基于勒讓德多項式的MMC自適應反步控制策略

徐雷，夏向陽，敬華兵，劉奕玹，賀燁丹，易海淦

(1. 長沙理工大學 電氣與信息工程學院，湖南 長沙 410114；2. 株洲中車機電科技有限公司， 湖南 株洲 412005)

0 引言

模塊化多電平換流器（modular multilevel converter, MMC）作為新一代的電壓源型換流器因為其模塊化設計、拓展性強、有效冗余、最小化無源濾波器尺寸和諧波水平低等優(yōu)點[1-4]，近年來在新能源并網(wǎng)、STATCOM、高壓直流輸電、變速電機驅(qū)動器和儲能系統(tǒng)等領域中得到廣泛關注[5-10]。與常規(guī)電壓源型換流器不同，MMC系統(tǒng)中擁有眾多控制變量，動態(tài)方程中又表現(xiàn)出非線性的特征，常規(guī)使用的線性控制器沒有考慮橋臂電流、子模塊電容電壓等動態(tài)特性帶來的影響，這使得線性控制器無法兼顧穩(wěn)定性和響應速度之間的平衡，控制器參數(shù)難以整定[11-12]。

目前已有文獻采用不同方法針對MMC的非線性特征對系統(tǒng)所帶來的不利影響進行了相關研究。文獻[13-14]采用滑?？刂?，但該控制方法的顫振問題沒有得到解決，容易損壞電力電子器件。文獻[15-16]采用模型預測控制，該控制方法基于目標函數(shù)最優(yōu)的目標，避免了控制器參數(shù)整定，可實現(xiàn)對多個系統(tǒng)變量的控制，但需要精確的MMC模型。文獻[17-18]采用反饋線性化方法，使所得到的閉環(huán)系統(tǒng)成為線性化，但非線性抵消的問題無法解決。

反步控制法（back-stepping control,BSC）將Lyapunov函數(shù)的選擇與控制器的設計相結合，是一種具有不確定系統(tǒng)綜合方法的系統(tǒng)控制器，已在多領域應用[19-21]，可以提供出色的瞬態(tài)性能，以滿足系統(tǒng)對快速響應能力的要求。

反步控制法在電力電子換流器中的應用也是目前的研究重點。文獻[22]采用反步控制法在三相靜止坐標系下建立了空間動態(tài)模型，從而無需鎖相環(huán)，但在高度復雜的動態(tài)系統(tǒng)中效果不佳。文獻[23]針對升壓換流器建構了四階非線性狀態(tài)空間模型，采用反步控制方法用于內(nèi)環(huán)矯正功率因數(shù)，但控制目標具有局限性。文獻[24]采用自適應反步法對MMC進行控制，但該方法直接加入自適應變量進入反步控制系統(tǒng)，導致計算量過大，并且使用回路過多，難以實現(xiàn)。上述方法都沒有考慮系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的不確定性，由于信號大干擾、操作環(huán)境和溫度的變化等因素的影響，電路中的元件參數(shù)會產(chǎn)生不確定性的變化，而這些變化在工程應用中是要有所考慮的。加裝濾波電容、嵌入溫度平衡算法等方法的適用性是有限的，外接電容所帶來的電壓傳感器同樣會有噪聲干擾，額外的控制回路會增加整個系統(tǒng)的計算壓力, 并且無法完全修正變化參數(shù)。在非線性模型中，若不對動態(tài)模型進行補償修正，必然影響動態(tài)模型的準確性，從而影響系統(tǒng)的安全運行。

本文提出一種基于勒讓德多項式的MMC反步控制策略，可對輸出電流和子模塊電容電壓進行追蹤控制。另外，在MMC動態(tài)模型中引入勒讓德多項式來估計不確定性變化，補償由于參數(shù)變化所帶來的誤差。MMC系統(tǒng)的實驗結果也證明了所提控制策略的優(yōu)越性。

1 MMC拓撲結構及靜止坐標系下的動態(tài)模型

1.1 MMC系統(tǒng)拓撲結構

MMC的拓撲結構如圖1所示，其中，Vdc為直流側電壓；R0和Rt分別為橋臂等效電阻和交流側等效電阻；L0和Lt為橋臂等效電感和交流側等效電感；ipj和inj（j=a,b,c）分別為j相的上橋臂和下橋臂電流；upj和unj分別為j相的上橋臂和下橋臂電壓；ij為交流側輸出相電流；uj為交流側輸出相電壓。在正常情況下，子模塊的輸出電壓為0或者電容電壓，這取決于IGBT的工作狀態(tài)。

圖1 MMC拓撲結構Fig. 1 Topologic structure of MMC

1.2 MMC靜止坐標系下的動態(tài)模型

由式（10）可知，橋臂輸入能量對時間的導數(shù)中存在橋臂電流ip_n（j），橋臂電流可作為橋臂輸入能量的調(diào)控參數(shù)，進而橋臂輸入能量、橋臂電流和橋臂電容電壓之和作為狀態(tài)變量構成一個反步控制系統(tǒng)，其結構原理如圖2所示。

圖2 反步控制系統(tǒng)原理Fig. 2 Schematic diagram of back-stepping control system

2 基于勒讓德多項式的自適應反步法控制器設計

首先，根據(jù)狀態(tài)變量和誤差函數(shù)建立Lyapunov函數(shù)組，由Lyapunov穩(wěn)定性定理求得正常工況下的控制率輸出。然后，針對系統(tǒng)參數(shù)變化，在狀態(tài)變量中加入自適應變量，并引入勒讓德多項式進行逼近跟蹤，求得更新后的控制率輸出。最后，通過Barbalat引理驗證控制器效果。

2.1 設計步驟1

2.2 設計步驟2

圖3 勒讓德多項式前5項示意Fig. 3 Schematic diagram of the first 5 terms of Legendre polynomial

圖4 本文所提控制策略的總控制框圖Fig. 4 The overall control block diagram of the proposed control strategy

3 仿真測試與實驗驗證

通過PSCAD仿真軟件搭建三相MMC仿真模型，對本文所提出的新型穩(wěn)定控制策略的有效性進行驗證，并與PI控制器進行對比分析。仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Simulation system parameters

3.1 負載突變下暫態(tài)性能測試

當系統(tǒng)工況發(fā)生改變或者系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生故障時會對MMC內(nèi)部參數(shù)產(chǎn)生影響，該擾動可以體現(xiàn)在負載參數(shù)發(fā)生變化上，這使得實際負載的參數(shù)會偏移理論值，導致動態(tài)模型精準性下降，影響系統(tǒng)的暫態(tài)性能和控制能力。設置直流電壓為0.4 kV，0.5 s時有功負載突變，圖5給出了有功負載突變情況下2種控制方法的對比仿真結果。

圖5 有功階躍時2種控制方法的對比仿真結果Fig. 5 Comparative simulation results of two control methods during active power step

對比圖5a)、b)可以發(fā)現(xiàn)，2種方法的輸出電流和輸出電壓值都能維持三相電流電壓對稱且被控制在合理范圍內(nèi)，但本文所提控制中的輸出電流在0.5 s后擁有更小的過沖值。由圖5c)可以看出本文所提控制中的橋臂環(huán)流幅值更小，被良好抑制在限定區(qū)域內(nèi)；而PI控制器控制的循環(huán)電流幅值較大，高頻次分量較多。由圖5d)可以發(fā)現(xiàn)，以0.5 s為基準，自適應反步控制下達到穩(wěn)定峰值的時間為t1=0.019 32；PI控制下達到穩(wěn)定峰值的時間為t2=0.037 30，這說明本文所提控制器的控制精準度更高，暫態(tài)性能更好。

通過圖5e)可以說明，2種方法都能抑制電容電壓之和的改變，但本文所提控制器的誤差相對更小。PI控制器在應對非線性特征明顯的MMC系統(tǒng)時，穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)誤差較大，而本文所提出的控制策略利用勒讓德多項式的無模型化的逼近特性和自適應反步法的穩(wěn)定性，有效降低了瞬態(tài)誤差，在面對有功負載突變的情況下具有更好的控制能力。

類似的，設置直流電壓為0.4 kV，0.5 s時無功負載突變。無功負載突變情況下2種控制方法的對比仿真結果如圖6所示。當無功功率發(fā)生階躍變化時，采用本文所提控制方法得到的輸出電流過沖仍小于PI控制方法下輸出電流過沖；并且循環(huán)電流的控制效果也優(yōu)于PI控制方法。自適應反步控制法的無功功率階躍峰值時間為t3=0.013 85，PI控制下的無功功率階躍峰值時間為t4=0.031 97；自適應反步控制的電容電壓誤差小于PI控制下的電容電壓誤差。圖6的結論與圖5的結論類似，進一步驗證了基于勒讓德多項式的自適應反步控制的顯著優(yōu)越性。

圖6 無功階躍時兩種控制方法的對比仿真結果Fig. 6 Comparative simulation results of two control methods during reactive power step

為驗證勒讓德多項式的逼近效果，設用于估計自適應變量勒讓德系數(shù)初始值為0，自適應學習率y為0.08，勒讓德系數(shù)估計值如圖7所示。觀察圖7可以發(fā)現(xiàn)，在0.5 s時負載突變，估計值全部趨于穩(wěn)定且最后收斂于某一常數(shù)，實現(xiàn)了對不確定誤差的逼近。

圖7 勒讓德系數(shù)估計值Fig. 7 Legendre coefficient estimate

3.2 魯棒性能測試

當MMC系統(tǒng)橋臂內(nèi)部的電路參數(shù)發(fā)生變化時，探究自適應反步控制器在不同橋臂電路參數(shù)運行條件下的魯棒性能。假設系統(tǒng)在0.5 s時發(fā)生負載突變，其輸出電流波形如圖5a）所示，現(xiàn)在給定橋臂電阻和橋臂電感的取值范圍0.05≤R0≤0.15（Ω）,1≤L0≤4（mH），圖8和圖9給出了橋臂不同參數(shù)下輸出電流的變化趨勢。

圖8 橋臂不同參數(shù)下輸出電流峰值變化趨勢Fig. 8 Change trend of output current peak value under different parameters of bridge arm

圖9 橋臂不同參數(shù)下的輸出電流曲線Fig. 9 Output current curve under different parameters of bridge arm

根據(jù)圖8可知，在給出的參數(shù)浮動范圍內(nèi)，輸出電流的最大變化率控制在2.34%，其變化曲面較為平緩，對MMC輸出電流的影響較小。由圖9可知，在2種極端情況的MMC參數(shù)下，對0.5 s負載突變后的輸出電流產(chǎn)生了微弱的影響，其改變?nèi)栽诳煽胤秶鷥?nèi)。由上述結果可以說明，本文所提出的控制方法對控制目標的跟蹤能力優(yōu)越，即使是在內(nèi)部參數(shù)改變的情況下，依舊能控制暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)誤差在合理范圍內(nèi)，抵御電路參數(shù)改變所帶來的負面影響，保證優(yōu)越的控制性能。

3.3 實驗驗證

實驗樣機外觀如圖10所示，實驗平臺主電路參數(shù)如表2所示。實驗結果如圖11所示。

表2 實驗系統(tǒng)參數(shù)Table 2 Experimental system parameters

圖10 實驗樣機照片F(xiàn)ig. 10 Experimental prototype photos

圖11 負載突變下的實驗結果Fig. 11 Experimental results under load mutation

圖11中，ib為b相的輸出電流；idiffj（j=a,b,c）分別為a、b、c三相橋臂環(huán)流；idc（b）為橋臂電流直流分量；vCu（b）為b相橋臂電容電壓之和。由圖11可知，本文所提控制策略能有效控制負載突變情況下的輸出電流過沖，使其穩(wěn)定在合理范圍內(nèi)。由三相環(huán)流的實驗波形可以確認，基于勒讓德多項式的反步控制器能顯著控制負載突變下的環(huán)流幅值，環(huán)流幅值有效降低26%，并且滿足10%的可控最大閾值。本文所提控制策略能有效消除橋臂電流中直流分量的脈動，降低負載變化情況下對系統(tǒng)功率傳輸?shù)挠绊憽?/p>

在圖11d)中，t1時刻前，系統(tǒng)處于正常運行狀態(tài)；t1時刻后，負載突變，采用傳統(tǒng)控制方法；t2時刻后，改用新型穩(wěn)定控制方法。由圖11d)可以看出，本文所提控制策略與傳統(tǒng)控制策略都能將橋臂電容電壓和穩(wěn)定在合理范圍內(nèi)，但本文所提的穩(wěn)定控制策略無論是在穩(wěn)態(tài)還是暫態(tài)下都能擁有更小的誤差值。由上述實驗結果可以驗證所提出的基于勒讓德多項式的MMC自適應反步穩(wěn)定控制策略的可行性和理論分析的有效性。

4 結論

（1）通過對MMC的動態(tài)模型進行分析，探尋了控制量之間的動態(tài)關系，構造誤差函數(shù)和虛擬控制輸入，補償因負載參數(shù)突變情況下引起的誤差。采用自適應反步控制的方法，選取狀態(tài)變量進行跟蹤，在達到對MMC控制量精準控制的同時，提高了整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性，降低了穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)的誤差，仿真和實驗結果驗證了方法的可行性。

（2）引入勒讓德多項式來逼近參數(shù)突變帶來的不確定性誤差，由于其無模型化的優(yōu)勢，勒讓德多項式可以在誤差任意小的情況下近似非線性函數(shù)，且只需調(diào)節(jié)少量幾個勒讓德系數(shù)，就可以保證控制器運行的效率，大大減少了不確定誤差下的系統(tǒng)計算壓力和模型的復雜程度。

（3）對所提方法的魯棒性能進行了驗證，在給出的橋臂參數(shù)浮動范圍內(nèi)，所得到的輸出電流幅值最大變化率控制在2.34%，該控制方法能夠在系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)浮動的情況下，保證對輸出電流的穩(wěn)定控制，抵御電路參數(shù)改變帶來的負面影響，擁有較強的魯棒性能。