,在一些非線性時間序列的分析和預測中,均存在一個滿足遍歷性定理的假設[13],即該時間序列所在系統(tǒng)的驅(qū)動力不隨時間變化.氣候系統(tǒng)作為一個復雜的非線性系統(tǒng),控制真實氣候系統(tǒng)的外部條件并非一成不變[14],此時,假定的遍歷性定理也就不再成立[15].驅(qū)動力的改變不僅破壞了系統(tǒng)的平穩(wěn)性,而且對時間序列分析和預測理論帶來新的障礙[15].特別是,如何從實際的氣候信號中識別并提取外部驅(qū)動力因子,分析導致氣候變化的可能動力機制,并將其引入氣候預測中是亟待解決的重要科學問題之一.

近年來,Verdes 等[16]和Wiskott[17]分別提出了從非平穩(wěn)時間序列中提取外強迫因子的理論方法.Verdes 等[16]提出的“交叉預測法”是根據(jù)局部線性映射來反演由此引起的外強迫因子;Wiskott[17]提出的“慢特征分析法”則是通過提取快速變化的信號中的慢變特征,從而評估一個單一的外強迫因子[13,14].這兩種方法都被應用于一些非平穩(wěn)時間序列的分析中并得到了較好的結(jié)果[18,19].

此外,建立在因果關系上的驅(qū)動力分析,近年來也得到了長足的發(fā)展.Wiener[20]提出了一種因果關系的哲學概念,即因必須有助于改善果的預測.在此概念基礎上,Granger[21]提出了著名的格蘭杰因果關系(Granger causality),然而此種方法并不適用于復雜的非線性系統(tǒng)[22,23].2012 年,生物學家Sugihara 等[24]提出了基于相空間重構和Takens定理的收斂交叉映射算法(convergent cross mapping,CCM),該方法可以檢驗自然界中非線性動力系統(tǒng)中的因果關系,并已得到廣泛的應用[25?27].例如,Zhang 等[28]利用 CCM 算法,探討了北半球環(huán)狀模(northern hemisphere annular mode,NAM)與東北亞地區(qū)冬季地面氣溫(surface air temperature,SAT)的信息傳遞,結(jié)果表明,二者存在單向因果關系,NAM 作為驅(qū)動力因子影響東北亞地區(qū)冬季SAT.

同時,由于在CCM 算法中相空間中相互靠近的點在時間上具有相似的發(fā)展趨勢和運動軌跡,還可以嘗試利用此方法對變量進行預測.因此,本文運用CCM 方法建立預測模型,并以Lorenz 系統(tǒng)以及東北亞地區(qū)冬季地面溫度時間序列為例,將NAM 信號加入SAT 的重構相空間中,檢驗對SAT的預測效果.借助因果檢驗的手段識別影響氣候變化要素的外強迫因子,并將其應用在實際的氣候預測中,檢驗預測建模效果.本文首先簡要介紹收斂交叉映射算法以及預測建模的思路,給出理想序列的預測檢驗和包含NAM 信息的東北亞地區(qū)冬季SAT 時間序列的預測分析,對非線性、非平穩(wěn)系統(tǒng)預測技巧的改進提供了一個新穎的思路.

2 收斂交叉映射算法在預測上的應用

2.1 CCM 算法

CCM 算法基于相空間重構理論和Takens 嵌入定理,其基本思想是通過兩變量間的重構相空間的相互預測來判定二者之間的因果關系[24].若變量Y為變量X的驅(qū)動力因子(Y影響X),利用變量X的重構相空間MX預測Y時,隨著時間序列長度L的增大,鄰近點間的距離不斷減小,逐漸收斂于Y(t),并且與觀測值Y(t) 的相關系數(shù)會逐漸增大,且二者的相關系數(shù)不斷增大且達到收斂.

假設變量X,Y的時間序列長度為L,重構相空間的嵌入維度為E,采樣間隔為τ,在t時刻X和Y的重構相空間MX,MY坐標為

2.2 收斂交叉映射算法中三種重構相空間的方法

利用CCM 算法可以使用歷史軌跡上的信息來預測未來值,而不是依賴于求解固定的方程式或方程組.相空間重構的方法是利用CCM 算法預測的關鍵.到目前為止,在動態(tài)經(jīng)驗模型的框架中,已提出三種不同的方法分別為:單變量嵌入法[29,30]、多變量嵌入法[31,32]多視角嵌入法[33].

單變量嵌入法使用單個變量的時間滯后值來重構相空間,首先將預測變量的時間序列分為X,Y兩部分,然后用X的重構相空間MX來預測Y.t時刻重構相空間MX的坐標為

其中,E為重構相空間的嵌入維數(shù),τ為采樣間隔.由(7)式得到重構流形MX={x(t)}.定義(t+1)|MX為利用重構相空間MX預測得到的Y(t+1).

確定t時刻MX上的向量x(t),并在MX上找到距離其最近的E+1 個鄰近點,離其最近的點記為x(t1),第二近的點為x(t2),依次類推.根據(jù)相空間的運動軌跡,找到E+1 個鄰近點在t+1 時刻的狀態(tài)點x(t1+1),x(t2+1)···x(t(E+1)+1).則Y(t+1)為

其中wi是MX上x(t)和其第i個鄰近點的距離的權重.

多變量嵌入法為在單變量嵌入的基礎上,使用多個變量的時間滯后來重構相空間.例如,在M系統(tǒng)中包含C1和C2兩個變量,利用多變量嵌入法重構M的相空間,t時刻重構相空間的坐標為{C1(t),C1(t–τ),C2(t)},其重構相空間與M具有微分同胚的特點.

多視角嵌入法則通過組合多種與預測變量有關的變量來增加重構相空間中的信息[33],根據(jù)嵌入理論[8],即使系統(tǒng)中只存在幾個變量,通過多種有效嵌入也是可預測的.在包含n個變量的動態(tài)系統(tǒng)中,假設嵌入維數(shù)為E,允許最大的滯后時間步長為l,利用多視角嵌入法重構相空間時共有種組合形式.根據(jù)重構相空間中嵌入變量的不同,不同重構相空間中包含的信息有所差異.不同的重構相空間是從不同的角度對原始動力系統(tǒng)進行重構,其重構相空間均與原始動力系統(tǒng)的相空間微分同胚.利用CCM 算法進行預測時, 根據(jù)m個重構相空間預測能力大小進行排序, 通過對前k=構相個空預間測預值測求能平力均大得小到進最終的預測結(jié)果.盡管所有變量組合都是有效的嵌入,但是使用有限的數(shù)據(jù)可能無法很好地解決系統(tǒng)動力學問題.因此,多樣視角嵌入中僅使用了按樣本內(nèi)預測能力排名的前k個進行重構,然后將從top-k重構中預測的值平均,計算單個預測值.

至此,本文已經(jīng)簡要說明了CCM 算法以及該算法中包含的三種嵌入方法.接下來將用一組理想數(shù)據(jù)實驗以及實際的氣候時間序列來討論CCM算法在預測上的應用.

3 理想數(shù)據(jù)實驗

為了討論CCM 算法在預測上的應用以及上述3 種嵌入方法的異同,本文將Lorenz 系統(tǒng)[34]作為理想模型來進行實驗設計.Lorenz 模型是描述大氣對流等問題的簡化模型,其方程的表達式如下:

當σ=10,β=8/3,ρ=28 時,系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象并且產(chǎn)生奇異吸引子,其中ρ為Rayleigh 數(shù),是系統(tǒng)的控制變量.令Lorenz 系統(tǒng)的初值x(1)=y(1)=z(1)=10?17,步長 ?t=0.1,t取[0,8000],迭代80000 次,取后1000 個數(shù)據(jù)作為實驗序列,并對系統(tǒng)中的x分量進行預測.

在使用單變量嵌入法進行預測時,首先要確定嵌入維數(shù),比較不同的嵌入維數(shù)E下x分量對應的時間序列重構相空間的預測的平均絕對誤差MAE (圖1).結(jié)果表明,當嵌入維數(shù)E=3 時,系統(tǒng)的平均絕對誤差最小,將x分量嵌入到一個三維相空間中可以很好地恢復其原始系統(tǒng)的動力學特征.因此,當對Lorenz 系統(tǒng)中x分量進行預測時,選擇最佳嵌入維數(shù)E=3 (見圖1),預測步數(shù)tp=1.

圖1 最佳嵌入維數(shù)E 的選取Fig.1.Selection of the best embedding dimension E..

圖2(a)—(c)給出了分別使用單變量嵌入法、多變量嵌入法、多視角嵌入法對上述Lorenz 系統(tǒng)中x分量重構相空間的預測結(jié)果,預測步數(shù)tp=1.實驗結(jié)果表明,在CCM 算法中三種重構相空間方法的預測能力從大到小依次為:多視角嵌入法、多變量嵌入法、單變量嵌入法,且預測能力越強,對應的平均絕對誤差就越小(圖2(d)).多視角嵌入法的預測能力優(yōu)于多變量嵌入法和單變量嵌入法,說明利用復雜系統(tǒng)中變量中共有信息的特性,可以提高對系統(tǒng)的預測能力.

圖2 (a)單變量嵌入法預測結(jié)果;(b)多變量嵌入法預測結(jié)果;(c)多視角嵌入法預測結(jié)果;(d)三種嵌入法預測結(jié)果的平均絕對誤差比較Fig.2.Forecast results:(a) Univariate embedding;(b) multivariate embedding;(c) multiview embedding;(d) average absolute error of the prediction results of the three embedding methods.

圖3 給出了利用三種嵌入方法對Lorenz 系統(tǒng)中x分量的多步預測結(jié)果,可以看出,隨著預測步數(shù)tp的增加,三種方法的的預測效果均逐漸減弱.同時,考慮到真實氣候系統(tǒng)數(shù)據(jù)的長度,作為初步探索,下文僅考慮了向后一步的預測.

圖3 三種嵌入方法預測能力隨步長的變化 (a)單變量嵌入法;(b)多變量嵌入法;(c)多視角嵌入法Fig.3.The prediction ability of three embedding methods varies with step size:(a)Univariate embedding;(b) multivariate embedding;(c) multiview embedding;.

利用Lorenz 系統(tǒng)對比了三種重構相空間方法的預測能力并簡單討論了預測能力隨預測步數(shù)tp的變化.接下來為了更好地說明CCM 算法在預測上的應用,將其應用于實際大氣時間序列中,并對其預測試驗結(jié)果進行檢驗比較.

4 東北亞地區(qū)冬季SAT 時間序列的 預測分析

4.1 所用資料

1)美國氣候預測中心(Climate Prediction Center,CPC)提供的逐月北半球環(huán)狀模指數(shù)(NAM index,NAMI).

2)美國氣象環(huán)境預報中心/美國國家大氣研究中心(NCEP/NCAR)提供的 1000 hPa 逐月地面溫度,水平分辨率為2.5° × 2.5°.

本文主要研究的區(qū)域為東北亞區(qū)域:40°—50°(N),90°—130°(E).時間跨度為1950 年11 月—2019 年2 月.冬季定義為11 月至次年2 月.

4.2 單變量、多變量嵌入法的預測試驗研究

Zhang 等[28]的工作已經(jīng)表明,NAM 與東北亞地區(qū)冬季地面氣溫SAT 存在因果關系,NAM 作為驅(qū)動力因子能夠影響東北亞地區(qū)冬季SAT. 因此,本文在此工作基礎上,使用CCM 并結(jié)合單變量、多變量嵌入法及多視角嵌入法對東北亞地區(qū)冬季SAT 進行預測試驗研究.

首先使用單變量嵌入法進行預測(圖4(a)),單變量嵌入法為使用單個變量的時滯特性來重建相空間.在預測試驗中,選取東北亞地區(qū)冬季SAT 系統(tǒng)中的2 月份重構系統(tǒng)的相空間.允許最大的滯后時間步長max_lag=4,采樣間隔τ=1,預測步數(shù)tp=1,t時刻重構相空間的坐標為{X2(t),X2(t–τ),X2(t–2τ),X2(t–3τ)}.理論上,其重構相空間雖然在形狀、大小方面發(fā)生了變化,但是兩個不動點以及其基本的動力特征沒有發(fā)生改變[8].然而由于時間序列長度的限制,在較短的時間序列中,SAT 的重構x吸引子非常稀疏,阻礙了對來自臨近點的動力狀態(tài)的準確推斷.使用單變量嵌入法對SAT 進行預測的預測能力僅為0.12,加入NAM 信號后預測能力稍有提升,但預測效果仍不佳,其預測能力為0.18.

圖4 (a)單變量嵌入法和在目標變量中加入NAM 信號后的預測結(jié)果;(b)多變量嵌入法的預測結(jié)果(黑色圓圈代表僅利用SAT 序列進行預測,紅色三角代表加入NAM 信號后)Fig.4.(a) Univariate embedding method and prediction result after adding NAM signal to the target variable;(b) prediction result of multivariate embedding method (black circle represents prediction using only SAT sequence,red triangle represents after adding NAM signal).

然后運用多變量嵌入法來重構東北亞地區(qū)冬季SAT 的相空間(圖4(b)).與單變量嵌入法不同的是,多變量嵌入法使用多個變量來重構相空間,而不是運用原變量的滯后值.因此在對2 月份的SAT 的相空間進行重構時,可將其前三個月(即11,12,1 月)的值視作為系統(tǒng)中的另外三個變量,并且由于在冬季系統(tǒng)中,NAM 信號與東北亞冬季SAT 存在單向因果關系,NAM 是東北亞地區(qū)冬季SAT 的驅(qū)動力因子,二者微分同胚,所以可將變量NAM 中的信息加入SAT 的重構相空間中來預測SAT.分別選取1950—2018 年11 月-次年2 月的SAT 以及NAM 信號,利用多變量嵌入法重構2 月的SAT 相空間,該相空間中吸引子同樣具有微分同胚的特點.圖4(b)中黑色圓圈代表僅用多個月份的SAT 信號嵌入進行預測的結(jié)果,紅色三角代表加入NAM 后運用多變量嵌入法對2 月SAT 進行預測的結(jié)果.

對比圖4(a)和圖4(b)可以看出,多變量嵌入法的預測能力大于單變量嵌入法,將NAM 加入冬季SAT 系統(tǒng)中后,對SAT 的預測能力會顯著提高,并且預測值和觀測值之間的相關系數(shù)更高(將紅色虛線與黑色虛線進行比較).然而,盡管多變量嵌入法的預測能力大于單變量嵌入法,SAT 的實際觀測值和預測值仍存在很大誤差,表明系統(tǒng)中仍然存在很多無法解釋的變化.此類方法可能會受到序列長度的限制,并且可能會受到噪音的影響.此外,觀測誤差將導致精度降低,即使時間序列足夠長以密集地吸引吸引子,臨近點也可能無法形成平滑的曲線,從而影響預測結(jié)果.

上述結(jié)果表明,單變量嵌入和多變量嵌入的方法十分依賴數(shù)據(jù)長度,時間序列長度越長,說明序列中可能包含的信息越多,用來重構相空間的點就越多;若數(shù)據(jù)長度過短,則不能很好地恢復系統(tǒng)中時間序列的動力學特性.因此在時間序列長度較短時,兩種方法的預測能力均不佳.但將NAM 信號加入SAT 的重構相空間中,增加了SAT 相空間中的信息,有助于改善其預測效果.

4.3 多視角嵌入法的預測試驗

與上述兩種嵌入方式不同,多視角嵌入通過組合多種與預測變量有關的變量來增加重構相空間中的信息[31].選用1950—2018 年冬季SAT 和NAM,運用多視角嵌入法對冬東北亞地區(qū)冬季SAT 進行預測,并對比其預測能力.

首先僅用東北亞地區(qū)冬季SAT 進行預測,選擇與上述單變量和多變量嵌入法相同的嵌入維數(shù)E=4,允許最大滯后時間步長l=4,預測步數(shù)tp=1,使用多視角嵌入法進行相空間重構共有即1325 種重構相空間.根據(jù)其預測值和觀測值的相關系數(shù)從大到小進行排列,挑選出其中預測能力最強的前4 個重構相空間,并將預測值和觀測值的相關系數(shù)進行比較,如圖5 所示,其中k為嵌入的次數(shù).可以看出當k取40—43 時,SAT 的預測效果最好,其預測能力最大可達0.6638.

圖5 僅用東北亞地區(qū)冬季SAT 重構相空間,(a)—(d)分別表示k 取40,41,42,43 的預測結(jié)果Fig.5.Only using Northeast Asia winter surface air temperature reconstruct the phase space:(a)–(d) represent the prediction results of k taking 40,41,42,43 respectively.

同樣地,將1950—2018 年11 月至次年2 月的NAM 信號加入SAT 的重構相空間中,選擇嵌入維數(shù)E=4,允許最大滯后時間步長l=4,預測步數(shù)tp=1,使用多視角嵌入法整合所有與預測變量有關的增量進行相空間重構.圖6 中僅選擇了其中1 個月的NAM 加入SAT 的重構相空間中,共有3480 種重構相空間,挑選出其中預測能力最強的前4 個重構相空間的預測值,并將預測值和觀測值的相關系數(shù)進行比較.可以看出,當k為30,36,31,34 時預測效果最好,預測值和真實值的相關系數(shù)最高可達0.687.

圖6 僅將2 月的NAM 信號加入SAT 的重構相空間中,(a)—(d)分別表示k 取30,36,31,34 的預測結(jié)果Fig.6.Only adding the NAM signal in February to the reconstructed phase space of the SAT:(a)–(d) represent the prediction results of k taking 30,36,31,and 34,respectively.

圖7 所示為將11 月到次年2 月的全部NAM信號加入SAT 的重構相空間中對SAT 的預測結(jié)果.在東北亞地區(qū)冬季溫度的重構相空間中繼續(xù)加入NAM 信號后,其可重構的相空間數(shù)量又有所增多,共有25334 種重構相空間.挑選出其中預測能力最強的前4 個重構相空間的預測值,并將預測值和觀測值的相關系數(shù)進行比較,當k為38,39,36,37 時對SAT 的預測效果最好,預測值和真實值的相關系數(shù)最高可達0.7946.

圖7 將12 月至次年2 月的NAM 信號加入SAT 的重構相空間中,(a)—(d)分別表示當k 取38,39,36,37 時的預測結(jié)果Fig.7.Adding the NAM signals from December to next February to the reconstructed phase space of the SAT:(a)–(d) show the prediction results when k takes 38,39,36,and 37,respectively.

可以看出,使用多視角嵌入法進行預測時,利用復雜系統(tǒng)中變量中共有信息的特性,在時間序列長度一定的情況下,利用冬季動力系統(tǒng)的復雜性來增加系統(tǒng)內(nèi)的信息,將NAM 加入SAT 的重構相空間中可以改善對SAT 的預測效果.

4.4 三種重構相空間方法的比較

表1 對比了單變量嵌入、多變量嵌入、多視角嵌入三種重構相空間方法對1950—2018 年2 月份SAT 的預測能力(ρ)、平均絕對誤差(MAE)、均方根誤差(RMSE),得到三種嵌入方法的預測能力如下:多視角嵌入法 >多變量嵌入法 >單變量嵌入法;使用三種嵌入法預測的平均絕對誤差和均方根誤差如下:單變量嵌入法>多變量嵌入法>多視角嵌入法.經(jīng)上述對比可知,使用多視角嵌入法對變量的預測能力最強,其對應的均方根誤差和平均絕對誤差最小,表明對于已知長度的時間序列,重構相空間中包含的有用信息越多,預測效果越好.此外,對比僅用SAT 重構相空間和將NAM 加入SAT 重構相空間的預測能力可知,將NAM 加入SAT 的重構相空間中可以改善SAT 的預測效果.

表1 多種嵌入方法的預測結(jié)果Table 1.Predicted results of multiple embedding methods.

此外,從理想數(shù)據(jù)結(jié)果和實際應用的結(jié)果可以看出,就單變量嵌入法而言,系統(tǒng)內(nèi)部的所有信息最終都反映在單一變量時間序列的全部演化過程中,對于變量較少且系統(tǒng)中能量較大的分量所產(chǎn)生的作用很快就會體現(xiàn)在時間序列的短期變化上.而在實際的非平穩(wěn)系統(tǒng)中,系統(tǒng)的高階項或較弱分量產(chǎn)生的影響在短時間無法反映出來,幾乎不可能從長度有限的時間序列中提取系統(tǒng)的全部特征.多視角嵌入法通過整合多種與預測變量有關的變量來增加重構相空間中的信息,從而恢復系統(tǒng)的動力學特征,該種方法包含的信息最多,因此在實際應用中,多視角嵌入法的預測結(jié)果要明顯優(yōu)于其他兩種嵌入方法.

5 結(jié)論

將CCM 算法應用于非線性系統(tǒng)的預測,是因果分析及其預測應用上研究進展之一.同時,它也加深了我們對非線性的氣候系統(tǒng)內(nèi)部規(guī)律的認識,使進一步探究系統(tǒng)的驅(qū)動機理成為可能.本文通過兩組預測試驗,討論了結(jié)合 CCM 方法,探討加入驅(qū)動力因素對預測結(jié)果的影響并比較3 種不同預測建模方法,并得到如下結(jié)果.

1)對于理想Lorenz 模型和實際氣候時間序列,單變量、多變量和多視角嵌入法三重構相空間方法對變量的預測能力均為:多視角嵌入法 >多變量嵌入法 >單變量嵌入法.利用多視角嵌入法對變量的預測效果最好,表明對于給定長度的時間序列,重構相空間中包含的信息越多,其預測能力越強.

2)將NAM 加入SAT 的重構相空間中有助于改善SAT 的預測效果.在氣候系統(tǒng)預測中,可以考慮利用復雜系統(tǒng)中變量共有信息的特性,構建包含多種影響因子的東亞氣溫預測模型.

由于在CCM 算法中相空間中相互靠近的點在時間上具有相似的發(fā)展趨勢和運動軌跡,CCM算法在理想模型和東北亞地區(qū)冬季溫度預測上的應用,進一步展示了基于因果檢驗在非線性系統(tǒng)的預測能力.然而,文中的試驗仍是初步的.本文并沒有考慮變量之間的相互作用及其物理過程,此類問題的深入和擴展將是未來工作的方向.同時,實際的時間序列中含有噪聲,解決預測模型對噪聲的抗干擾能力也是一個重要課題.此外,預測中對于挖掘數(shù)據(jù)中定量信息的提取,可能對觀測數(shù)據(jù)和質(zhì)量提出新的要求.