基于反步法的不確定分?jǐn)?shù)階Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)無源同步

趙 飛, 周衛(wèi)光, 鄭永愛

(揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225127)

混沌是復(fù)雜非線性動(dòng)力系統(tǒng)的一種不規(guī)則或不確定現(xiàn)象, Shimizu-Morioka系統(tǒng)因包含了混沌動(dòng)力學(xué)的許多特征而成為混沌領(lǐng)域研究的典型范例之一[1-2].近年來, Shimizu-Morioka系統(tǒng)的控制和同步實(shí)現(xiàn)方法主要有延遲反饋控制[3]、滑?？刂芠4]、主動(dòng)控制[5]及自適應(yīng)控制[6]等.但這些方法設(shè)計(jì)的控制器或過于復(fù)雜,或只適用于具有參數(shù)嚴(yán)格反饋形式的一類混沌系統(tǒng), 在實(shí)際應(yīng)用中備受限制.反步控制[7]作為自適應(yīng)理論的重要分支之一, 其基本原理是將Lyapunov函數(shù)的選取與反饋控制器的設(shè)計(jì)相結(jié)合.該方法是為每個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)并設(shè)計(jì)相應(yīng)的虛擬控制律, 最終設(shè)計(jì)出系統(tǒng)的實(shí)際控制律, 從而保證整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.Ha等[8]提出一種自適應(yīng)反步模糊控制方法,實(shí)現(xiàn)了輸入飽和與外界干擾下的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步; Shukla等[9]基于自適應(yīng)反步法實(shí)現(xiàn)了一類不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的控制與同步.無源控制[10]則利用無源理論對(duì)同步誤差系統(tǒng)設(shè)計(jì)漸近穩(wěn)定控制器,從而實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的同步.無源控制具有明確的物理意義, 其控制結(jié)構(gòu)簡單且易于實(shí)現(xiàn).Kuntanapreeda[11]、Sangpet[12]等提出一種具有時(shí)變?cè)鲆娴臒o源反饋控制方案,將同步誤差動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化為等效的無源系統(tǒng), 實(shí)現(xiàn)了具有未知參數(shù)的混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)無源同步.本文擬結(jié)合反步控制、自適應(yīng)控制和無源控制技術(shù),針對(duì)參數(shù)不確定性的兩分?jǐn)?shù)階Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng),提出一種自適應(yīng)無源反步控制方法.

1 預(yù)備知識(shí)

定義Caputo分?jǐn)?shù)階微分

(1)

考慮分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)

(2)

其中0<α<1,x∈Rn為狀態(tài)變量,u∈Rm為輸入向量,y∈Rm為輸出向量,f(x)和g(x)為光滑向量場,h(x)為光滑映射, 且f(0)=h(0)=0.

假設(shè)系統(tǒng)(2)表示為如下形式:

(3)

其中(zT,yT)T∈Rn為系統(tǒng)的新坐標(biāo),z∈Rn-m;f(z)∈Rn-m;p(z,y)∈R(n-m)×m;b(z,y)∈Rm.對(duì)任意(z,y),a(z,y)是非奇異的.

定義1[13]如果存在一個(gè)正定Lyapunov函數(shù)V(z,y), 稱之為存儲(chǔ)函數(shù)或能量函數(shù),滿足對(duì)任意的t≥0且0<α<1有

(4)

則系統(tǒng)(3)是無源的.

定義2[13]如果存在一個(gè)正定Lyapunov函數(shù)V(z,y)和一個(gè)K類函數(shù)γ, 滿足對(duì)任意的t≥0且0<α<1有

(5)

則系統(tǒng)(3)是嚴(yán)格無源的.

引理1[14]設(shè)

(6)

其中y1(t)∈Rn和y2(t)∈Rn具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),Q1∈Rn×n和Q2∈Rn×n為2個(gè)正定矩陣.若存在正定矩陣Q3∈Rn×n和常數(shù)h0>0, 使得對(duì)任意的0<α<1有

(7)

則‖y1(t)‖和‖y2(t)‖有界且y1(t)漸近趨于0, 即limt→+∞‖y1(t)‖=0.

引理2[15]設(shè)x(t)∈Rn是一個(gè)可微函數(shù)向量, 那么對(duì)于任意t≥0且0<α<1, 不等式

(8)

恒成立, 其中P∈Rn×n為一個(gè)n×n維常值正定矩陣.

2 主要結(jié)果

考慮如下不確定分?jǐn)?shù)階Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng):

(9)

其中x,y,z為狀態(tài)變量, 分?jǐn)?shù)階0<α<1,a,b為不確定參數(shù)且a∈R,b∈R+.設(shè)z1=z,x1=x,x2=y, 則系統(tǒng)(9)可表示為

(10)

假設(shè)系統(tǒng)(10)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng), 則可控響應(yīng)系統(tǒng)為

(11)

其中u∈R為控制輸入.

定義3設(shè)X=(z1,x1,x2)T∈R3,Y=(z2,y1,y2)T∈R3分別是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(10)和響應(yīng)系統(tǒng)(11)的狀態(tài)向量, 若limt→+∞‖X(t)-Y(t)‖=0, 則稱系統(tǒng)(10)與系統(tǒng)(11)漸近同步.

定義同步誤差z0=z2-z1,e1=y1-x1,e2=y2-x2, 系統(tǒng)(10)(11)的同步誤差系統(tǒng)為

(12)

顯然,系統(tǒng)(10)與系統(tǒng)(11)的同步問題即轉(zhuǎn)化為當(dāng)t→+∞時(shí)同步誤差系統(tǒng)(12)的零解穩(wěn)定性問題.

定理1若設(shè)計(jì)虛擬控制律:

α1=-2x1z0-z0w1-w1,

(13)

以及自適應(yīng)控制律:

(14)

(15)

證明 1)設(shè)e2為實(shí)際控制器,α1為虛擬控制器, 則子系統(tǒng)

(16)

2)系統(tǒng)(12)可轉(zhuǎn)化為

(17)

3 數(shù)值模擬

當(dāng)α=0.98,a=0.75,b=0.45,初始條件z1(0)=0,x1(0)=0.25,x2(0)=1時(shí), 分?jǐn)?shù)階Shimizu-Morioka系統(tǒng)(10)呈現(xiàn)混沌現(xiàn)象.該系統(tǒng)的混沌吸引子如圖1所示.

圖1 分?jǐn)?shù)階Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)的吸引子

圖2 系統(tǒng)同步誤差曲線

圖3 系統(tǒng)參數(shù)a和b的估計(jì)曲線

4 結(jié)論

本文基于反步控制理論提出了一種不確定分?jǐn)?shù)階Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)無源同步控制方法.利用反步控制的遞推過程, 獨(dú)立設(shè)計(jì)了子系統(tǒng)的能量函數(shù)和自適應(yīng)虛擬控制律, 然后設(shè)計(jì)出整個(gè)系統(tǒng)實(shí)際的自適應(yīng)控制律, 有效實(shí)現(xiàn)了對(duì)分?jǐn)?shù)階Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)同步的自適應(yīng)無源反步控制.