數(shù)學(xué)建模在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)例研究

陸?hù)喑?金龔逸 徐張洋 胡江勝 張小華

摘 要：本文以2021年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題為背景，對(duì)賽題進(jìn)行適當(dāng)改造，得到面向中學(xué)生的有限元點(diǎn)陣生成問(wèn)題，并運(yùn)用中學(xué)向量知識(shí)建立有限元點(diǎn)陣模型，通過(guò)二元線(xiàn)性不等式組的知識(shí)設(shè)計(jì)算法對(duì)模型求解，解決了一類(lèi)在任意凸多邊形中生成有限元點(diǎn)陣的問(wèn)題。這一從本科生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中提取素材、適當(dāng)改編并使用中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)求解問(wèn)題的方法，為數(shù)學(xué)建模思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透提供一種具有實(shí)踐意義的教學(xué)思路。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;教學(xué)案例;向量;不等式組;有限元算法

自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》[1]頒布以來(lái)，數(shù)學(xué)建模作為一種重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到了廣泛的研究。其中，如何將這一核心素養(yǎng)的培養(yǎng)融入中學(xué)教學(xué)成為一個(gè)重要的教學(xué)課題[2]。在之前的工作中，研究者已對(duì)數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵與課堂實(shí)踐進(jìn)行了深入探討。譬如，劉丹[3]從“北京市機(jī)動(dòng)車(chē)保有量情況”這一現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)，結(jié)合中學(xué)“函數(shù)的應(yīng)用”知識(shí)在中學(xué)課堂中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，這也是大部分中學(xué)教師采用的教學(xué)方式。特別是，王志俊等[4]提出數(shù)學(xué)建模素材可以從大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中提取的觀點(diǎn)，這開(kāi)辟了建模素材研究的新途徑。但值得注意的是，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題的知識(shí)背景遠(yuǎn)超過(guò)中學(xué)生的認(rèn)知水平。譬如，中學(xué)生雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，但是未接觸過(guò)微分方程的相關(guān)知識(shí)。類(lèi)似地，中學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，但是對(duì)于整數(shù)規(guī)劃等較為復(fù)雜的規(guī)劃問(wèn)題卻未曾接觸。可見(jiàn)，照搬競(jìng)賽賽題無(wú)益于提高中學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，但是筆者認(rèn)為如果對(duì)賽題加以改造，這將對(duì)中學(xué)生建模能力的培養(yǎng)大有裨益。在本文中筆者以2021年的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題的部分題目為例，通過(guò)適當(dāng)改造賽題，得到一類(lèi)在中學(xué)知識(shí)背景下切實(shí)可行的建立與求解數(shù)學(xué)模型的方法，旨在為數(shù)學(xué)建模思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透提供一種思路。

1 問(wèn)題的背景與提出

2021年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題為“FAST”主動(dòng)反射面的形狀調(diào)節(jié)，圖1為“FAST”索網(wǎng)的反射面板及其連接示意圖，其中主索網(wǎng)由柔性主索按照短程三角網(wǎng)格方式構(gòu)成，每個(gè)三角網(wǎng)格上安裝一塊反射面板，與索網(wǎng)形狀一致為三角形。

在賽題的問(wèn)題3中，提出饋源艙有效接受比的概念，即饋源艙有效區(qū)域接收到的反射信號(hào)與300米口徑內(nèi)反射面的反射信號(hào)之比。由于反射面板、饋源艙接收平面、信號(hào)之間不存在共面、共線(xiàn)的幾何關(guān)系，因此直接將空間幾何圖形視為主體來(lái)計(jì)算信號(hào)傳輸與反射情況較為復(fù)雜。相對(duì)簡(jiǎn)單的方案是，以有限元算法的視角，將光線(xiàn)在整個(gè)面板上的反射抽象為在光線(xiàn)在面板上有限個(gè)點(diǎn)的反射，并以饋源艙接收到反射信號(hào)的反射點(diǎn)個(gè)數(shù)與300米口徑內(nèi)反射點(diǎn)個(gè)數(shù)的比代替原先定義的有效接受比。根據(jù)有限元理論，點(diǎn)間的距離越短，點(diǎn)的劃分越細(xì)密，以有限元估計(jì)的有效接受比與實(shí)際的接受比將越接近。

根據(jù)上述背景，提出以下問(wèn)題：（1）假設(shè)已知空間中一塊三角形反射面板各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，建立數(shù)學(xué)模型描述三角形面板上不同區(qū)域的坐標(biāo);（2）提供一種算法，要求算法能夠由三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為已知量，生成三角形面板上一部分點(diǎn)的坐標(biāo)，并且生成的點(diǎn)在三角形平面上是均勻的。

2.3 模型的求解

觀察式（7）我們可以發(fā)現(xiàn)該限制條件為一組二元一次不等式組。在人教版高中數(shù)學(xué)必修五中，介紹了簡(jiǎn)單二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，這里可以將高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中線(xiàn)性代數(shù)的內(nèi)容和數(shù)學(xué)建模思想結(jié)合起來(lái)，設(shè)計(jì)一種求解算法。

根據(jù)以上算法，可生成給定精度下，三角形中所有有限元點(diǎn)的坐標(biāo)。

3 總結(jié)與推廣

上文介紹了基于向量與不等式組建立的有限元點(diǎn)陣模型的建立與求解過(guò)程。其中，有限元算法是一種在求解時(shí)將整個(gè)問(wèn)題區(qū)域進(jìn)行分解，求解每個(gè)子區(qū)域的部分問(wèn)題最終加總求得整個(gè)問(wèn)題區(qū)域近似解的數(shù)值技術(shù)。對(duì)于有限元算法，由于還未在高中教材中完整體現(xiàn)，本文希望對(duì)中學(xué)生起到興趣培養(yǎng)與啟蒙作用。在解題過(guò)程方面，通過(guò)初等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)建立并求解數(shù)學(xué)模型來(lái)解決復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的思想方法，對(duì)教師的教學(xué)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)思維方式都起到重要作用，關(guān)鍵在于其背后數(shù)學(xué)建模思想的滲透。例如，通過(guò)結(jié)合中學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)本科生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題做適當(dāng)修改，能夠幫助教師更好地在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，同時(shí)，中學(xué)生在思考并解決這類(lèi)新型數(shù)學(xué)建模問(wèn)題時(shí)，能夠積累起數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用的先驗(yàn)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

此外，文章中選取的多邊形為三角形，如果跳出題設(shè)給定的框架，以求解任意凸多邊形的有限元點(diǎn)陣為目標(biāo)，模型是否仍然適用？答案是肯定的，如圖8所示，我們?nèi)匀荒芤远噙呅蔚囊粚?duì)鄰邊上尾部相接的一對(duì)向量作為基向量，將其余邊所在直線(xiàn)方程轉(zhuǎn)化為不等式方程作為限制條件，求解多邊形內(nèi)的有限元點(diǎn)陣。由此也說(shuō)明，模型具有較好的普適性，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模中“以某一數(shù)學(xué)模型解決一類(lèi)實(shí)際問(wèn)題”的思想。

綜上所述，本文以2021年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題中的一個(gè)問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用中學(xué)向量知識(shí)建立有限元點(diǎn)陣模型，并通過(guò)二元不等式組知識(shí)設(shè)計(jì)一種算法用于求解，解決了一類(lèi)在任意凸多邊形中生成有限元點(diǎn)陣的問(wèn)題，提供了將復(fù)雜的幾何關(guān)系化為若干簡(jiǎn)單問(wèn)題逐一求解的解題思路，并體現(xiàn)了實(shí)際問(wèn)題抽象化、一個(gè)模型解決一類(lèi)問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模思想。此外，過(guò)程中運(yùn)用了高等數(shù)學(xué)中有限元、線(xiàn)性代數(shù)的思想，對(duì)中學(xué)生起到了興趣培養(yǎng)和啟蒙作用，為數(shù)學(xué)建模思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的滲透提供一種具有實(shí)踐意義的教學(xué)思路。

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基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（編號(hào)：12171206）;江蘇省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（編號(hào)：202111463075Y）;江蘇理工學(xué)院校級(jí)教改課題（編號(hào)：11611212050）;江蘇省高等教育教改課題（編號(hào)：2021JSJG623）

作者簡(jiǎn)介：陸?hù)喑?，男，江蘇蘇州人，江蘇理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院19級(jí)本科生，主要從事量化分析研究工作。

*通訊作者：胡江勝。