基于驅(qū)替效應(yīng)的盾構(gòu)壁后注漿微觀模型分析

葉 飛 ，秦 楠 ，梁 興 ，韓興博 ，韓 鑫

（長安大學(xué)公路學(xué)院, 陜西 西安710064）

1818年Brunel首次提出盾構(gòu)的思想距今已有兩百多年，盾構(gòu)隧道工法經(jīng)過多年的發(fā)展，已出現(xiàn)了泥水盾構(gòu)工法、土壓盾構(gòu)工法等. 對盾構(gòu)隧道而言，采用的隧道襯砌大多為預(yù)制管片，在開挖時，盾構(gòu)機(jī)半徑一般大于管片半徑，致使管片與周圍土體存在空隙[1]，如不進(jìn)行處理將造成上部地表沉降開裂. 在實(shí)際施工中，這一部分土體損失一般采用漿液填充，同時，壁后注漿形成的注漿層還具有防止管片上浮、優(yōu)化管片受力等作用[2].

在已有的研究中，通常將壁后注漿過程分為充填注漿、滲透注漿、壓密注漿和劈裂注漿[3]：在充填注漿中，李志明等[4]根據(jù)流體力學(xué)原理，推導(dǎo)了牛頓及賓漢姆流體漿液在黏土地層條件下的壓力分布；白云等[5]以牛頓流體漿液為研究對象，運(yùn)用流體力學(xué)與極限平衡法基本原理，推導(dǎo)出盾尾空隙橫斷面內(nèi)漿液壓力的分布模型；對于滲透注漿，張莎莎等[6]基于達(dá)西定律、力學(xué)平衡原理和廣義虎克定律推導(dǎo)分析漿液壓力消散規(guī)律；葉飛等[7-8]基于Darcy定律并結(jié)合注漿施工條件，將地下水壓力作為邊界條件對盾構(gòu)隧道壁后注漿進(jìn)行了理論分析. 在以往研究中，往往忽略了滲透注漿過程中地下水的影響，僅將地下水的影響作為邊界條件進(jìn)行分析.

在壁后注漿施工中，注漿壓力是重要的施工參數(shù)，其大小應(yīng)謹(jǐn)慎選取[9-10]. 注漿壓力的設(shè)定不宜過小或過大，過小將引起地表變形過大，過大則會造成土體劈裂[11]. 許多學(xué)者也針對其取值做了卓有成效的研究：文獻(xiàn)[12]建議注漿壓力一般在0.1～0.3 MPa；文獻(xiàn)[13]基于深圳地鐵大東區(qū)間隧道，提出注漿壓力應(yīng)控制在0.3～0.5 MPa，以保證管片與圍巖之間充填密實(shí)；文獻(xiàn)[14]認(rèn)為注漿壓力一般大于注漿口處靜水壓或土壓0.1～0.2 MPa. 從上面可以看出，在施工中注漿壓力的確定主要是依靠經(jīng)驗(yàn)選取，缺乏理論依據(jù).

在盾構(gòu)隧道注漿過程中，隨著漿液的注入，漿液將占據(jù)原土體中地下水的位置，此即為驅(qū)替效應(yīng).地下水在流型上可以劃分為牛頓流體，根據(jù)注漿漿液流型的不同，驅(qū)替注漿可以看作牛頓流體驅(qū)替牛頓流體、賓漢姆流體驅(qū)替牛頓流體、冪律流體驅(qū)替牛頓流體[15]等3種形式，本文主要基于毛細(xì)管模型討論漿液為牛頓流體的情形，即牛頓流體驅(qū)替牛頓流體，建立了相應(yīng)的毛細(xì)管驅(qū)替模型，并根據(jù)模型計(jì)算出的漿液擴(kuò)散半徑提出了注漿壓力下限值的計(jì)算方法.

1 漿液擴(kuò)散方程推導(dǎo)

1.1 基本假設(shè)

為了簡化計(jì)算，做出了如下假設(shè)：

1） 周圍巖土體均質(zhì)，滲透系數(shù)不發(fā)生突變；

2） 漿液擴(kuò)散半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于注漿孔半徑，因此計(jì)算漿液擴(kuò)散半徑時忽略注漿孔半徑；

3） 漿液在毛細(xì)管中驅(qū)替流動時，漿液與水體不發(fā)生混溶，漿液前端存在鋒面；

4） 漿液的滲流半徑與管片半徑相比較而言比較小，因此忽略管片曲率的影響.

1.2 毛細(xì)管流動推導(dǎo)

假設(shè)漿液在毛細(xì)管中流動（毛細(xì)管組理論），即被注土體的空隙理想化為毛細(xì)管組，土體顆粒看作實(shí)體結(jié)構(gòu)，其在概化模型中毛細(xì)管如圖1所示. 圖中：l為定義的毛細(xì)管長度，dl為一個微段；τ為剪切應(yīng)力；r0為毛細(xì)管半徑；v為漿液流速；p為驅(qū)動壓力，dp為微壓力；r為微元體 dl的半徑.

圖1 毛細(xì)管中牛頓流體受力示意Fig. 1 Force schematic of Newtonian fluid in capillary

牛頓流體漿液本構(gòu)方程（流變方程）為

式中： μg為漿液黏度；γ為應(yīng)變速率.

對于毛細(xì)管中的漿液取微元體 dl為研究對象，力學(xué)平衡方程為

式（2）簡化可得

當(dāng)r=r0時，毛細(xì)管壁的剪切應(yīng)力為

聯(lián)立式（1）及式（3），考慮 γ=?dv/dr得

當(dāng)r=r0時，v=0，則對式（5）積分可得

將毛細(xì)管中漿液速度積分得毛細(xì)管中漿液流量為

求解毛細(xì)管中漿液平均流速為

聯(lián)立式（4）和式（8）得毛細(xì)管壁的剪切應(yīng)力為

1.3 模型推導(dǎo)

毛細(xì)管中漿液流動驅(qū)替地下水流動示意如圖2.圖中：lg為毛細(xì)管內(nèi)漿液驅(qū)替長度.

圖2 毛細(xì)管中漿液流動示意Fig. 2 Schematic of grout flow in capillary

根據(jù)牛頓第二定律，對毛細(xì)管中漿液進(jìn)行受力分析，即

式中：m為研究流體的質(zhì)量，m=[ρg(lg+dlg)+ρw×(l?lg?dlg)]πr2，ρg為漿液密度，ρw為地下水密度；F為毛細(xì)管內(nèi)所受的壓力差，F(xiàn)=πr2(P0?Pw) ，P0為注漿壓力，Pw為lw（漿液擴(kuò)散半徑）處的地下水壓力；a為加速度；f為漿液與地下水與毛細(xì)管壁產(chǎn)生的摩擦阻力，f=+2 πrτrg(lg+dlg)+2πrτrw(l?lg?dlg)，τrg為漿液毛細(xì)管壁剪切應(yīng)力，τrw為地下水毛細(xì)管壁剪切應(yīng)力.

式（10）可寫為

當(dāng)漿液為牛頓流體時，模型簡化為牛頓流體驅(qū)替牛頓流體，結(jié)合式（9）可得

式中： μw為地下水黏度.

忽略 dl的高階無窮小，根據(jù)Dupuit-Forchheimer 準(zhǔn)則（V=）將毛細(xì)管內(nèi)漿液速度轉(zhuǎn)化為地層中漿液的滲透速度，如式（14）.

式中：V地層中漿液的滲透速度；φ為地層孔隙率.

對半球形模型漿液流量和漿液量關(guān)系如式（15）.

式中：v0為注漿管漿液流速；d注漿管半徑；t為注漿時間.

化簡后為

聯(lián)立式（15）、（16）可得

代入式（14）可得

對于柱形模型，邊界條件有

代入式（14）可得

2 參數(shù)分析

在上面計(jì)算中可以看出：漿液擴(kuò)散半徑主要與注漿壓力、滲透率、注漿時間、孔隙率、漿液和地下水黏度等因素有關(guān). 本節(jié)主要分別對注漿壓力、漿液水灰比、地層滲透系數(shù)影響因素進(jìn)行分析.

在計(jì)算中選取在l=5 m處地下水壓力Pw=0.06 MPa，土體孔隙率 φ =0.3，μw=0.00101 Pa?s.K與滲透系數(shù)k的關(guān)系為K=kμw/γ ，其中，γ為流體重度.

2.1 漿液水灰比的影響

本文采用文獻(xiàn)[16]得出的結(jié)果對水灰比的影響進(jìn)行分析，漿液水灰比的不同主要體現(xiàn)在漿液黏度的不同（如表1）. 在上述條件不變的情況下，選取注漿壓力為0.3 MPa，基于半球形模型對不同的水灰比（2、5、10）影響進(jìn)行分析.

表1 不同水灰比漿液對應(yīng)的流變方程[16]Tab. 1 Rheological equations for different water-cement ratios[16]

分別選取不同水灰比下漿液擴(kuò)散半徑變化規(guī)律如圖3所示. 由圖可知：漿液水灰比越大（漿液黏度越?。?，漿液擴(kuò)散半徑越大；漿液的黏度分別為0.00470、0.00270、0.00190 Pa?s時，漿液擴(kuò)散半徑在注漿時間為1 h時分別達(dá)到了14.719、11.167、7.852 m，降低的幅度為46.7%；漿液黏度對漿液擴(kuò)散半徑影響顯著，相同條件下可增大水灰比來增大漿液擴(kuò)散半徑，但水灰比的增大將會造成結(jié)石體強(qiáng)度降低，因此漿液水灰比的選取應(yīng)平衡這兩個因素.

圖3 不同水灰比下漿液擴(kuò)散半徑變化規(guī)律Fig. 3 Variation law of grout diffusion radius with different water cement ratios

2.2 注漿壓力的影響

在漿液水灰比為2時，漿液黏度為0.00470 Pa?s（見表1），地層滲透系數(shù)為0.03 cm/s的條件下，分別選取不同的注漿壓力對半球形模型漿液擴(kuò)散半徑進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果如圖4所示.

如圖4所示：隨著注漿壓力的增加，漿液擴(kuò)散半徑也隨之增大；圖中曲線斜率代表了漿液的擴(kuò)散速度，曲線的斜率呈逐漸減小的趨勢，即漿液擴(kuò)散速度逐漸減?。蛔{壓力由0.20 MPa增加到0.40 MPa時，注漿時間1 h的漿液擴(kuò)散半徑由5.850 m增加到了9.463 m，增加的幅度達(dá)到了61.8%，注漿壓力對漿液擴(kuò)散半徑影響顯著. 在實(shí)際施工過程中，為加大漿液擴(kuò)散范圍可以考慮提高注漿壓力的方式.

圖4 不同注漿壓力下漿液擴(kuò)散半徑變化規(guī)律Fig. 4 Variation law of radius with different grout pressures

2.3 地層滲透系數(shù)的影響

在上述計(jì)算參數(shù)基礎(chǔ)上，選取注漿壓力為0.30 MPa，水灰比為2，基于半球形模型對不同滲透系數(shù)的影響進(jìn)行分析.

不同滲透系數(shù)下漿液擴(kuò)散半徑變化規(guī)律如圖5所示. 由圖可知：隨著滲透系數(shù)的增大，漿液擴(kuò)散半徑隨之增大. 地層的滲透系數(shù)大小一定程度上反映了漿液擴(kuò)散的難易程度；在5種滲透系數(shù)條件下，漿液在注漿時間為1 h時漿液擴(kuò)散半徑為4.877、7.150、7.852、9.164、10.321 m，隨著注漿時間的增加，各滲透系數(shù)對應(yīng)的漿液擴(kuò)散半徑差值也隨之增大. 在不同的地層條件下，應(yīng)根據(jù)不同的滲透系數(shù)選取不同的注漿壓力、漿液水灰比等注漿施工參數(shù).

圖5 不同滲透系數(shù)下漿液擴(kuò)散半徑變化擴(kuò)散規(guī)律Fig. 5 Variation law of grout diffusion radius with different infiltration coefficients

3 模型對比

常用的模型還有Darcy滲流模型，牛頓流體漿液在Darcy定律條件下滿足

根據(jù)邊界條件和盾構(gòu)隧道注漿條件可推導(dǎo)得到半球形模型漿液毛細(xì)管長度滿足

當(dāng)漿液水灰比取2，注漿壓力分別取0.30 MPa和0.35 MPa時，兩模型的計(jì)算結(jié)果如圖6.

圖6 模型對比Fig. 6 Model comparison

從圖6可知：Darcy模型在注漿前期階段（360 s）就出現(xiàn)了漿液擴(kuò)散半徑的平穩(wěn)發(fā)展階段，毛細(xì)管驅(qū)替模型則未表現(xiàn)出明顯變緩的趨勢，但總體上漿液擴(kuò)散半徑增長也逐漸變慢. 由于兩模型漿液擴(kuò)散半徑增長趨勢的差異，在注漿時間達(dá)到1 h時，毛細(xì)管模型的漿液擴(kuò)散半徑達(dá)到了Darcy模型的6倍之多. 造成上述差異的原因在于毛細(xì)管驅(qū)替模型推導(dǎo)過程存在隱性條件注漿口處漿液流量不變，而在Darcy模型的推導(dǎo)中則不存在這樣的限制. 在盾構(gòu)隧道施工中，一般注漿口處流量是恒定的，因此本文提出的此種模型更符合壁后注漿過程.

4 注漿壓力下限值的確定

從半球形或柱形模型漿液擴(kuò)散半徑計(jì)算式可以看出：注漿壓力選取與漿液擴(kuò)散半徑、漿液水灰比（漿液黏度）、地下水壓力、地下水黏度、滲透率（滲透系數(shù)）、孔隙率有關(guān). 本小節(jié)通過對漿液加固范圍的考慮，分盾尾注漿和管片注漿兩種情況，提出了盾構(gòu)隧道施工過程中注漿壓力下限值的計(jì)算.

4.1 盾尾同步注漿

對于盾尾注漿（如圖7所示），注漿管均勻分布，在此假設(shè)為n個，因此要滿足注漿加固范圍填滿管片外部土體，毛細(xì)管長度應(yīng)滿足

圖7 盾尾注漿示意Fig. 7 Schematic of shield tail grouting

式中：R為管片外半徑.

第3節(jié)推導(dǎo)出的漿液擴(kuò)散半徑方程是P0和t的函數(shù)，對漿液擴(kuò)散半徑方程進(jìn)行變形即可求解出在一定時間內(nèi)滿足注漿加固范圍的注漿壓力為

式中：p0為在一定時間內(nèi)滿足注漿加固范圍的注漿壓力.

4.2 管片注漿

管片注漿的注漿孔在管片中心處（見圖8，圖中：S為管片外弧長；B為環(huán)寬. ），注漿孔兩側(cè)漿液擴(kuò)散半徑相同，因此要滿足注漿范圍填滿管片外部土體，l（漿液擴(kuò)散半徑）應(yīng)滿足

圖8 管片示意Fig. 8 Schematic of segment

對漿液擴(kuò)散半徑方程進(jìn)行變形可求解出在一定時間內(nèi)滿足注漿加固范圍的注漿壓力，如式（27）.

4.3 實(shí)例計(jì)算

在盾尾注漿中取n=4 ，即有4個注漿孔，R=3 m，S=3.526m ，πR/n=2.356m ，S/2=1.763m，漿 液水灰比取2，μg=0.0047Pa?s. 注漿壓力下限值如表2所示.

從表2可看出：土體滲透系數(shù)越大，滿足漿液加固范圍時的注漿壓力下限值越小；注漿時間越短對應(yīng)的注漿壓力下限值越大；盾尾注漿所需加固范圍大于管片注漿，在滿足注漿加固范圍的前提條件下，盾尾注漿壓力下限值大于管片注漿；注漿壓力下限值的計(jì)算與地層滲透系數(shù)、注漿時間等多種因素有關(guān)，明顯不能基于某一單一條件確定，例如注漿口處靜水壓力，因此本文建議在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)具體工程多種條件進(jìn)行確定.

表2 注漿壓力Tab. 2 Values of grouting pressure

5 結(jié) 論

本文建立了毛細(xì)管驅(qū)替滲透模型，并推導(dǎo)出了漿液擴(kuò)散半徑計(jì)算式. 在此基礎(chǔ)上，通過考慮漿液加固范圍得出了施工過程中注漿壓力下限值的計(jì)算方法. 主要得出了以下結(jié)論：

1） 漿液擴(kuò)散半徑主要與注漿壓力、滲透率、注漿時間、孔隙率、漿液和地下水黏度等因素有關(guān).

2） 在注漿壓力、水灰比、滲透系數(shù)3種影響因素中，漿液擴(kuò)散半徑與漿液壓力、滲透系數(shù)正相關(guān)，與水灰比呈負(fù)相關(guān)關(guān)系. 且水灰比因素對于漿液擴(kuò)散半徑的影響最為顯著，其次為滲透系數(shù)及注漿壓力. 在壁后注漿施工中，可優(yōu)先選擇增大水灰比來增大漿液擴(kuò)散半徑，但水灰比的增大將會造成結(jié)石體強(qiáng)度降低，因此，漿液水灰比的選取應(yīng)平衡這兩個因素.

3） 地層滲透系數(shù)大小一定程度上反映了漿液擴(kuò)散的難易程度. 隨著注漿時間的增加，各滲透系數(shù)對應(yīng)的漿液擴(kuò)散半徑差值也隨之增大，在施工中應(yīng)根據(jù)不同的地層滲透系數(shù)選取不同的注漿壓力、漿液水灰比等注漿施工參數(shù).

4） 注漿壓力下限值的計(jì)算與地層滲透系數(shù)、注漿時間等多種因素有關(guān)，在實(shí)際工程應(yīng)用中應(yīng)綜合具體工程的多種因素進(jìn)行確定.