下凡的精靈：投影向量*
——對(duì)投影向量的教學(xué)建議

?廣州市番禺區(qū)石北中學(xué) 廣東省吳和貴名教師工作室 姜寶松

1 問題的產(chǎn)生

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》實(shí)施后，2019年人教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修·第二冊(cè)》(后簡(jiǎn)稱“新教材”)中出現(xiàn)了概念“投影向量”，取消了舊教材中“向量的投影”這一概念.有教師在講授這一知識(shí)時(shí)誤認(rèn)為還是舊的概念，還有教師發(fā)現(xiàn)投影向量，只是在證明數(shù)量積的分配律時(shí)使用過，后面就如曇花一現(xiàn)般消失不見，不理解教材中為什么引入投影向量.

2 概念辨別

舊教材中向量的投影是一個(gè)數(shù)量，利用這個(gè)數(shù)量來解釋向量的數(shù)量積.有教師因?yàn)榕f教材的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，先入為主地認(rèn)為投影向量也是個(gè)數(shù)量，從而造成概念混淆.

圖1

3 投影向量的數(shù)學(xué)本質(zhì)及其作用

3.1 勾股定理

圖2

3.2 點(diǎn)到直線的距離(向量推導(dǎo))

設(shè)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)Q(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0,求點(diǎn)Q到直線l的距離d.

圖3

推導(dǎo)：如圖3,在直線l上任取點(diǎn)P(x1,y1)，則有Ax1+By1+C=0.

3.3 點(diǎn)到平面的距離公式

圖4

同理，也可用投影向量得出兩異面直線間距離公式.

以上距離公式的推導(dǎo)過程，可以總結(jié)為：點(diǎn)到平面的距離，即是向量(點(diǎn)和平面內(nèi)的任意一點(diǎn)形成)在平面法向量上的投影向量的模；點(diǎn)到直線的距離亦是如此.這一過程體現(xiàn)了投影向量在降維中的作用，投影向量就像是高維空間降到低維子空間的精靈，聯(lián)結(jié)起高維空間與低維子空間，舞動(dòng)穿插于諸多數(shù)學(xué)知識(shí)中.

4 投影向量的教學(xué)建議

新教材中，在數(shù)量積的定義之后，給出了投影和投影向量的概念，并用較大篇幅探討明了投影向量的計(jì)算方法.教材至此對(duì)投影向量停止介紹，之后僅在數(shù)量積的分配律時(shí)使用過投影向量，在后續(xù)教材中不見蹤跡.這也是部分教師對(duì)投影向量地位認(rèn)識(shí)不足，對(duì)教材中投影向量感到突兀的原因.結(jié)合上述投影向量的本質(zhì)和作用，給出如下教學(xué)建議.

4.1 投影向量計(jì)算方法的改進(jìn)

還可利用向量的代數(shù)特性，進(jìn)一步推導(dǎo)出投影向量計(jì)算方法的另一種形式：

即投影向量的計(jì)算方法有兩中形式：

形式(1)體現(xiàn)出投影向量運(yùn)算的幾何特征，形式(2)體現(xiàn)出投影向量的代數(shù)運(yùn)算特征.由形式(2)還可以推導(dǎo)投影向量的模，推導(dǎo)如下：

圖5

例1、例2均為教材中的原題，借助幾何直觀，利用形式(1)可迅速求解.

例3、例4以及2019年人教版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第89頁(yè)第15題，用形式(2)容易解決.

4.2 利用投影向量解釋數(shù)量積

下面為幾何解釋，如圖6所示：

圖6

圖7

圖8

例5、例6均可利用投影向量巧妙解答.用投影向量解釋數(shù)量積，在常用數(shù)量積計(jì)算方法上進(jìn)行了補(bǔ)充，有助于學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的提升，也能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解向量運(yùn)算.

5 結(jié)束語(yǔ)

向量是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，投影向量則把高維空間和低維子空間進(jìn)行了聯(lián)結(jié)，像是高維空間“下凡”到低維空間的數(shù)學(xué)精靈.筆者認(rèn)為，教師在講授新課時(shí)若能增加課時(shí)補(bǔ)充這一內(nèi)容，或是新教材中補(bǔ)充用投影向量來解釋數(shù)量積運(yùn)算的內(nèi)容，可以更深入揭示向量數(shù)量積的運(yùn)算本質(zhì)，讓投影向量的作用體現(xiàn)得更加靈動(dòng).