落實“五育并舉” 注重理性思維突出綜合素養(yǎng)*
——2022年高考數(shù)學全國乙卷試題評析

?合肥市第四中學 鄭 良

2022年高考，全國乙卷被河南、安徽、江西、山西、陜西、吉林、黑龍江、寧夏、甘肅、青海、新疆、內蒙古等省區(qū)采用，是今年高考使用范圍最為廣泛的一份試卷.考試后部分學生反映“老師講的(內容)試卷沒考，試卷考的(內容)老師沒講”，試卷總體難度較大，學生無法適應；部分教師反饋復習備考做了大量的無用功，不知道以后如何教.以上省區(qū)中的多數(shù)2023年高考仍將采用老高考模式(由于使用了新教材，考試內容會作適當?shù)恼{整，如刪除選考題等).筆者以2022年高考數(shù)學全國乙卷(以下簡稱全國乙卷)為例，窺探高考命題趨勢，為師生的教與學提供參考.

1 整體特點

2022年全國乙卷的使用省區(qū)與2021年相同，地域較廣，考慮到學生水平的差異，試卷穩(wěn)中求變，變中求新，即總體結構不變，局部稍作調整[1].

1.1 文理同題數(shù)量增多，為文理合卷吹響號角

為保持文科試卷的難度平穩(wěn)，增強理科試卷的區(qū)分功能，同時為文理合卷做足鋪墊，2022年全國乙卷文理科相同試題的比例提高了，只是在文理科試卷中題序位置可能有所不同.文理同題(括號前為理科試題題號，括號內為文科試題題號，下同)有第5(6)，6(7)，7(9)，8(10)，9(12)，13(14)，14(15)，19(19)，20(21)，22(22)，23(23)題等.局部相同的試題有理科第17題第1問與文科第17題第2問，理科第18題第1問與文科第18題第1問.姊妹題有第1(1)，2(2)，3(3)，12(16)，21(20)題等.它們考查的知識點相近，形式略有不同，解題思路方法相同，難度略有差異.

1.2 解法多樣，甄別學生思維的層次性

基礎題理科有第1，2，3，4，5，6，13，14，17，18題等，文科有第1，2，3，4，5，6，7，13，14，15，17，18題等，均考查學生的基礎知識.這些試題起點低、入口寬，思維能力決定著解題的效率.如理科第4題解法1可通過特殊數(shù)列{an}(如an=1)排除選項；解法2以選項為標準，對各個選項中兩項進行差異分析；解法3從{bn}的結構出發(fā)，探究{bn}的基本性質：b2k-1>b2k，b2k-1>b2k+1，b2k

1.3 注重理性思維，強調解題規(guī)范

學習即生活，我們要在學習中提升思維能力，養(yǎng)成良好的生活習慣.如，第9(12)題如何實現(xiàn)四棱錐體積最大？可先保持頂點O到底面ABCD的距離h不變，需要四邊形ABCD的面積最大，只有當四邊形ABCD為正方形時才能滿足，此時才能構建四棱錐O-ABCD的體積關于某自變量的函數(shù)，而自變量是選ABCD的邊長a還是四棱錐的高h？后續(xù)求最值的繁簡程度不同.又如第17題理科第1問(文科第2問)的背景是正弦的平方差公式sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β，但二級結論不宜直接用于解答題的解答或證明，而應對其先行證明或直接用正弦定理和余弦定理規(guī)范解答.

1.4 落實五育并舉，加強數(shù)學運算

高考的核心功能是立德樹人、服務選才、引導教學，構建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系是新時代教育和高考的重要任務[2].全國乙卷理科第4題以嫦娥二號衛(wèi)星成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造衛(wèi)星為背景，有利于激發(fā)學生的愛國熱情，強化德育教育；又如第13(14)題為社區(qū)服務問題，考查學生對基本知識的掌握程度及運用所學知識解決問題的能力，試題的情境具有時代性，體現(xiàn)志愿精神，具有積極的教育意義.每個試題均體現(xiàn)理性思維，考查學生的智育.理科第10題以棋類比賽為背景，可以激發(fā)學生參加體育運動的興趣.理科第4，9，23題滲透著結構形式的對稱美.第19(19)題以社會關注的環(huán)境治理為背景，依托“綠水青山就是金山銀山”的理念，將社會生產(chǎn)勞動實踐情境與數(shù)學基本概念有機結合，發(fā)揮高考在培養(yǎng)勞動觀念中的引導作用.近年來，學生的運算能力一直有下降的趨勢.“得運算者得高考”，全國乙卷2022年比2021年運算量大、綜合性強，如文理科的第20，21題等.

2 試題分析

2.1 強化題意理解，遵循命題意圖

解(證)題就是信息輸入—處理—輸出的過程，即通過審題攝入有效信息，然后對信息進行加工處理，最后將結果規(guī)范地表達出來.因此，準確理解題意是正確解題的前提.審題時要通讀全題，然后對關鍵信息進行精讀，弄清問題的結構與邏輯.

例1(理科第16題)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點.若x1

.

分析：“x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)的極小值點和極大值點.”與“函數(shù)f(x)的極小值點和極大值點分別為x=x1和x=x2”一般意義不同，前者極小(大)值點未必唯一，而后者極小(大)值點一定唯一.問題等價于f′(x1)=f′(x2)=0，且f′(x)在x=x1處“左負右正”，在x=x2處“左正右負”.解法1，先求y=lna·ax與函數(shù)y=ex相切的臨界值，再結合y=lna·ax的圖象與a的關系求解；解法2，先判斷函數(shù)f(x)的單調性，再確定函數(shù)f(x)的極值點，邏輯推理更嚴謹.

2.2 嘗試一題多解，倡導優(yōu)解妙法

對于相同數(shù)學對象，由于解題者的學習經(jīng)驗積累不同，因此審題時切入點不同，選擇的方法也不盡相同.我們要揭示出問題的本質，然后對各種方法進行綜合衡量，選擇出優(yōu)解妙法.

2.3 挖掘對象特征，明晰解題方向

解題時要對研究對象的特征與性質進行深入挖掘，進而確定解題方向.在解題過程中可能會出現(xiàn)思路受阻的情況，這時要具體問題具體分析，結合實際情況進行調整或優(yōu)化.

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

2.4 模型引領方向，注重理性精神

模型是通過主觀意識借助實體或者虛擬表現(xiàn)，構成客觀闡述形態(tài)結構的一種表達目的的物件[2].只有深入理解數(shù)學模型，解題時才不致于張冠李戴.

圖1

例4(理科第18題)如圖1，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點.

(1)證明：平面BED⊥平面ACD；

(2)設AB=BD=2，∠ACB=60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.

2.5 突出問題邏輯 重視恒等變形

推理是數(shù)學的“命根子”，運算是數(shù)學的“童子功”.要想解決問題必須抓住問題的結構與邏輯.學生若對問題的結構特征熟視無睹，則難以找到解題的思路；學生若不明晰問題的邏輯，必將導致漏洞百出.解題離不開恒等變形，某一步變形若不恒等，一般要對其查缺補漏.

例5(理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe-x.

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍.

2.6 強化數(shù)學運算，重視數(shù)據(jù)分析

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析是針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養(yǎng)[3].因此，運算方向的準確性與方法的合理性至關重要.

(1)求E的方程；

分析：求定點、定值問題常見的方法有兩種.①從特殊情況入手求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.第(2)問為圓錐曲線的非對稱問題，可通過兩種特殊情況下的直線MN(如直線MN的斜率不存在與直線MN過橢圓E的上頂點)確定直線HN過定點(0,-2).背景為射影幾何中的“極點與極線”，即點P(1,-2)對應的極線為直線AB，則AP，AB，AM，AN為調和線束.過點M作MH∥AP交AB,AN于點T，H,由調和性質可知T為MH的中點.極點極線是圓錐曲線的一個基本特征，自然成為命題者命題的背景知識和方向.若學生掌握了極點極線的相關知識，就可以從“高觀點”看待高中圓錐曲線的相關內容，更容易抓住問題的本質.

3 幾點思考

3.1 研讀課程標準與教材，落實“四基”“四能”

3.2 深化模型理解，提高運算能力

理科第21題第2問是關于含參數(shù)等式恰成立問題，常用解法有函數(shù)最值法、分離參數(shù)法、圖象法、必要性條件法等.解法1對參數(shù)a進行分類與整合，利用零點定理求解，與解法2、解法3本質相同均為數(shù)形結合思想方法的運用.如何提高運算能力，需要學生平時多積累必要的知識和解題經(jīng)驗，更重要的是切實經(jīng)歷數(shù)學運算的完整過程.

3.3 堅持全面育人，落實提質減負

2020年10月，中共中央、國務院印發(fā)的《深化新時代教育評價改革總體方案》提出，構建引導學生德智體美勞全面發(fā)展的考試內容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和“機械刷題”現(xiàn)象.高考試題在命制時充分考慮到學生能力的個體差異，絕大多數(shù)試題的解題方法、方式不是唯一的，而是多種多樣.基礎好、能力強的考生可以通過深入的思考找到簡捷的途徑，快速解決問題，而基礎一般、能力中等的考生運用基本的方法也能解決問題，只是作答比較繁瑣、用時較多[4].減輕中小學生不合理的學業(yè)負擔，長期以來備受學校、家長和社會關注.教育要遵循教育規(guī)律，科學提升精準教學的效率，讓學生更好地發(fā)展.

愛因斯坦曾在《培養(yǎng)獨立思考的教育》一文中表達過：“負擔過重，必導致膚淺.”一方面試題越來越靈活，另一方面教學要求增質減負.如何解決這看似不可調和的矛盾？這就需要教師把準方向，在“理解數(shù)學、理解學生、理解教學、理解技術”基礎上進行精準教學.學之道在于悟，教之道在于度.造成現(xiàn)在學生負擔較重的一個重要原因是課堂上的二級結論過多.何為二級結論？筆者認為二級結論是針對考試而衍生的名詞，其相對于一級結論而言，不同知識儲備的人對二級結論的認定也不相同.我們常常把教材中的公理、定義、定理、基本公式作為一級結論，而二級結論就是由這些一級結論得到的結論，它們一般是有利于考試的一些經(jīng)驗性結論.二級結論好比是建在兩座高山山腰之間的棧道，從一座山峰到另一座山的高峰，無需先到山腳下再進行攀登，而是從山腰的這個棧道快捷地到達，它是“智者”經(jīng)常涉足的一條省時省力的捷徑.隨著學科的發(fā)展和人們認知水平的普遍提高，以前的二級結論可能會升級為一級結論，又挖掘出更新的二級結論(三級結論、四級結論……，由于級別區(qū)分的界限模糊，可將其統(tǒng)稱為二級結論)，導致二級結論數(shù)目眾多，適用范圍越來越窄(對某些條件更具針對性)，技巧性越來越強.學生掌握二級結論的好處是：直接運用于客觀題，明確解答題的結論與方向然后再進行規(guī)范的表達.教師講授二級結論的反饋：(1)學生對教材的理解與使用不到位，不同于教材的結論往往更能引發(fā)學生的興趣，補充二級結論的教師往往能獲得多數(shù)學生的認同、依賴甚至崇拜；(2)能夠掌握二級結論的學生解題效率更高；(3)對資優(yōu)生錦上添花，使他們視野更開闊，理解得以深化，認知水平得以提高，興趣得以提升；(4)囿于教師水平和教學時間，只有結果而無過程的結論加大學生知識識記的容量，但沒有真正理解只會讓學生的數(shù)學學習雪上加霜.事實上，學生死記硬背的結論在考試中也難以將其應用，只要掌握好一級結論并總結積累數(shù)學活動經(jīng)驗，就會自然而然地發(fā)現(xiàn)并理解常用的二級結論.近年來，高考客觀題使用二級結論的試題逐漸減少，解答題的解題方向也更明晰，能夠直接套用二級的試題越來越少.高考表面在反套路與反押題，實質是淘汰那些淺嘗輒止只想走捷徑的學生.理科第20題的背景是否需要在課堂上講授？筆者認為完全沒有必要，即使教師講了，學生也未必能聽得懂、分得清、用得上，只會讓絕大多數(shù)學生具有挫敗感.為了避免學生“吃不飽”，可對具有強烈數(shù)學興趣的學生給予個別指導.讓不同的學生學習不同的數(shù)學，讓不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.

3.4 提高試題質量 實現(xiàn)教—學—考一致性

客觀題能考查學生視角的獨特性與思維的靈活性，但也存在少數(shù)學生“碰巧”的可能，無法體現(xiàn)學生的思維過程.如部分學生解答第9(12)時出現(xiàn)了“不妨設四棱錐的底面是正方形”，用特殊代替一般，認知理解錯誤但答案正確.試卷容量較大，學生臨場去想，沒有足夠的時間與精力去做更多可能會做的題，學生更期待在平時將題型練熟.因此，筆者建議試卷可以參考新高考試卷減少單選題、增加多選題(多選題比單選題難度增大，對學生知識精度的要求更高，更能客觀地反映學生的真實水平)，減少試題數(shù)量(或者增加數(shù)學考試時間).高考是教與學的風向標與指揮棒.實現(xiàn)教—學—考的一致性是我們要努力的方向與目標.當前師生更多聚焦解題的性價比，教與學中對學生長遠發(fā)展的關注度遠遠低于高考可能取得的分數(shù).如，部分師生放棄通過努力就能夠解決的問題，轉而對常規(guī)問題進行專項強化等.因此，筆者建議命題可加大開放度，評卷賦分(在一定規(guī)則指導下)增加靈活度，實現(xiàn)客觀性與主觀性的統(tǒng)一，讓學生優(yōu)秀的想法或解法在分數(shù)上有所體現(xiàn).如理科第18題第(2)問解法1與解法2對點C在平面ABD上的投影“設而不求”，思維含量不高，而解法3需要確定點C在平面ABD上的投影的位置，對學生的思維和推理能力要求較高，出錯的可能性更大，理應獲得更多的收益.