精選典型例題 構(gòu)建知識體系 深化思想方法*
——以高三復習課“立體幾何點、直線、平面位置關(guān)系綜合”為例

?江蘇省錫山高級中學 劉燁燁

1 引言

高三數(shù)學復習課不僅要幫助學生全面回顧知識，而且能夠?qū)⒘闵⒌闹R整合起來，構(gòu)建知識網(wǎng)絡，使知識系統(tǒng)化、條理化；加強學生多元、多層面地運用知識并能適當?shù)剡w移，從而提升數(shù)學核心素養(yǎng).高三復習課對教師的選題、講題及總結(jié)等能力都提出了較高的要求.

本節(jié)課以“立體幾何點、直線、平面面位置關(guān)系綜合”為例，談談如何在精選例題的基礎(chǔ)上，幫助學生建構(gòu)知識體系，提升解決問題的能力.

2 精選例題,突出核心

一輪復習是學生查漏補缺的時機，更是教師了解學生學習情況的重要環(huán)節(jié).數(shù)學復習課定位要準確，教師要掌握學生的薄弱環(huán)節(jié)，精選例題，加強知識板塊的綜合應用，提高一輪復習效果.以下列立體幾何綜合題為例進行分析.

圖1

(1)求證：AE∥平面BDG;

(2)若平面BDG∩平面ADH=m，求直線m與平面BCG所成角的正弦值.

學生比較熟悉以柱、錐為載體的立體幾何問題，對以棱臺為知識背景的題型會比較生疏.本題以棱臺為載體，研究棱臺中的線面關(guān)系，圖形新穎.第(1)小題考查線面關(guān)系，需要學生掌握棱臺的結(jié)構(gòu)特征以及平面平行的性質(zhì)定理及直線與平面平行的判定定理，蘊含著豐富的信息.第(2)小題考查線面角，以兩面交線為解決問題的突破口，方法靈活，思維要求較高，為不同層次的學生提供了想象空間和思考平臺.

圖2

圖3

法2：把直線m轉(zhuǎn)化為直線GO或直線AE.因為AE∥平面BDG,AE?平面ADH,平面ADH∩平面BDG=m，所以AE∥m.又OG∥AE，所以OG∥m.題意即可轉(zhuǎn)化為求直線OG與平面BCG所成角的正弦值.

圖4

3 挖掘價值，構(gòu)建體系

高三復習課要避免以題講題的形式，教師要以例題作為載體，揭示數(shù)學本質(zhì)，貫通學生的知識主線，提高學生分析問題、解決問題的能力.立體幾何著重考查點、直線、平面位置的判斷與證明.例1第(1)小題運用了兩個平面平行的性質(zhì)定理證明線線平行.第(2)小題交線m在圖形中找不到，法1使用向量法把立體幾何的證明與計算都轉(zhuǎn)化為向量的計算問題，計算交線m方向向量的坐標，使復雜問題簡單化；法2運用直線與平面平行的性質(zhì)定理找到與交線m平行的直線；法3運用平面的性質(zhì)找到交線m.雖然綜合法對理性思維要求較高，但它能很好地鍛煉學生的邏輯思維能力與空間想象能力.本題第(2)問層層深入，由易到難，從不同角度解決平面交線問題.教師帶領(lǐng)學生構(gòu)建解決問題的知識結(jié)構(gòu)，從方法上啟發(fā)和引導學生思考問題，有效提升學生直觀想象、邏輯推理及數(shù)學運算等素養(yǎng).幫助學生回顧反思立體幾何的知識結(jié)構(gòu)(如圖5)，歸納總結(jié)常見的思想方法.

圖5

4 注重轉(zhuǎn)化，形成品質(zhì)

立體幾何在線面位置關(guān)系的證明中，始終體現(xiàn)在線線、線面、面面的平行或垂直之間的轉(zhuǎn)換,體現(xiàn)了對學生直觀想象與邏輯推理素養(yǎng)的考查.轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿立體幾何的始終，樹立空間向平面轉(zhuǎn)化，平面中點與點、線與線的轉(zhuǎn)化思想，簡化問題，幫助學生形成解決問題的良好品質(zhì).

例2如圖6，一個正四面體和一個正四棱錐的所有棱長都相等，將正四面體的一個面和正四棱錐的一個側(cè)面緊貼重合在一起，得到一個新的幾何體，對于該新幾何體，則正確的結(jié)論有( ).

A.AF∥CD

B.AF⊥DE

C.新幾何體有7個面

D.新幾何體的六個頂點不能在同一個球面上

圖6

圖7

解：如圖7，作BC的中點G，DE的中點H,連接FG,AG,GH，AH.由所有的棱長都相等，可知BC⊥FG,BC⊥AG,BC⊥GH.則BC⊥平面AFG,BC⊥平面AGH,且平面AFG,AGH有公共點G，而經(jīng)過一點與已知直線垂直的平面有且僅有一個，所以四點A,F,G,H共面.又由AF=HG,FG=AH,則四邊形AFGH是平行四邊形.所以AF∥GH.又GH∥CD，所以AF∥CD,即A,F,C,D共面.所以新幾何體是一個斜三棱柱，沒有外接球.故選答案：ABD.

點評：突破新幾何體中線面關(guān)系的核心是證明A,F,C,D四點共面.將A,F,C,D四點的關(guān)系轉(zhuǎn)化為A,F,G,H四點的關(guān)系,這對學生的轉(zhuǎn)化能力提出了比較高的要求.

(1)求證：CD⊥平面PAD；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

圖8

圖9

解析：(1)因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.

又因為AD⊥CD，且PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD.

(2)如圖9，過A作AD的垂線交BC于點M.因為PA⊥平面ABCD，且AM，AD?平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD.

建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(2，-1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).因為E為PD的中點，所以E(0，1，1).

圖10

(3)法1：如圖10，取PG的中點M,PA的中點H,連接MH.因為易證GA∥MH,MH∥FE,所以GA∥FE,且點A在平面AEF內(nèi)，所以AG在平面AEF內(nèi).

點評：本題以四棱錐為背景考查線面關(guān)系，圖形并不復雜，線面關(guān)系比較容易證得.第(3)小題要利用空間向量解決探索性問題，判斷直線在平面內(nèi)的方法很多.法1使用常見的平行線確定平面并利用公共點的特征證明直線在平面內(nèi)；法2用平面向量基本定理證明線在面內(nèi)，為學生提供了再次回顧基本概念的機會；法3利用直線的方向向量與平面法向量的關(guān)系證明線面平行，又因為直線與平面有公共點A，所以證明了直線在平面內(nèi).

例4(2021年新高考Ⅰ卷·20)如圖11，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD,O為BD的中點.證明：(1)OA⊥CD;(2) 若OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.

圖11

圖12

解析：(1)在△ABD中，因為AB=AD，O為BD的中點，所以AO⊥BD.又因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO在平面ABD內(nèi)，所以AO⊥平面BCD,又CD?平面BCD，所以AO⊥CD.

(2)如圖12，過點E作EG⊥BD于點G,GM⊥BC于點M,連接EM.因為AO⊥平面BCD,EG∥AO,所以EG⊥平面BCD.

又△OCD是邊長為1的等邊三角形，則OD=OB=OC=1，所以∠BCD=90°,即DC⊥BC.所以GM∥CD.又BC⊥EM,BC⊥GM,所以∠EMG是二面角E-BC-D的平面角，即∠EMG=45°.

點評：新高考數(shù)學Ⅰ卷第20題，題型比較常規(guī)，綜合法比空間向量法更有優(yōu)勢，計算方便，重點考查學生的運算求解能力和邏輯推理能力，緊扣考試大綱，重視基本定義和定理的考查.教師在教學時要突出通性、通法，強化數(shù)學運算，挖掘知識間的內(nèi)在聯(lián)系，淡化套路式解題模式，發(fā)展學生數(shù)學思維.

5 復習建議

5.1 立足教材，回歸本質(zhì)

高中數(shù)學是有機而統(tǒng)一的整體課程，教師要充分理解數(shù)學課程的基本理念、目標定位和內(nèi)容架構(gòu).在復習課中，教師要幫助學生梳理教材中的公理、定理與性質(zhì)，抓住數(shù)學本質(zhì)，能熟練掌握立體幾何中線線、線面、面面相關(guān)知識的轉(zhuǎn)化.教師要引導學生注重概念的學習，對教材題型要適當?shù)刈冃?、拓展，提高學生解決問題的靈活度.

5.2 精選精講，形成體系

專題復習對教師的備課要求較高，教師要充分了解學生的學習情況，少重復學生已熟練掌握的知識點，多重視薄弱環(huán)節(jié)及知識交匯處,突出重點，突破難點.通過對例題的精選、精講、精練，幫助學生歸納知識體系，形成知識網(wǎng)絡，幫助學生在解決具體問題的過程中積累與總結(jié)經(jīng)驗，感悟數(shù)學思想，提升解決問題的能力.

5.3 優(yōu)選方法，提升素養(yǎng)

專題復習中針對題型要突出解題方法，由“一題一解”拓展到“一題多解”或“多題一解”.特別是一題多解的情況下要追求最優(yōu)法.解決問題后要有方法歸納、知識總結(jié)和思想滲透，通過對典例的分析和解決問題的過程，充分挖掘題型蘊含的思維價值.立體幾何教學中除了公式、定理的應用外，還要注重對學生的空間感、轉(zhuǎn)化思想、幾何直觀及運算能力的培養(yǎng)，從而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).