基于廣義相對(duì)論的軌道攝動(dòng)下星間激光相位比對(duì)

梁健，賈前，劉磊,*，唐碩

1. 西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072

2. 陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710072

1 引言

地球重力場(chǎng)測(cè)量計(jì)劃對(duì)星間激光測(cè)距提出了納米量級(jí)的精度要求，如美國(guó)NASA提出的GRACE Follow-on計(jì)劃，歐洲ESA提出的NGGM計(jì)劃以及E. MOTION計(jì)劃[1-7]?？臻g引力波探測(cè)計(jì)劃提出了皮米量級(jí)的星間激光測(cè)距精度要求，如NASA和ESA共同提出的LISA計(jì)劃以及中國(guó)的太極計(jì)劃和天琴計(jì)劃[7-13]。同時(shí)，高精度的星間激光測(cè)距有利于提高衛(wèi)星自主導(dǎo)航和自主定軌精度[14-18]。星間激光高精度相位比對(duì)是實(shí)現(xiàn)星間納米到皮米量級(jí)測(cè)距的基礎(chǔ)，在考慮軌道攝動(dòng)的情況下，需要基于廣義相對(duì)論建立更加精確的星間激光相位比對(duì)模型[19-20]。

為實(shí)現(xiàn)高精度星間測(cè)距，一方面可以利用時(shí)間比對(duì)，另一方面可以利用相位比對(duì)。在進(jìn)行相對(duì)論效應(yīng)校正后，文獻(xiàn)[21]可實(shí)現(xiàn)北斗導(dǎo)航衛(wèi)星Ka波段厘米量級(jí)星間雙向測(cè)距精度。目前利用激光同步技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)飛秒量級(jí)，對(duì)應(yīng)測(cè)距精度在亞微米量級(jí)[22]。利用時(shí)間比對(duì)進(jìn)行星間測(cè)距時(shí)，即使補(bǔ)償所有系統(tǒng)誤差和路徑誤差，仍然不能滿足納米到皮米量級(jí)的空間科學(xué)任務(wù)需求。

為實(shí)現(xiàn)更高精度的星間測(cè)距，重力場(chǎng)計(jì)劃以及引力波探測(cè)計(jì)劃都選擇了利用激光相位比對(duì)實(shí)現(xiàn)星間激光測(cè)距。文獻(xiàn)[19]針對(duì)GRACE Follow-on計(jì)劃，利用程函方程建立星間激光相位比對(duì)模型，依據(jù)該計(jì)劃中的衛(wèi)星運(yùn)行軌道高度，對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)影響量級(jí)進(jìn)行了估計(jì)，但是未考慮軌道攝動(dòng)的影響。文獻(xiàn)[20]針對(duì)天琴計(jì)劃建立星間激光相位比對(duì)模型，并根據(jù)天琴運(yùn)行軌道對(duì)軌道攝動(dòng)影響量級(jí)進(jìn)行了估計(jì)，但是未考慮軌道攝動(dòng)引起的軌道變化的影響以及不同軌道時(shí)攝動(dòng)影響的變化趨勢(shì)。本文針對(duì)地球主引力場(chǎng)范圍內(nèi)的衛(wèi)星，研究了軌道攝動(dòng)對(duì)高精度星間激光相位比對(duì)的影響，仿真分析得到了軌道高度以及星間距離變化的影響趨勢(shì)。

2 星間激光相位比對(duì)建模

2.1 時(shí)空參考坐標(biāo)系

選擇GCRS(地心非旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系)描述地球衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)，廣義相對(duì)論下GCRS中的度規(guī)張量為[23]：

(1)

式中：c為光速；w為引力勢(shì)；γαβ=diag[-1 1 1 1]。

對(duì)于廣義相對(duì)論下四維空間任意兩點(diǎn)之間的距離ds有：

ds2=(cdτ)2=gmndxmdxn

(2)

(3)

式中：t為坐標(biāo)時(shí)。上式為基于廣義相對(duì)論的GCRS坐標(biāo)系下原時(shí)與坐標(biāo)時(shí)之間的轉(zhuǎn)換方程。

2.2 星間單向激光相位比對(duì)建模

星間激光相位比對(duì)如圖 1所示。

圖1 星間激光相位比對(duì)示意Fig.1 Schematic diagram of laser phase comparison between satellites

衛(wèi)星A與衛(wèi)星B各自搭載一臺(tái)超穩(wěn)激光器，當(dāng)進(jìn)行星間激光測(cè)距時(shí)，衛(wèi)星A向衛(wèi)星B發(fā)射激光，衛(wèi)星B將接收到的激光信號(hào)與衛(wèi)星B超穩(wěn)激光器產(chǎn)生的激光信號(hào)進(jìn)行干涉。衛(wèi)星A在τA1時(shí)刻發(fā)射的激光頻率和相位分別為fA(τA1)和φA(τA1)，衛(wèi)星B在τB2時(shí)刻收到的激光相位為φAB(τB2)。此時(shí)，可以得到φAB(τB2)=φA(τA1)[24]。

衛(wèi)星B接收到的激光信號(hào)與衛(wèi)星B超穩(wěn)激光器產(chǎn)生的激光信號(hào)在τB2時(shí)刻的相位差為[20]：

(4)

式中：fB(τB2)為τB2時(shí)刻衛(wèi)星B超穩(wěn)激光器產(chǎn)生的激光信號(hào)頻率。

求解dτA1/dτB2即可得到干涉信號(hào)之間的相位差。dτA1/dτB2可改寫為：

(5)

式中：τA為衛(wèi)星A的原時(shí)；τB為衛(wèi)星B的原時(shí)；t1為對(duì)應(yīng)τA1的坐標(biāo)時(shí)；t2為對(duì)應(yīng)τA2的坐標(biāo)時(shí)。

(6)

式中：wB2和vB2分別為τB2時(shí)刻衛(wèi)星B的引力勢(shì)和速度；wA1和vA1分別為τA1時(shí)刻衛(wèi)星A的引力勢(shì)和速度。

對(duì)于t1,t2有：

t1=t2-c-1RAB

(7)

式中：RAB為激光從衛(wèi)星A發(fā)射到衛(wèi)星B接收的距離。

式(5)中的dt1/dt2可由式(7)求解得到：

(8)

將式(5)、式(6)和式(8)代入式(4)，并忽略c-2以上的項(xiàng)可以得到：

dφAB(τB2)=2π[fB(τB2)-fA(τA1)]dτB2-

(9)

式(9)為星間單向激光相位比對(duì)模型，第2項(xiàng)以及第3項(xiàng)中的Shapiro效應(yīng)均為廣義相對(duì)論效應(yīng)引起的誤差。

2.3 星間雙向激光相位比對(duì)建模

相比于星間單向激光相位比對(duì)，在星間雙向激光相位比對(duì)中，衛(wèi)星B將接收到的激光信號(hào)利用鎖相器進(jìn)行鎖相，將鎖相后的激光信號(hào)重新發(fā)射回衛(wèi)星A，與衛(wèi)星A超穩(wěn)激光器產(chǎn)生的激光信號(hào)進(jìn)行干涉。τA3時(shí)刻衛(wèi)星A接收到的激光相位為φA(τA3)。

衛(wèi)星B鎖相器對(duì)接收到的激光信號(hào)進(jìn)行鎖相時(shí)，滿足如下關(guān)系[20]：

(10)

式中：fBL(τB2)為τB2時(shí)刻鎖相器產(chǎn)生的頻率偏移。

由式(10)可以得到衛(wèi)星A接收到的激光信號(hào)與衛(wèi)星A超穩(wěn)激光器產(chǎn)生的激光信號(hào)在τA3時(shí)刻相位差為：

(11)

dτA1/dτA3可改寫為：

(12)

式中：t3對(duì)應(yīng)τA3的坐標(biāo)時(shí)。

(13)

式中：wA3和vA3分別為τA3時(shí)刻衛(wèi)星A的引力勢(shì)和速度；wA1和vA1分別為τA1時(shí)刻衛(wèi)星A的引力勢(shì)和速度。

對(duì)于t1,t3有：

t1=t3-c-1[RAB+RBA]

(14)

式中：RBA為激光從衛(wèi)星B鎖相后發(fā)射到衛(wèi)星A接收的距離。

式(12)中的dt1/dt3可由式(14)求解得到:

(15)

將式(12)、式(13)和式(15)代入式(11)，并忽略c-2以上的項(xiàng)可以得到：

(16)

式(16)為星間雙向激光相位比對(duì)模型。

相位比對(duì)誤差dφ和距離測(cè)量誤差ΔL之間的關(guān)系可以表示為：

(17)

式中：λ為激光波長(zhǎng)。

3 星間距離變化率

本章將對(duì)2.2節(jié)星間單向激光相位比對(duì)模型和2.3節(jié)星間雙向激光相位比對(duì)模型中激光比對(duì)距離變化率dRAB/cdt2、dRAB/cdt3以及dRBA/cdt3進(jìn)行求解。

在單向激光相位比對(duì)模型中，激光比對(duì)距離RAB對(duì)衛(wèi)星B接收時(shí)間t2求導(dǎo)，將RAB以接收時(shí)間t2表示?？紤]Sagnac效應(yīng)以及Shapiro效應(yīng)時(shí)，激光比對(duì)距離可以表示為：

(18)

式中：DAB=rEB2-rEA2；DAB=‖DAB‖；rEB2為t2時(shí)刻衛(wèi)星B在GCRS中的位置矢量；rEA2為t2時(shí)刻衛(wèi)星A在GCRS中的位置矢量；vEA2為t2時(shí)刻衛(wèi)星A在GCRS中的速度矢量；vEA2=‖vEA2‖；aEA2為t2時(shí)刻衛(wèi)星A在GCRS中的加速度矢量；Dsha為廣義相對(duì)論中Shapiro效應(yīng)引起的距離誤差。

對(duì)式(18)求導(dǎo)可得：

(19)

式中：nAB=DAB/DAB；vAB=vEB2-vEA2。

Shapiro效應(yīng)是激光受地球引力場(chǎng)的影響產(chǎn)生的距離誤差，可以表示為：

(20)

式中：G為萬有引力系數(shù)；mE為地球質(zhì)量；rEA2=‖rEA2‖；rEB2=‖rEB2‖。

對(duì)式(20)求導(dǎo)可得：

(21)

將式(21)代入式(19)得到距離變化率dRAB/cdt：

(22)

式(22)中前三項(xiàng)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起的幾何距離變化率，最后一項(xiàng)為廣義相對(duì)論中Shapiro效應(yīng)引起的距離變化率。

同理可得距離變化率dRBA/cdt為：

(23)

式中：DBA=rEA3-rEB3；nBA=DBA/DBA；DBA=‖DBA‖；rEB3為t3時(shí)刻衛(wèi)星B在GCRS中的位置矢量；rEB3=‖rEB3‖；rEA3為t3時(shí)刻衛(wèi)星A在GCRS中的位置矢量；rEA3=‖rEA3‖；vBA=vEA3-vEB3；vEB3為t3時(shí)刻衛(wèi)星B在GCRS中的速度矢量；vEB3=‖vEB3‖；vEA3為t3時(shí)刻衛(wèi)星A在GCRS中的速度矢量；vEA3=‖vEA3‖；aEB3為t3時(shí)刻衛(wèi)星B在GCRS中的加速度矢量。

dRAB/cdt3可由式(22)和式(23)聯(lián)合求解得到:

(24)

將式(22)代入式(9)可以得到衛(wèi)星單向激光相位比對(duì)模型的完整表達(dá)，將式(23)和式(24)代入式(16) 可以得到衛(wèi)星雙向激光相位比對(duì)模型的完整表達(dá)。

4 仿真分析

本章對(duì)相位比對(duì)模型中影響相位比對(duì)精度的因素進(jìn)行仿真分析。對(duì)軌道高度為10 000 km、20 000 km以及36 000 km星間距分別為300 km、3 000 km以及30 000 km的地球軌道衛(wèi)星進(jìn)行仿真分析，并在4.3節(jié)對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行討論。

4.1 單向激光相位比對(duì)仿真分析

攝動(dòng)軌道下，衛(wèi)星軌道方程為：

本文主要研究軌道攝動(dòng)引起的星間激光相位比對(duì)中的廣義相對(duì)論效應(yīng)誤差，式(9)中廣義相對(duì)論效應(yīng)誤差為第2項(xiàng)以及第3項(xiàng)中的Shapiro效應(yīng)，定義式(9)中的廣義相對(duì)論效應(yīng)誤差影響因素為：

σrel=σ1+σ2+σ3

σ1中引力勢(shì)考慮地球高階非球形攝動(dòng)中的J2項(xiàng)可滿足納米到皮米量級(jí)星間測(cè)距精度要求。

算例：衛(wèi)星軌道高度為10 000 km，星間距為3 000 km，仿真參數(shù)如表 1所示。

表1 仿真參數(shù)

表中：r0=16 371 km，v0=4.930 km/s。衛(wèi)星B與衛(wèi)星A軌道高度相同，與衛(wèi)星A之間的距離為3 000 km，可以得到兩衛(wèi)星與地心之間的夾角為θ=0.183 430 rad。衛(wèi)星B的初始位置為[r0cosθ-r0sinθ0]T，初始速度為[v0sinθv0cosθ0]T。仿真時(shí)間105s，仿真步長(zhǎng)10 ms，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 單向激光相位比對(duì)中影響因素曲線Fig.2 Influence factors curves of one-way laser phase comparison

對(duì)其他算例分別進(jìn)行仿真分析，仿真結(jié)果如表2所示。

表2 仿真結(jié)果匯總1

表中數(shù)值為105s仿真時(shí)間內(nèi)σ1、σ2、σ3以及σrel絕對(duì)值的極大值。

4.2 雙向激光相位比對(duì)仿真分析

雙向激光相位比對(duì)中軌道方程和單向激光相位比對(duì)相同，同理定義式(16)中的廣義相對(duì)論效應(yīng)誤差影響因素為：

σ3=β1+β2

σrel=σ1+σ2+σ3

算例：衛(wèi)星軌道高度為10 000 km，星間距為3 000 km，仿真時(shí)間105s，仿真步長(zhǎng)10 ms，仿真結(jié)果如圖 3所示。

對(duì)其他算例分別進(jìn)行仿真分析，仿真結(jié)果如表 3所示。

表3 仿真結(jié)果匯總2

表中數(shù)值為105s仿真時(shí)間內(nèi)σ1、σ2、σ3以及σrel絕對(duì)值的極大值。

4.3 結(jié)果討論

從表 2和表 3看出，雙向激光相位比對(duì)中σ1和σ2遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于單向激光相位比對(duì)，σ3為單向激光相位比對(duì)的2倍。

從表 2看出，對(duì)于衛(wèi)星單向激光相位比對(duì)，σ1和σ2隨軌道高度增高而增大；σ3和σrel隨軌道高度增高而減小。σ3和σrel隨星間距離增加而增大。當(dāng)θ≤π/2時(shí)，σ1和σ2隨星間距離增加而增大；當(dāng)θ>π/2時(shí)，σ1和σ2隨星間距離增加而減小。

軌道高度為10 000 km時(shí)，衛(wèi)星B初始加速度幅值隨夾角θ變化曲線如圖4所示。算例3中θ=2.315 303 rad，由圖4可知衛(wèi)星B與衛(wèi)星A之間的初始加速度幅值差小于算例2。因此，算例3中的σ1和σ2分別小于算例2中的σ1和σ2。

圖4 衛(wèi)星初始加速度幅值隨夾角θ變化曲線Fig.4 Initial satellite acceleration amplitude graph versus angle θ

從表3看出，對(duì)于衛(wèi)星雙向激光相位比對(duì)，σ1、σ2、σ3和σrel隨軌道高度增高而減小，隨星間距離增加而增大。

根據(jù)式(17)，由表 2計(jì)算得出，對(duì)于衛(wèi)星單向激光相位比對(duì)，σ1引起的最大測(cè)距誤差為算例9的184.38 nm，σ2引起的最大測(cè)距誤差為算例9的161.4 nm，σ3引起的最大測(cè)距誤差為算例3的3.03 μm，廣義相對(duì)論效應(yīng)σrel引起的最大測(cè)距誤差為算例3的3.096 μm。

由表2計(jì)算得出，對(duì)于衛(wèi)星單向激光相位比對(duì)，σ1引起的最小測(cè)距誤差為算例1的69.42 pm，σ2引起的最小測(cè)距誤差為算例1的71.31 pm，σ3引起的最小測(cè)距誤差為算例7的45.36 pm，廣義相對(duì)論效應(yīng)σrel引起的最小測(cè)距誤差為算例7的288.9 pm。

由表3計(jì)算得出，對(duì)于衛(wèi)星雙向激光相位比對(duì)，σ1引起的最大測(cè)距誤差為算例3的238.56 pm，σ2引起的最大測(cè)距誤差為算例3的238.56 pm，σ3引起的最大測(cè)距誤差為算例3的12.114 μm，廣義相對(duì)論效應(yīng)σrel項(xiàng)引起的最大測(cè)距誤差為算例3的12.114 μm。

由表 3計(jì)算得出，對(duì)于衛(wèi)星雙向激光相位比對(duì)，σ1引起的最小測(cè)距誤差為算例7的3.286 2 fm，σ2引起的最小測(cè)距誤差為算例7的3.579 6 fm，σ3引起的最小測(cè)距誤差為算例7的181.38 pm，廣義相對(duì)論效應(yīng)σrel引起的最小測(cè)距誤差為算例7的181.38 pm。

相比于星間單向激光相位比對(duì)，星間雙向激光相位比對(duì)減小了除Shpairo效應(yīng)外的廣義相對(duì)論效應(yīng)測(cè)距誤差(對(duì)應(yīng)σ1和σ2)。但是Shapiro效應(yīng)誤差項(xiàng) (σ3)放大了兩倍。當(dāng)星間距較小時(shí)(對(duì)應(yīng)本文星間距3 000 km)，基于雙向激光相位比對(duì)的星間皮米量級(jí)測(cè)距，可以忽略除Shpairo效應(yīng)外的廣義相對(duì)論效應(yīng)測(cè)距誤差。經(jīng)過對(duì)仿真結(jié)果計(jì)算發(fā)現(xiàn)，較低軌道時(shí)(軌道高度為10 000 km和20 000 km) 單向激光相位比對(duì)中軌道攝動(dòng)引起的廣義相對(duì)論效應(yīng)測(cè)距誤差小于雙向激光相位比對(duì)；較高軌道時(shí)(軌道高度為36 000 km) 單向激光相位比對(duì)中軌道攝動(dòng)引起的廣義相對(duì)論效應(yīng)測(cè)距誤差大于雙向激光相位比對(duì)。

5 結(jié)論

本文針對(duì)星間高精度測(cè)距的需求，開展地球主引力場(chǎng)衛(wèi)星間的相位比對(duì)研究。分別建立單向和雙向星間激光相位比對(duì)模型，并進(jìn)行仿真分析。不同軌道高度衛(wèi)星仿真結(jié)果表明，軌道攝動(dòng)引起的廣義相對(duì)論效應(yīng)測(cè)距誤差最小為百皮米量級(jí)，最大達(dá)到微米量級(jí)。利用相位比對(duì)進(jìn)行納米到皮米量級(jí)高精度測(cè)距時(shí)，必須考慮軌道攝動(dòng)引起的廣義相對(duì)論效應(yīng)測(cè)距誤差。星間距相同時(shí)，軌道高度越高，軌道攝動(dòng)引起的廣義相對(duì)論效應(yīng)測(cè)距誤差越??；軌道高度相同時(shí)，星間距越大，軌道攝動(dòng)引起的廣義相對(duì)論效應(yīng)測(cè)距誤差越大。本文工作為空間星間高精度星間測(cè)距提供理論支持，對(duì)于導(dǎo)航衛(wèi)星，納米到皮米量級(jí)的星間測(cè)距精度將大幅提高自主導(dǎo)航精度。