回路壓降沖激法的研究

焦運(yùn)良 ，鄭和芳 ，楊凱文 ，劉書萌 ，劉智國

(1.中電長城圣非凡信息系統(tǒng)有限公司，北京 102209；2.中國電子信息產(chǎn)業(yè)集團(tuán)有限公司第六研究所，北京 102209)

0 引言

在電子電路應(yīng)用場合，針對電路進(jìn)行科學(xué)合理分析，才可以明確電路實(shí)現(xiàn)的功能。常見的電路基本分析方法有疊加定理、戴維南定理、支路電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法、網(wǎng)孔電流法、回路電流法等[1-2]。疊加定理和戴維南定理適用于求解某一支路的電流或某段電路兩端電壓；節(jié)點(diǎn)電壓法適用于支路多、節(jié)點(diǎn)少的電路；回路電流法適用于線性電路等。按不同的電路方法列方程、解方程是電路分析的基本方法，同樣的電路，采用不同方法得到的方程不同，求解的復(fù)雜程度也就不一樣。為降低電路的分析復(fù)雜度和簡化電路方程的運(yùn)算過程，本文在回路電流法和線性疊加定理的基礎(chǔ)上，提出回路壓降沖激法，適用于線性網(wǎng)絡(luò)，可大大減少電路的分析復(fù)雜度和簡化運(yùn)算過程。

1 疊加定理

在線性電路中，所有獨(dú)立源共同作用產(chǎn)生的響應(yīng)(電壓或電流)，等于各個(gè)電源單獨(dú)產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加[3]。在運(yùn)用疊加定理時(shí)，需注意以下幾點(diǎn)[4]：

(1)在考慮單一電源單獨(dú)作用時(shí)，假設(shè)其他獨(dú)立電源為零值，即電壓源用短路替代，V=0；電流源開路，I=0；

(2)在考慮單一電源單獨(dú)作用時(shí)，其參考方向選擇與原電路中對應(yīng)響應(yīng)的參考方向相同，在疊加時(shí)用相應(yīng)的數(shù)值代入，分電壓和分電流的參考方向與其一致時(shí)取正號，不一致則取負(fù)號：

(3)疊加定理只能用于計(jì)算線性電路的電壓和電流，而不能計(jì)算功率等和電壓(或電流之間)無線性關(guān)系的參數(shù)。

以圖1 為例，利用疊加定理求解電路中的電流I。首先根據(jù)圖1(a)中的原電路，畫出其疊加定理的等效電路圖如圖1(b)和圖1(c)所示，兩個(gè)獨(dú)立電壓源作用疊加之后計(jì)算得出I 的電流值。

圖1 疊加定理

Us1電壓源單獨(dú)作用時(shí)：

Us2電壓源單獨(dú)作用時(shí)：

則求解得出原電路圖1(a)中的電流I：

從上述的求解過程中可以看出，疊加定理適合在一些簡單的線性電路中使用，求解過程也是較為簡單的。

2 回路電流法

回路電流法是以一組獨(dú)立的回路電流為電路變量，再根據(jù)電路定理列電壓方程的電路分析求解方法[5]。其中，在任意時(shí)刻，電路中各回路壓降之和為零。求解的步驟分為：選擇回路，確定回路的繞行方向；根據(jù)所選回路列寫電壓方程；解方程，求得所需的回路電流值[6]。

以圖2 為例，各電阻阻值及電源電壓已知，求電源U2中流過的電流I。

圖2 回路電流法

該電路網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可選BDF 為樹，則由它的3 個(gè)連支將其分成3 個(gè)回路[7]，如圖2 所示，依次為：L1(A-＞B-＞D-＞F-＞E-＞A)、L2(D-＞G-＞F-＞D)、L3(B-＞C-＞H-＞G-＞D-＞B)；設(shè)各回路假想電流分別為I1、I2、I3，方向均為順時(shí)針。根據(jù)回路電流法列方程組如下：

根據(jù)上面的方程組，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法便可以求解方程組，得出I 值。

從上述的求解過程可知，回路電流法需要建立的方程個(gè)數(shù)與回路網(wǎng)格數(shù)一致，方程個(gè)數(shù)較少，運(yùn)算量也不多，但是并不適合很復(fù)雜、網(wǎng)格數(shù)多的電路。

3 回路壓降沖激法

3.1 思想

根據(jù)上面對疊加定理和回路電流法的介紹與分析可知，利用回路電流法求I 時(shí)，需要解3 個(gè)獨(dú)立的方程，求解過程相對較為復(fù)雜[8]。在回路電流法的分析中，以獨(dú)立電源(包括假想的)作為關(guān)鍵變量，重點(diǎn)分析各獨(dú)立電源(簡稱獨(dú)立源)對回路產(chǎn)生的沖激壓降[9]。其核心思想也是根據(jù)基爾霍夫電壓定律來列電路的電壓方程，即電路網(wǎng)絡(luò)中任一回路壓降之和為零[10]。這也是本文介紹的回路壓降沖激法依據(jù)的電路原理之一。

而在線性疊加定理的分析中，回路的最終狀態(tài)是各個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用的疊加[11]。如果把待求的未知量(如前例的電流I)也看作一個(gè)獨(dú)立源(假想的獨(dú)立源)，根據(jù)各個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用電路，同樣可以求出I 的電流值。

綜合考慮上面兩者方法的特點(diǎn)，結(jié)合兩者的優(yōu)勢，提出一種回路壓降沖激法。在回路電流法電路分析中，某一回路中所假想的電流相當(dāng)于待求量，則該回路的獨(dú)立源相當(dāng)于內(nèi)獨(dú)立源，而對于其他回路電流相當(dāng)于外獨(dú)立源[12]。再根據(jù)內(nèi)外獨(dú)立源和待求量分別對電路產(chǎn)生的沖激壓降之和為零這一基本原則，列和解方程。因此利用此文提到的方法，只需求解各獨(dú)立源產(chǎn)生的沖激壓降，便可以求解得到待求量的值。對比單獨(dú)使用回路電流法，此方法明顯減少了回路網(wǎng)格數(shù)和運(yùn)算的方程數(shù)，簡化了電路的復(fù)雜度。

3.2 用回路壓降沖激法進(jìn)行電路分析

回路壓降沖激法的基本思想是根據(jù)電路中的獨(dú)立源及待求量設(shè)為關(guān)鍵變量，同時(shí)選定回路，依據(jù)三部分沖激壓降和為零，由單位待求量沖激壓降求出待求量[13]。

首先假設(shè)組成回路的三部分沖激壓降：內(nèi)獨(dú)立源壓降、外獨(dú)立源壓降和待求量壓降，分別為U內(nèi)、U外和U待，如果待求量壓降與回路方向相同時(shí)取正；內(nèi)獨(dú)立源壓降、外獨(dú)立源壓降與回路方向相同時(shí)取負(fù)，則有∑U待=∑U內(nèi)+∑U外。設(shè)單位待求量的沖激壓降為∑UI，則待求量X待=(∑U內(nèi)+∑U外)/∑UI。

因此，分析和求解過程如下(注：各變量求取時(shí)，除源后電路結(jié)構(gòu)不改變，各獨(dú)立源僅能通過回路外器件對回路產(chǎn)生沖激壓降。)：

(1)選定回路。選定的回路要含有待求量，方向可自定。根據(jù)回路的方向確定各獨(dú)立源的正負(fù)。

(2)待求量及回路內(nèi)獨(dú)立源除源(電壓源短路、電流源開路)，求外獨(dú)立源對回路的總沖激壓降∑U外。

(3)外獨(dú)立源及待求量除源，求內(nèi)獨(dú)立源對回路的總沖激壓降∑U內(nèi)。

(4)內(nèi)、外獨(dú)立源除源，求單位待求量對回路的沖激壓降∑UI。

按照上述過程，用回路壓降沖激法分析圖2 電路。電壓源U2中的電流I 為待求量，可選取L 回路，如圖3 所示，方向?yàn)轫槙r(shí)針。則內(nèi)獨(dú)立源為U1、U2，外獨(dú)立源為U3。

圖3 回路壓降沖激法

內(nèi)獨(dú)立源沖激壓降(待求量I、外獨(dú)立源U3除源)：內(nèi)獨(dú)立源U1、U2，不僅是回路的一部分壓降，而且還通過回路外元件R2、R4對本回路內(nèi)電阻R1、R3產(chǎn)生壓降。

首先求解內(nèi)獨(dú)立源自身壓降U內(nèi)。內(nèi)獨(dú)立源U1與回路方向相反，取正；U2方向相同，取負(fù)。所以U內(nèi)1=U1-U2。

對于U1，因?yàn)閮啥藳]有直接并聯(lián)任何回路外元件，所以對本回路內(nèi)電阻不會產(chǎn)生額外壓降；對于U2，兩端連接R4，所以R4中激勵(lì)電流為U2/R4。對待求量I 除源，即U2中電流為零，故R3中電流與R4相同，其方向與回路L 相同，取負(fù)，故R3上壓降為：

BF 兩點(diǎn)間電壓為：

由于U3除源，故在R2中激勵(lì)的電流為UBF/R2。R1中電流為R2、R3兩支路之和，方向與回路方向相同，取負(fù)，所以R1壓降為：

由A、B 得內(nèi)獨(dú)立源沖激壓降：

其次求解外獨(dú)立源沖激壓降(待求量I 及內(nèi)獨(dú)立源U1、U2除源)。U2除源使得R4中的電流為零，而待求量I又為零，所以R3中的電流為零，進(jìn)而UBF=0。U3通過R2對回路沖激的電流為U3/R2，直接流向R1，與該回路方向相反，故取正，R1上得到的壓降為(U3/R2)×R1。則外獨(dú)立源壓降∑U外=U3×(R1/R2)

最后求解待求量沖激壓降(外獨(dú)立源U3及內(nèi)獨(dú)立源U1、U2除源)。U2除源使得R4中電流為零(R4兩端電壓為零)，則R3中的電流為I，故UBF=I×R3。UBF在R2中產(chǎn)生的電流為UBF/R2，R1的電流為R2、R3之和，故其壓降為方向與回路相同，取正。因此，待求量壓降為：

單位待求量壓降(I 為1 時(shí)的壓降)為：

代入公式得待求量I 的值：

如上所述，利用回路壓降沖激法分析電路，避免了解方程組的麻煩，只需分析各獨(dú)立源分別對電路產(chǎn)生的沖擊壓降，再數(shù)學(xué)代入相應(yīng)的變量之中，最后只需一個(gè)方程便可以求解；對應(yīng)于回路電流分析方法，也減少了多個(gè)回路網(wǎng)格的列方程求解，簡化了運(yùn)算量，同時(shí)還加深對電路的工作本質(zhì)的理解。

3.3 電路分析方法對比

支路電流法是以基爾霍夫電流和電壓定律為基礎(chǔ)，各支路節(jié)點(diǎn)電流之和為零，各回路電壓之和為零，列方程求解所求量的電路分析方法[14]。求解步驟如下[15]：

(1)標(biāo)明電路的各支路的電流參考方向和電流；

(2)列出節(jié)點(diǎn)數(shù)N，支路數(shù)b；

(3)根據(jù)節(jié)點(diǎn)數(shù)列出N-1 個(gè)獨(dú)立的電流(電壓)方程；

(4)選取回路，規(guī)定繞行方向(盡量選取網(wǎng)孔回路)，利用基爾霍夫電壓定理列出[b-(N-1)]個(gè)獨(dú)立方程，每條支路上的電流參考方向與繞行方向一致為正，否則為負(fù)；

(5)聯(lián)立組成方程組并求解，得出各支路的電流值。

以支路電流法和回路壓降沖激法分別分析一個(gè)帶有反饋的放大電路為例，說明本文提到方法的特點(diǎn)。

電路原理圖如圖4 所示，已知各電阻的阻值及輸入電壓Us，求輸出電壓Uo。

圖4 電壓并聯(lián)反饋放大電路

利用支路電流求解時(shí)，其微變等效電路圖如圖5所示。

圖5 微變等效電路a

根據(jù)圖中所選取的回路L1、L2和L3，以及B、C、E、F各個(gè)節(jié)點(diǎn)，列出回路的電壓方程和節(jié)點(diǎn)的電流方程組如下。

聯(lián)立上述的7 個(gè)方程構(gòu)成方程組，便可以求解出各支路的電流，同時(shí)計(jì)算出輸出的電壓值Uo=Ro×Io。該過程相對復(fù)雜，方程的個(gè)數(shù)也是較多，計(jì)算起來并不簡單。因此只適合一些簡單的線性電路。

利用回路壓降沖激法時(shí)，微變等效電路圖如圖6 所示。選輸出電壓Uo為待求量，選定回路L1(A-＞B-＞C-＞D-＞E-＞A)，則內(nèi)獨(dú)立源為Us，無外獨(dú)立源，且方向與回路相反，故內(nèi)獨(dú)立源回路沖激壓降∑U內(nèi)=Us。待求量對回路的沖激壓降由待求量在回路電阻Rb、Rs上產(chǎn)生的壓降及待求量本身Uo組成。

圖6 微變等效電路b

電阻Ro中電流Io=Uo/Ro。Rb中的電流由Io、ic兩部分組成(節(jié)點(diǎn)C)，所以Rb上的電壓為Rb×(Io+ic)，即Rb×(Io+β×ib)。Rs中的電流由Rb中的電流與ib兩部分組成(節(jié)點(diǎn)B)，所以Rs上的電壓為Rs×[Io+(β+1)×ib]。分別計(jì)算外獨(dú)立源沖激壓降：∑U內(nèi)=0；內(nèi)獨(dú)立源沖激壓降：∑U內(nèi)=Us，最后求得待求量沖激壓降為：

式中含有未知量ib，求解ib。選L2(B-＞C-＞D-＞E-＞F-＞B)回路，ib為L2回路的待求量，Uo為內(nèi)獨(dú)立源，而Us為外獨(dú)立源。

待求量沖激壓降：Re中的電流為(β+1)×ib，內(nèi)獨(dú)立源Uo除源使得Rb中的電流為β×ib(節(jié)點(diǎn)C)，待求量與回路方向相反，取負(fù)，則：

將式(22)帶入式(21)中，得到：

單位待求量(Uo=1)對回路L1產(chǎn)生的沖激壓降為：

據(jù)此求出輸出電壓：

上述的求解過程相對容易，就是以內(nèi)外獨(dú)立源和待求量的壓降沖激之和為零的基本原則為準(zhǔn)，列出方程分別求解這三個(gè)電壓值，進(jìn)而得到輸出電壓值。因此，回路數(shù)更少，所列方程數(shù)相應(yīng)減少，運(yùn)算量也得到簡化，適合于復(fù)雜的線性電路分析。經(jīng)實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)可知，運(yùn)算量相比支路電流法減少20%。

4 結(jié)論

回路壓降沖激法是在疊加定理和回路電流法的基礎(chǔ)上，集合兩者的優(yōu)勢，簡化了電路的復(fù)雜程度，僅以各獨(dú)立源的回路壓降沖激為變量，就可以計(jì)算所求量。此方法的顯著特點(diǎn)是回路少，方程數(shù)簡化，使得運(yùn)算量也相應(yīng)減少，這在一些較為復(fù)雜的線性電路中可以得到很好的運(yùn)用，并且對于深入理解各元件間的相互作用及設(shè)計(jì)電路有很好的指導(dǎo)意義。