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    具有阻尼和非線性對(duì)數(shù)源項(xiàng)的波方程能量衰減

    2022-04-20 02:01:46武福敏郝江浩
    關(guān)鍵詞:勢(shì)阱方程解對(duì)數(shù)

    武福敏,郝江浩

    (山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山西 太原 030006)

    0 引言

    本文研究如下波方程的初邊值問題:

    (1)

    其中:Ω是Rn(n≥1)中的一個(gè)帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,m≥2,p≥2,且

    ω≥0,μ>-ωλ1,這里的λ1代表的是算子-Δ在齊次Dirichlet邊界條件下的第一個(gè)特征值。

    近年來,非線性阻尼和對(duì)數(shù)源項(xiàng)受到廣泛的關(guān)注[1-2],尤其是對(duì)數(shù)源項(xiàng),其在宇宙學(xué)、超對(duì)稱場(chǎng)論、量子力學(xué)和核物理等領(lǐng)域起到很大的作用[3-4]。

    文獻(xiàn)[5-9]研究了一類帶有非線性阻尼的波方程解的存在性、穩(wěn)定性以及解在有限時(shí)間內(nèi)爆破。

    文獻(xiàn)[10]研究了如下方程:

    utt-Δu+u+ut=uln|u|2, (x,t)∈Ω×(0,∞),

    (2)

    用勢(shì)阱方法證明了解的存在性。并通過構(gòu)造Lyapunov泛函,證明了能量的指數(shù)衰減。文獻(xiàn)[11-12]證明了帶有對(duì)數(shù)源項(xiàng)的板方程解的全局存在和能量指數(shù)衰減。文獻(xiàn)[13]考慮了如下方程:

    utt-Δu-ωΔut+μut=uln|u|, (x,t)∈Ω×(0,∞),

    (3)

    證明了弱解的局部存在性、全局存在性、能量衰減以及解的爆破。文獻(xiàn)[14-17]利用伽遼金法和勢(shì)阱法證明了解的局部存在和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[18-20]證明了帶有非線性對(duì)數(shù)源項(xiàng)的波方程解的穩(wěn)定性以及在有限時(shí)間內(nèi)解的爆破。

    受文獻(xiàn)[18-20]的啟發(fā),在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上,本文研究帶有非線性對(duì)數(shù)源項(xiàng)的波方程,利用伽遼金方法和勢(shì)阱方法給出方程解的局部存在性以及能量衰減結(jié)果。

    1 準(zhǔn)備工作和主要結(jié)論

    Lp(Ω)表示通常的Sobolev空間, 并且對(duì)于p∈[1,∞),賦予范數(shù):

    為方便記‖.‖2=‖.‖。存在嵌入常數(shù)C*使得:

    關(guān)于p給出如下假設(shè)條件:

    定義1 稱u是問題(1)的弱解,如果

    利用伽遼金方法以及壓縮映射原理可得問題(1)弱解的存在性。這里省去證明過程。

    定義問題(1)的能量泛函如下:

    (4)

    (5)

    (6)

    定義穩(wěn)定集W、不穩(wěn)定集V和阱深d如下:

    定理2 假設(shè)u0∈W,u1∈L2(Ω),假設(shè)(A)和E(0)

    0

    2 主要結(jié)論的證明

    引理1 能量泛函E(t)是非增的,且滿足:

    (7)

    證明給問題(1)的第1個(gè)方程左右兩邊同時(shí)乘ut,并對(duì)x在Ω上積分,運(yùn)用分部積分即可得到結(jié)果。引理1證畢。

    引理2 假設(shè)有u0∈W,u1∈L2(Ω)和E(0)

    證明設(shè)T是u(t)的最大存在時(shí)間,由引理1得:

    E(t)≤E(0)

    下面用反證法證明,假設(shè)存在第一個(gè)時(shí)間點(diǎn)t0∈(0,T),使得I(u(t0))=0和I(u(t))>0對(duì)于0≤t

    這與E(t)

    引理3 假設(shè)有u0∈W,u1∈L2(Ω)和E(0)

    (8)

    其中:

    證明由引理2得,u(t)∈W,即I(u)>0。

    由E(t)的定義知:

    又根據(jù)E(t)與J(u)的關(guān)系以及E(t)≤E(0)

    (9)

    根據(jù)對(duì)數(shù)Sobolev不等式:

    得:

    (10)

    情形2 當(dāng)p>2時(shí),由式(5)和式(6)知:

    因此有:

    同理得:

    綜上,得出結(jié)論,引理3證明完畢。

    定理2的證明構(gòu)造Lyapunov泛函,

    (11)

    其中:ε>0是足夠小的待定常數(shù)。通過計(jì)算知,存在兩個(gè)依賴于ε的正常數(shù)β1和β2,使得:

    β1E(t)≤L(t)≤β2E(t),

    (12)

    即E(t)和L(t)等價(jià)。將L(t)對(duì)t求導(dǎo),得:

    (13)

    利用Young不等式知,存在δ>0,有:

    (14)

    將式(8)和式(14)代入式(13)得:

    (15)

    因此,由E(t)的定義得:

    (16)

    由Poincaré不等式得:

    (17)

    將式(8)和式(17)代入式(16)得:

    (18)

    由于

    (19)

    (20)

    L′(t)≤-MεE(t),t≥0。

    由式(12),則存在常數(shù)C4>0,使得L′(t)≤-C4L(t)。進(jìn)而積分可得,存在正常數(shù)k和C5,使得L(t)≤C5e-kt,t≥0。由引理2得,I(u)>0。則有:

    (21)

    因此存在正常數(shù)C,使得0

    引理4 假設(shè)有u0∈W,u1∈L2(Ω)和E(0)=d,則存在t0∈(0,T),使得:

    (22)

    證明用反證法。假設(shè):

    則有‖ut‖=0,t∈[0,T)。因此,E(t)=J(t)≤E(0)=d。這與d的定義矛盾。引理4證畢。

    引理5 假設(shè)有u0∈W,u1∈L2(Ω)和E(0)=d,則u(t)∈W。

    證明運(yùn)用引理4和反證法即可得到結(jié)論。證明過程與引理2類似,這里省略。引理5證畢。

    引理6 假設(shè)有u0∈W,u1∈L2(Ω)和E(0)=d,則有:

    其中:

    證明證明過程與引理3類似,這里省去。引理6證畢。

    定理3的證明由式(7)和式(22)得:

    (23)

    根據(jù)引理5得,u(t0)∈W,即I(u(t0))>0或‖u(t0)‖=0成立。結(jié)合定理2,有:

    0

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