橢圓式異形壓縮螺旋彈簧力學特性計算分析

李頌，周長城，張云山，李鵬雷

(1.山東理工大學 交通與車輛工程學院，山東 淄博 255049；2.山東汽車彈簧廠淄博有限公司，山東 淄博 255410)

螺旋彈簧是最基本的彈性元件之一，廣泛應用于汽車等工業(yè)中[1],其中最為常見是圓柱螺旋彈簧[2]。這類彈簧安裝時，對空間有一定的要求，但在某些特殊的應用中，空間受到限制，使用組合圓柱螺旋彈簧又無法滿足剛度要求[3-4]，此時橢圓式螺旋彈簧可以很好地解決這個問題。

目前，螺旋彈簧設計的相關標準多適應于圓形中徑螺旋彈簧[5]，國內外學者的研究也多以圓柱螺旋彈簧為基礎進行。Wahl[6]將螺旋彈簧看作受剪切和扭轉作用的圓桿，分析得出了圓柱螺旋彈簧的剛度公式。張健等[7]以改進后的精確幾何模型梁單元為基礎，對圓柱螺旋彈簧的非線性特性進行了分析。然而目前對于橢圓形中徑螺旋彈簧的研究卻非常少。張英會[8]給出了橢圓形彈簧圈螺旋彈簧的變形及應力的計算式，但是此計算式是將橢圓形中徑等效成圓形中徑彈簧得出的近似修正式。對于橢圓形絲徑的研究，日本彈簧協(xié)會以等圓面積法對橢圓形截面簧進行了計算分析[9]。Gzal等[10]給出了小螺旋角橢圓截面簧的應力公式，但其僅考慮扭轉應力作用，也忽略了曲率的影響。上述文獻所用的研究分析方法雖然準確，但只考慮了彈簧圈為圓形時的情況，亦或是未給出準確的計算方法。以上方法應用于橢圓式螺旋彈簧時，計算得出的剛度及應力值偏差過大。

本文根據(jù)橢圓式螺旋彈簧的力學模型，利用卡氏定理建立其撓度、剛度計算方法，利用半逆解法建立考慮扭轉及彎曲應力同時作用的復合切應力計算方法。根據(jù)復合切應力計算方法，總結橢圓式螺旋彈簧截面復合切應力、彎曲切應力以及彈簧圈上應力分布情況和變化規(guī)律。最后，通過實例參數(shù)對橢圓式螺旋彈簧進行ANSYS仿真驗證。

1 橢圓式螺旋彈簧基本參數(shù)

橢圓式螺旋彈簧在軸向的投影輪廓如圖1所示。圖1中，長半軸為az, 短半軸為bz,R為任意角度αz下彈簧圈的半徑,O為彈簧軸心。

圖1 橢圓式螺旋彈簧中徑參數(shù)

橢圓式螺旋彈簧的簧絲截面如圖2所示。圖2中，長半軸為as,短半軸為bs,r為任意角度下簧絲的半徑,O1為簧絲形心。

圖2 橢圓式螺旋彈簧絲徑參數(shù)

由三角函數(shù)及比例關系，可推得任意角度αz、αs下的彈簧圈半徑R、簧絲半徑r表達式如下：

(1)

式中:kz=az/bz;ks=as/bs。

2 橢圓式螺旋彈簧剛度計算

如圖1所示，橢圓式螺旋彈簧的投影輪廓關于橫軸和縱軸對稱,因此只需對1/4彈簧圈進行力學分析、推導撓度關系式。1/4橢圓式螺旋彈簧受力分析模型如圖3所示。

圖3 1/4橢圓式螺旋彈簧力學模型

彈簧中心受豎直向下的力F, 在彈簧線圈P點上產(chǎn)生一個力矩M,M與P點法線QQ′的夾角為β。過P點的切線NN′與橫軸的夾角為ξ, 當αz改變時，半徑R、夾角β及ξ都隨之改變。根據(jù)切線斜率的定義,ξ可表示為

(2)

由角與角的關系，可以推出角αz、β、ξ之間的關系如下：

β=αz+ξ。

(3)

P處的力矩M可分解為沿切線方向的扭矩T與沿法線方向的彎矩Me, 表達式如下：

(4)

根據(jù)彈性力學知識，由載荷F作用的1/4橢圓式螺旋彈簧力學模型的應變能U1可表示為

(5)

式中，J、I分別為彈簧截面的極慣性矩和慣性矩，且

(6)

則橢圓式螺旋彈簧總的應變能U可表示為

U=4NU1，

(7)

式中N為彈簧的有效圈數(shù)。根據(jù)卡氏第二定理可知，橢圓式螺旋彈簧的撓度為

(8)

由于對應變能U的公式積分化簡存在一定的難度，因此利用微元法以及疊加原理對橢圓式螺旋彈簧的撓度進行計算。將1/4彈簧力學模型的π/2角度等分為90個微元角，單位微元角為Δα=π/180，則任意角度αzi可表示為

(9)

根據(jù)上述公式，可整理得到橢圓式螺旋彈簧的撓度計算式

(10)

式中v為泊松比。由式(10)及撓度與剛度的關系式，可整理得到橢圓式螺旋彈簧剛度K的計算式為

(11)

3 橢圓式螺旋彈簧復合切應力計算

3.1 扭轉切應力的計算

橢圓式螺旋彈簧簧絲截面受扭轉應力如圖4所示。

圖4 橢圓簧絲截面受扭轉應力示意圖

設除應力分量τ1zx,τ1zy外其余應力均為0。根據(jù)彈性力學理論[11]可知，扭轉應力函數(shù)需滿足微分方程和邊界條件

(12)

式中T為橢圓式螺旋彈簧所受扭矩。設應力函數(shù)為

(13)

式中m為一常數(shù)，顯然應力函數(shù)滿足側面邊界條件。將式(13)帶入式(12)中的微分方程可求得m。因此，應力函數(shù)可整理為

(14)

由彈性力學理論，可求得剪切應力分量為

(15)

式中：γ為單位長度的扭轉角；G為剪切模量。根據(jù)端面邊界條件可求得

(16)

式(16)中的扭轉應力分量是在直桿的基礎上推導出來的，若直接應用于彈簧這類大曲率螺旋線上，則會造成實際誤差偏大；因此，需要引入扭轉應力修正系數(shù)k對結果進行偏差修正。修正系數(shù)k[12]的表達式為

(17)

式中：C為彈簧的旋繞比,C=R/r；k1=(4C-1)/(4C-4),k2=(4C+1)/(4C+4)。

3.2 彎曲切應力的計算

彈簧所受的彎曲切應力在某些條件下不應被忽略，彈簧截面所受彎曲應力如圖5所示。彈簧所受的剪力可簡化為作用于圓心O1的力Fs, 受力分析后可知Fs=F。

圖5 橢圓簧絲截面受彎曲應力示意圖

由彈性力學理論可知，橢圓截面彎曲應力函數(shù)需滿足微分方程以及邊界條件

(18)

式中：v為泊松比，一般取v=0.3；Cw為常數(shù)；Ix為橢圓截面的慣性矩。為滿足微分方程和邊界條件，假設應力函數(shù)為

(19)

將式(19)帶入式(18)中的微分方程及邊界條件，即可求得mw。則彎曲應力函數(shù)可整理為

(20)

已知彎曲應力函數(shù)，由彈性力學理論，則可求得彎曲應力分量

(21)

3.3 總切應力的計算

橢圓式螺旋彈簧總的切應力應為修正后的扭轉切應力與彎曲切應力的疊加之和，即

(22)

總切應力τ為

(23)

4 仿真驗證

4.1 實例參數(shù)

已知某橢圓式螺旋彈簧的主要參數(shù)如下：彈簧中徑長半軸az=23.66 mm、短半軸bz=18.86 mm，彈簧絲徑長半軸as=4.26 mm、短半軸bs=3.34 mm，彈簧彈性模量E=206 Gpa，泊松比v=0.3，密度為7 800 kg/m3，彈簧的有效圈數(shù)為7.45，彈簧受軸向載荷F=1 950 N。

4.2 橢圓式螺旋彈簧剛度的ANSYS仿真驗證

根據(jù)橢圓式螺旋彈簧的實例參數(shù)，在UG中建立其三維模型，將模型導入到ANSYS Workbench中進行靜力學特性仿真。首先對模型進行網(wǎng)格收斂性分析，對彈簧模型一端施加固定約束，另一端施加大小為1 950 N的軸向載荷。分別對3組不同網(wǎng)格尺度下的彈簧撓度及應力進行仿真，結果見表1。

表1 網(wǎng)格收斂性分析

由表1可以看出，彈簧撓度及應力的仿真結果隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加幾乎不變，說明仿真結果具有很好的收斂性。仿真得到的橢圓式螺旋彈簧的變形云圖如圖6所示。

圖6 橢圓式螺旋彈簧變形云圖

由圖6可知，仿真得到的彈簧最大撓度為38.14 mm，剛度為51.13 N/mm。將實例參數(shù)帶入式(10)、式(11)中求得橢圓式彈簧撓度及剛度的計算值。計算值與仿真值的對比結果見表2。

表2 彈簧撓度及剛度對比結果

由表2可知，彈簧撓度及剛度的計算值與仿真值偏差均在0.84%左右，表明本文建立的橢圓式螺旋彈簧剛度的計算方法是正確的。

4.3 橢圓式螺旋彈簧復合切應力的ANSYS仿真驗證

根據(jù)所建立的橢圓式螺旋彈簧模型，對簧絲截面邊界進行應力仿真，仿真結果如圖7所示。

圖7 簧絲截面應力云圖

將截面實例參數(shù)帶入式(23)求得截面邊界應力的計算值。提取邊界應力的仿真結果與計算值進行對比分析，對比結果如圖8所示。

圖8 簧絲截面邊界切應力曲線圖

簧絲邊界0°、180°及最大應力所在位置313°的對比結果見表3。

表3 彈簧切應力結果分析

圖8與表3的結果表明，根據(jù)式(23)計算所得應力值與仿真值趨勢相同，能夠較好地給出橢圓式螺旋彈簧應力分布的情況。其中，最大切應力的計算偏差在2.20%右右，表明提出的橢圓式螺旋彈簧復合切應力的計算方法是正確的。

根據(jù)給出的計算方法，對簧絲截面內部復合切應力及彎曲切應力進行計算分析，利用計算所得結果繪制如圖9、圖10所示的應力分布圖。

圖9 簧絲截面復合切應力分布圖

圖10 簧絲截面彎曲切應力分布圖

根據(jù)圖9、圖10分析可知，簧絲截面復合切應力在空間的分布形似飛機狀，由截面形心O1到截面邊界隨著半徑的增大而逐漸遞增，復合切應力隨簧絲截面角度增加呈波浪式的變化。簧絲截面彎曲切應力并非均勻分布在截面內，其在空間的分布似雙漏斗狀；截面形心O1的彎曲切應力最大，隨著半徑的增大，截面角度0°、180°、360°位置處的應力略有下降，而約在90°、260°位置處的應力急劇減小，在此角度邊界處的彎曲切應力近乎為0。

根據(jù)復合切應力計算方法，求取橢圓式螺旋彈簧表面的應力值并繪制應力分布圖，結果如圖11所示。

圖11 橢圓式螺旋彈簧表面應力分布圖

由圖11可知，彈簧圈表面的復合切應力隨著彈簧圈角度的增大呈余弦式變化。彈簧圈半徑為中徑長半軸時，即彈簧圈角度取0°、180°、360°時復合切應力最大；彈簧圈半徑為短徑長半軸時，即彈簧圈角度取90°、270°時復合切應力最小。

5 結論

1)對橢圓式螺旋彈簧模型進行力學分析，利用卡氏第二定理，建立了橢圓式螺旋彈簧撓度及剛度的計算方法，實現(xiàn)了對此彈簧撓度及剛度的準確計算。

2)基于材料力學、彈性力學理論知識，利用半逆解法建立了同時考慮扭轉應力及彎曲應力的橢圓式螺旋彈簧的復合切應力計算方法，可準確計算彈簧任意位置處的復合切應力。利用此計算方法，計算并繪制出彈簧簧絲截面、彈簧圈表面的復合切應力分布圖以及簧絲截面彎曲切應力的分布圖，通過對應力分布圖進行分析，總結出了切應力的變化趨勢及分布情況。

3)ANSYS實例仿真結果表明，橢圓式螺旋彈簧剛度及復合切應力的計算值與仿真值均相吻合。其中，彈簧剛度的相對偏差在0.84%左右，復合切應力的相對偏差在2.20%左右。以上結果表明，所建立的橢圓式螺旋彈簧剛度及復合切應力的計算方法是可靠的。

4)本文所建立的橢圓式螺旋彈簧的剛度及任意角度位置處的復合切應力計算方法，經(jīng)仿真驗證是準確可靠的，可為橢圓式螺旋彈簧后續(xù)的優(yōu)化設計及應用提供一定的理論參考。