• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    基于直線積分邊界元法的溫度應(yīng)力研究

    2022-04-16 10:48:06劉彪高宇李通盛程勇剛王橋周偉
    人民長江 2022年3期
    關(guān)鍵詞:積分法元法邊界

    劉彪 高宇 李通盛 程勇剛 王橋 周偉

    摘要: 邊界元法作為一種半解析解的數(shù)值計算方法,除了在同自由度下能夠獲得相對更高的精度以外,更為突出的優(yōu)點(diǎn)是降維,只需要對研究域的邊界進(jìn)行離散。但是在進(jìn)行溫度應(yīng)力問題求解時,積分方程中會出現(xiàn)域積分。為了保證邊界元法降維的優(yōu)點(diǎn),基于散度定理提出將直線積分法的域積分轉(zhuǎn)化為邊界積分。邊界積分可以用帶積分點(diǎn)的邊界單元來計算。每個積分點(diǎn)可以構(gòu)造一條積分線,由積分線上的線積分計算域積分。同時為了獲得更高的精度,可以利用背景單元網(wǎng)格將積分線切割成更多的子線進(jìn)行計算。最后通過一個矩形梁的熱彈性分析和一個重力壩的溫度應(yīng)力分析驗(yàn)證了所提方法的有效性和精度。

    關(guān) 鍵 詞: 直線積分邊界元法; 降維; 域積分; 熱應(yīng)力

    中圖法分類號: ?TV311

    文獻(xiàn)標(biāo)志碼: ?A

    DOI: 10.16232/j.cnki.1001-4179.2022.03.027

    ?? 0 引 言

    對于混凝土結(jié)構(gòu)而言,無論是施工期還是運(yùn)行期,溫度應(yīng)力自始至終是一個關(guān)鍵的影響因素? [1-4] ,如若處理不當(dāng),極有可能產(chǎn)生溫度裂縫,進(jìn)而影響大壩結(jié)構(gòu)安全,因此進(jìn)行混凝土壩內(nèi)部的溫度應(yīng)力模擬分析是極為必要的。當(dāng)前,有限元法(FEM)是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)值方法,也是進(jìn)行壩體力學(xué)分析的主流計算手段。而相較于有限元法,邊界元法具有模型重建容易、只需要對邊界進(jìn)行離散化計算等優(yōu)點(diǎn)? [5-8] 。

    但是當(dāng)考慮溫度應(yīng)力時,在邊界方程中會出現(xiàn)域積分,進(jìn)而使得邊界元法失去了只需離散計算邊界的優(yōu)點(diǎn)。為此,許多學(xué)者開展了研究。最為直接的方法是利用直接域積分法? [9] ,直接對研究域進(jìn)行單元劃分,但是邊界元法因此失去了只要對邊界進(jìn)行離散計算的優(yōu)點(diǎn)。因而找出能保留邊界元法優(yōu)點(diǎn)的計算方法成為了研究的重點(diǎn)。比如雙互易法(Dual Reciprocity Method,DRM)? [10-12] :在DRM中,非齊次項(xiàng)可以用一系列函數(shù)進(jìn)行逼近擬合,比如徑向基函數(shù)(Radial Basic Function,RBF),然后利用第二互易將域積分轉(zhuǎn)換為邊界積分,只需要邊界上和域內(nèi)點(diǎn)的信息即可進(jìn)行計算。但是該方法的精度較大程度上取決于域內(nèi)點(diǎn)的位置和分布以及用來擬合逼近非齊次項(xiàng)的函數(shù)的種類。另外還有多互易法(Multiple Reciprocity Method,MRM)? [13] ,該方法多次應(yīng)用互易定理到一系列高階基本解上,進(jìn)而將域積分轉(zhuǎn)化為邊界積分。除此之外,特殊解法(Particular Solution Method,PSM)也是一種有效的計算方法,通過構(gòu)造特殊解來擬合逼近。此外,高效偉教授提出了一種新的計算方法:徑向積分法(Radial Integration Method,RIM),該方法可以對徑向積分法中的徑向積分進(jìn)行直接計算或者和徑向基函數(shù)耦合進(jìn)行計算。

    本文采用了一種新的直線積分法(Line Integration Method,LIM)處理域積分? [14-15] 。直線積分法基于散度定理將域積分轉(zhuǎn)化為包含一維線積分的邊界積分,只需要對邊界進(jìn)行離散,首先通過邊界單元和八叉樹構(gòu)建積分線,然后對一維積分線的結(jié)果進(jìn)行求和即可得到最終結(jié)果。

    1 考慮溫度應(yīng)力的邊界積分方程結(jié)合前人研究,可知控制方程為

    λ+μ u? j,ji +μu? i,jj - λ 1+v? ν βθ? ,i? ?y? =0 i,j=1,2; y ∈ Ω? ?(1)

    式中:Ω為研究域,其邊界為Γ; μ和λ為拉梅常數(shù);ν代表泊松比;θ代表溫度場;β 為熱膨脹系數(shù)。

    1.1 位移積分方程

    結(jié)合貝蒂互易定理,通過推導(dǎo)可以得到正則化的位移積分方程? [16] :

    c? ij? ?x? u i? x? = ∫? Γ U? ij? ?x , y? t j? y? ?d? Γ? ?y? -??

    ∫? Γ T? ij? ?x , y? u j? y? ?d? Γ? ?y? -

    ∫? Ω U? ij,j? ?x , y?? λ 1+v? v βθ? y? ?d? Ω? ?y?? (2)

    式中: U? ij? ?x , y? 和T? ij? ?x , y? ?為開爾文基本解,具體表達(dá)為

    U? ij? ?x , y? = 1 2A 1μr? h-1? ?A 2δ? ij? ?h-2 ?ln? ?1 r? +h-1 +r? ,i r? ,j?? T? ij? ?x , y? = -1 A 1r h {r? ,k n k[A 3δ? ij +3r? ,i r? ,j ]-A 3 r? ,i n j-r? ,j n i???? (3)

    以及

    A 1=4 π h 1-ν ?A 2=3-4ν A 3=1-2ν i,j=1,2 h=1?? (4)

    式中:? x = x? x 1,x 2 和 y=y y 1,y 2 分別為源點(diǎn)和場點(diǎn);r 為2點(diǎn)之間的距離。

    r? ,i = ?r ?x i? (5)

    式(5)代表 r對x i 求導(dǎo)得到的導(dǎo)數(shù),以及kronecker符號 δ? ij? 為

    δ? ij =? 1,i=j 0,i≠j?? (6)

    此外,

    U? ij,j? ?x , y? = ??-1 ???h+1 A 3r? ,i? A 1μr h? (7)

    式(2)可以整理為以下形式:

    c? ij? ?x? u i? x? =∫? Γ U? ij? ?x , y? t j? y? ?d? Γ? ?y? -

    ∫? Γ T? ij? ?x , y? u j? y? ?d? Γ ??y? -∫? Ω? Φ? i? x , y? βθ? y? ?d? Ω? ?y?? (8)

    其中,

    c? ij? ?x? =?? 1 2 δ? ij ,邊界點(diǎn) δ? ij , 域內(nèi)點(diǎn)? ??(9)

    Φ? i? x , y? = -2 1+ν r? ,i? A 1r h? (10)

    顯而易見,式(8)中出現(xiàn)了一個域積分:

    D 1=∫? Ω Φ i? x , y? βθ? y? ?d? Ω? ?y? ??(11)

    1.2 內(nèi)部應(yīng)力積分方程

    結(jié)合高效偉教授編著的《高等邊界元法》,可得內(nèi)部應(yīng)力積分方程:

    σ? ij? ?x? =βθ? y? ∫? Γ r? ,m n m ln? r r ?Ψ?? ij? ?x , y? ?d? Γ? ?y? +

    ∫? Ω βθ ?y? ?Ψ?? ij? ?x , y? ?d? Ω? ?y? -∫? Ω βθ ?y? ?Ψ?? ij? ?x , y? ?d? Ω? ?y? +

    ∫? Γ U? ijk? ?x , y? t k? y? ?d? Γ -∫? Γ? Τ?? ijk? ?x , y? u k? y? ?d? Γ -δ? ij bβθ? y?? (12)

    其中,

    Ψ?? ij? ?x , y? = -4μ 1+ν? δ? ij - h+1 r? ,i r? ,j? ?A 1r? h+1? ?(13)

    b= μ h+2? 1+ν? 3 1-ν?? (14)

    U? ijk? ?x , y? =? 1 A 1r h? A 3 δ? ki r? ,j +δ? kj r? ,i -δ? ij r? ,k? + ????h+1 r? ,i r? ,j r? ,k? ?(15)

    T? ijk? ?x , y? = 2μ A 1r? h+1? ??h+1 r? ,m n m A 3δ? ij r? ,k +? ??v δ? ik r? ,j -δ? jk r? ,i? - h+3 r? ,i r? ,j r? ,k? + A 3? h+1 n kr? ,i r? ,j +n jδ? ik +n iδ? jk? + ν h+1? n ir? ,j r? ,k +n jr? ,i r? ,k? -? A 2-2 n kδ? ij? ?(16)

    而當(dāng) x ∈Γ時,邊界面力方程為

    c? ij? ?x? ??t ??j? x? =c? ij? ?x? σ? ij? ?x? n j? x?? (17)

    同樣可以觀察出,式(12)中出現(xiàn)兩項(xiàng)域積分

    D 2=∫? Ω βθ ?y? ?Ψ?? ij? ?x , y? ?d? Ω? ?y?? (18)

    D 3=∫? Ω βθ ?x? ?Ψ?? ij? ?x , y? ?d? Ω? ?y?? (19)

    2 直線積分邊界元法

    2.1 基礎(chǔ)理論

    本節(jié)首先介紹退到直線積分法的一些基本定理,詳細(xì)的論證過程參見文獻(xiàn)[15]。

    理論1:假設(shè)研究域? Ω 為一個有界平面區(qū)域,具有 Lipschitz 邊界 Γ 。令 Ω? = Ω ∪ Γ ,假設(shè)f? y? 為定義在緊實(shí)的研究域 Ω? 上的連續(xù)函數(shù),定義矩形域B為包含域 ?Ω? 的一個研究域,函數(shù)g? y? 為f? y? 在域B上的延續(xù),并且在域B/ Ω? 內(nèi)幾乎處處連續(xù)且有界。對于任意點(diǎn) y? y 1,y 2 ∈ Ω? ,定義函數(shù)F? y? ?為

    F? y? y 1,y 2? = ∫?? y 1? ag? t? t,y 2? ?d t (20)

    其中,? y? y 1,y 2 ∈ Ω? ,a=y y 1,y 2 為有限函數(shù), t t,y 2 ?為域B 內(nèi)的點(diǎn),并且設(shè)

    F?? y? =F? y? ??e ??1, y? y 1,y 2 ∈ Ω? ?(21)

    式中:? F?? y? 為對于y 1∈ Ω? 是連續(xù)可微的,? e ??1是笛卡爾坐標(biāo)系中的單位基向量且? e ??1= 1,0 ?,并且

    d? F ( y ) ?d y 1 =f( y )? e ???l?SymbolQC@· F ( y )=f( y )??? y ∈ Ω? ?(22)

    理論2:假設(shè)研究域? Ω 為一個有界平面區(qū)域,具有 Lipschitz 邊界 Γ 。令 Ω? = Ω ∪ Γ ,假設(shè)f? y? 為定義在緊實(shí)的研究域 Ω? 上的連續(xù)函數(shù),定義矩形域B為包含域 Ω? 的一個研究域,函數(shù)g? y? 為f? y? 在域B上的延續(xù),并且在域B/ Ω? 內(nèi)幾乎處處連續(xù)且有界。對于任意點(diǎn)y y 1,y 2 ∈ Ω?? ,可得

    F? y? y 1,y 2? = ∫?? y 1? ag? t? t,y 2? ?d t (23)

    其中,? y? y 1,y 2 ∈ Ω? ,a=y y 1,y 2 且為有限函數(shù),? t? t,y 2 ?為域B 內(nèi)的點(diǎn)。

    進(jìn)而可以得到

    ∫? Ω f( y ) d? Ω ( y )=∮? Γ F( y )n 1( y ) d? Γ ( y ) (24)

    式中: n 1為邊界 Γ 上的法向矢向量 n 在y 1 方向上的分量。

    理論3: 假設(shè)研究域 Ω 為一個有界平面區(qū)域,具有 Lipschitz 邊界 Γ 。令 Ω? = Ω ∪ Γ ,假設(shè)f y 為定義在緊實(shí)的研究域 Ω? 上的連續(xù)函數(shù),定義矩形域B為包含域 ?Ω? 的一個研究域,函數(shù)g y 為f y 在域B上的延續(xù),并且在域B/ Ω? 內(nèi)幾乎處處連續(xù)且有界。函數(shù) k? x , y? ?為以域B內(nèi)點(diǎn) x 為中心的弱奇異核函數(shù),對于任意點(diǎn)y y 1,y 2 ∈ Ω?? ,可得

    F? x , y? y 1,y 2? = ∫?? y 1? ag? t? t,y 2? k? x , t? t,y 2? ?d t (25)

    其中? y? y 1,y 2 ∈ Ω? ,a=y y 1,y 2 且為有限函數(shù), t? t,y 2 為域B 內(nèi)的點(diǎn)。

    進(jìn)而可以得到

    ∫? Ω f( y )k( x , y ) d? Ω ( y )=∮? Γ F( x , y )n 1( y ) d? Γ ( y ) (26)

    式中: n 1為邊界 Γ 上的法向矢向量 n 在y 1 方向上的分量。

    2.2 直線積分法

    利用理論3,可以將域積分轉(zhuǎn)換為邊界積分。簡單起見,將所有的積分起始點(diǎn)定在邊界同一個平面上? y 1=c ,也就是說,a y 2 =c,c 可為任意常數(shù)值。當(dāng)將邊界離散化為 N 個單元時,式(26)則轉(zhuǎn)化為

    ∫? Ω f( y )k( x , y ) d? Ω ( y )=? N ?i=1? ∫?? Γ? i F( x , y )n 1( y ) d? Γ? i( y )? (27)

    其中,? Γ? i為第i 個邊界單元,并且有

    F? x , y? y 1,y 2? = ∫?? y 1? cg? t? t,y 2? k? x , t? t,y 2? ?d t? (28)

    通過高斯積分法即可計算每個單元上的積分,但是在式(26)中仍然存在弱奇異積分。并且事實(shí)上,式(26)中的積分仍為由邊界單元和平面? y 1=c ?構(gòu)成的區(qū)域的域積分。此時積分可以分為兩種:常規(guī)積分和弱奇異積分。一般而言,對于單元 E ,產(chǎn)生弱奇異積分是因?yàn)榉e分點(diǎn)處在由該單元構(gòu)成的積分域,因而積分線和單元 E 會出現(xiàn)一個交點(diǎn),即為弱奇異積分的積分點(diǎn),該弱奇異積分可以通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方法消除。這樣式(26)中的域積分可表達(dá)為

    ∫? Ω f( y )k( x , y ) d? Ω ( y )=? M ?i=1? F i? x , y ?i n i 1? y ?i w i? (29)

    以及

    F i? x , y ?i y i 1,y i 2? = ∫?? y? i? 1? cg? t? t,y i 2? k? x , t? t,y i 2? ?d t? (30)

    式中:?? y ??i y i 1,y i 2 為第i個邊界積分點(diǎn),M為積分點(diǎn)的總個數(shù),w i和n i 1為第i個積分點(diǎn)的權(quán)重和在y 1 方向上的單位法向量。通過將每個單元內(nèi)積分點(diǎn)產(chǎn)生的直線上的一維線積分相加即可得到域積分的結(jié)果。

    為了提高式(29)的計算效率,本文進(jìn)一步采用了背景網(wǎng)格將積分線劃分為子線段,式(29)則可寫為

    ∫? Ω f( y )k( x , y ) d? Ω ( y )=? M ?i=1? n i 1( y )w i∫? L i g( y )k( x , y ) d y 1 (31)

    式中: M為子積分線段集的總數(shù),L i為第i個子積分線,w i和n i 1為第i個子積分線段L i的權(quán)重和在y 1 方向上的單位法向量。

    采用背景網(wǎng)格的具體方式為,構(gòu)造一個能夠包含研究域的最小正方形,保證所有邊界節(jié)點(diǎn)和積分線包含于該正方形,定義該最小正方形為0級根網(wǎng)格,然后利用四叉樹將根網(wǎng)格劃分為四個等大小的子網(wǎng)格,定義為1級背景網(wǎng)格。按這種方式繼續(xù)劃分下去,從 L級網(wǎng)格得到L+1的背景網(wǎng)格,當(dāng)?shù)趎 級子背景網(wǎng)格包含的積分線的數(shù)量不大于預(yù)設(shè)的數(shù)量時,即可停止劃分。對于未能包含于一個子網(wǎng)格的積分線進(jìn)行分段,保證所有積分線僅存在于一個子網(wǎng)格中,最后,刪除不包含單元節(jié)點(diǎn)和積分線的子網(wǎng)格。沒有下一級子網(wǎng)格的背景網(wǎng)格稱為葉子。這些由四叉樹構(gòu)造的葉子即可對子積分線進(jìn)行積分計算。

    2.3 直線積分邊界元法

    直線積分邊界元法為直線積分法和邊界元法的結(jié)合,相較于傳統(tǒng)的邊界元法,在面對域積分時,仍能夠保持降維的優(yōu)點(diǎn)。本文邊界積分方程中出現(xiàn)的域積分式(11),(18)和式(19)可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為以下形式:

    D 1 =∫? Ω? Φ? i? x , y? βθ? y? ?d? Ω? ?y?????? ??=? M ?i=0 ?n i 1( y )w i∫? L i? Φ? i? x , y? βθ? y? ?d y 1 (32)

    D 2 =∫? Ω? Ψ?? ij? ?x , y? βθ? y? ?d? Ω? ?y???????? ??=? M ?i=0? n i 1( y )w iJac i∫? L i? Ψ?? ij? ?x , y? βθ? y? ?d y 1 (33)

    D 3 =∫? Ω? Ψ?? ij? ?x , y? βθ? x? ?d? Ω? ?y???????? ??=? M ?i=0? n i 1( y )w i∫? L i? Ψ?? ij? ?x , y? βθ? x? ?d y 1 (34)

    顯然,本文出現(xiàn)的域積分在直線積分邊界元法的轉(zhuǎn)化下,都變成了包含一維線積分的邊界積分。

    3 數(shù)值驗(yàn)證

    為了驗(yàn)證直線積分邊界元法的有效性和精度,本文采用兩個例子進(jìn)行驗(yàn)證。第一個例子為一個承受溫度應(yīng)力的矩形梁,并已知其解析解,進(jìn)而可以驗(yàn)證本文所采用方法的精度。第二個例子為一個混凝土重力壩,計算結(jié)果將與有限元法模擬結(jié)果進(jìn)行對比,以驗(yàn)證本方法在考慮溫度應(yīng)力的大壩靜力分析中的有效性。

    3.1 矩形梁的熱彈性分析計算

    如圖1所示,該矩形梁的長度 L 為5,寬度 W 為3,彈性模量 E 為12 000 MPa,泊松比 ν 為0.25,熱膨脹系數(shù) k 為0.000 015 K? -1 。三邊鉸支,一邊自由,溫度場呈二次函數(shù)分布,具體表達(dá)式為

    θ y =s 2y 2+s 1y+s 0 (35)

    式中: s 0=0,s 1=-50,s 2=50 。

    相應(yīng)的位移和應(yīng)力的解析解為

    u y(y)= 1+v 1-v k? 1 3 s 2 y 3+ ( W 2 )? 3 +

    1 2 s 1 y 2- ( W 2 )? 2 +s 0 y+ W 2???? (36)

    σ? xx =- E 1-v kθ (37)

    本算例中將梁的邊界離散為僅80個單元,并將利用直線積分邊界元法進(jìn)行計算得到的結(jié)果與解析解進(jìn)行對比。選取了直線 x =0上的9個內(nèi)部點(diǎn)作為對比,具體結(jié)果分別列于表1和表2。結(jié)合圖2和圖3,可見數(shù)值解與解析解高度吻合,進(jìn)而證明了直線積分邊界元法的有效性和高精度。

    進(jìn)一步地,為了驗(yàn)證直線積分邊界元法的精確性以及收斂性,現(xiàn)在將梁模型的邊界分別劃分為8,12,20,28,40,80,160,320個單元,并且利用以下公式計算樣本點(diǎn)的相對誤差

    R=? ??N ?i=1??? u e i-u n i ??2 / ??N ?i=1 ???u e i ??2?? (38)

    式中: u e i和u n i分別代表解析解和數(shù)值結(jié)果,N 代表邊界離散單元個數(shù)。

    具體計算結(jié)果如表3所列。顯然,隨著邊界離散單元個數(shù)的增加,相對誤差逐漸減小,并且在單元數(shù)僅為8,相對誤差就達(dá)到了0.96%,足以見本文方法的精度之高。

    3.2 受溫度荷載的大壩模型

    重力壩模型具體幾何尺寸如圖4所示。泊松比為0.3,彈性模量為35 000 MPa,熱膨脹系數(shù)為 0.000 015 K? -1 ,大壩底部為完全約束,其余邊界自由。并且假設(shè)壩體承受65 ℃的高溫沖擊。

    為了驗(yàn)證本文方法的正確性,在該數(shù)值模型的結(jié)果對比中,選取了在直線 x =3上的21個內(nèi)部點(diǎn),采用有限元模型與直線積分邊界元法計算結(jié)果進(jìn)行對比,如圖5所示。計算所得的應(yīng)力值 s? xx? 與有限元計算方法高度相符,證明了本文方法的正確性。

    4 結(jié) 論

    邊界元法的主要優(yōu)勢是可以將研究問題降低一維,并且已經(jīng)成功地應(yīng)用于靜力學(xué)分析。本文的主要研究內(nèi)容是利用邊界元法進(jìn)行熱應(yīng)力問題數(shù)值分析。但是由于考慮了溫度對應(yīng)力場的影響,在熱應(yīng)力的邊界積分方程中出現(xiàn)了域積分項(xiàng),為此本文提出采用一種新的直線積分邊界元法。該方法將直線積分法和邊界元法相結(jié)合,能夠?qū)⒂蚍e分轉(zhuǎn)化為包含一維積分的邊界積分,進(jìn)而延續(xù)了邊界元法只需對邊界進(jìn)行離散的優(yōu)勢。為了驗(yàn)證本文方法的正確性,首先利用一個有解析解的梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了驗(yàn)證對比,驗(yàn)證了本文方法的高度精確性。此外,本文還將其運(yùn)用到大壩結(jié)果的熱應(yīng)力分析當(dāng)中去,通過與有限元法的對比,進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的可行性。

    參考文獻(xiàn):

    [1]? ISHIKAWA ?M.Thermal stress analysis of a concrete dam[J].Computers&Structures,1991,40:347-352.

    [2] NOORZAEI J,BAYAGOOB K H,THANOON W A,et al.Thermal and stress analysis of Kinta RCC dam[J].Engineering Structures,2006,28:1795-1802.

    [3] 肖漢江,李祖民.考慮自生體積變形計算混凝土的溫度應(yīng)力[J].人民長江,1998,29(2):4-6.

    [4] 張銳,周偉,唐濤.構(gòu)皮灘混凝土高拱壩全過程溫度應(yīng)力仿真分析[J].人民長江,2008,39(15):74-77.

    [5] WANG ?Q,ZHOU W,CHENG Y,et al.A NURBS-enhanced improved interpolating boundary element-free method for 2D potential problems and accelerated by fast multipole method[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,2019,98:126-136.

    [6] ZHOU ?W,LIU B,WANG Q,et al.Formulations of displacement discontinuity method for crack problems based on boundary element method[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,2020,115:86-95.

    [7] ZHOU W,LIU B,WANG Q,et al.NURBS-enhanced boundary element method based on independent geometry and field approximation for 2D potential problems[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,2017,83:158-166.

    [8] 陳亮亮,李建華,王建祥.直接邊界元法在無限深透水地基滲流中的應(yīng)用[J].人民長江,2010,41(1):35-37.

    [9] DAVEY K,ALONSO RASGADD M T.Integration over simplexes for accurate domain and boundary integral evaluation in boundary element methods[J].Computers & Structures,2004,82(2):193-211.

    [10]? CHEN C S,BREBBIA C A,POWER H.Dual reciprocity method using compactly supported radial basis functions[J].Communications in Numerical Methods in Engineering,2015,15:137-150.

    [11] PARTRIDGE P W,BREBBIA C A.Computer implementation of the BEM dual reciprocity method for the solution of general field equations[J].International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering,2010,6:83-92.

    [12] ZHU S,SATRAVAHA P,LU X.Solving linear diffusion equations with the dual reciprocity method in Laplace space[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,1994,13:1-10.

    [13] NOWAK A J,BREBBIA C A.The multiple reciprocity method.A new approach for transforming BEM domain integrals to the boundary[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,1989,6:164-167.

    [14] WANG Q,ZHOU W,CHENG Y,et al.A line integration method for the treatment of 3D domain integrals and accelerated by the fast multipole method in the BEM[J].Computational Mechanics,2016,59:611-624.

    [15] WANG Q,ZHOU W,CHENG Y,et al.Line integration method for treatment of domain integrals in 3D boundary element method for potential and elasticity problems[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,2017,75:1-11.

    [16] GAO X,ZHENG B,YANG K,et al.Radial integration BEM for dynamic coupled thermoelastic analysis under thermal shock loading[J].Computers & Structures,2015,158:140-147.

    (編輯:鄭 毅)

    Thermal stress analysis based on line integration boundary element method

    LIU Biao 1,GAO Yu 2,LI Tongsheng 2,WANG Qiao 1,ZHOU Wei 1

    ( 1.School of Water Resources and Hydropower Engineering,Wuhan University,Wuhan 430072,China; 2.Datang Xuanwei Hydropower Development Co.,Ltd.,Qujing 655400,China )

    Abstract:

    As a semi-analytical method,boundary element method (BEM) has the advantage of dimension reduction,which means this method only need to disperse the boundary for the research field.However,when it comes to solving the thermo-elastic problems,the domain integral will appear in the boundary integral equations.In order to ensure the advantage of BEM,the line integration method (LIM) is used to transform the domain integral into the boundary integral based on the divergence theorem.The boundary integral can be calculated by the boundary element with integral points.An integral line can be constructed for each integral point,and the domain integral can be calculated by the line integral on the integral line.In order to obtain higher accuracy,the integral line can be cut into sub-lines by using the background cell.This method feasibility and accuracy is proved by a thermal-elastic analysis of a rectangular beam and thermal stress analysis of a gravity dam.

    Key words:

    line integration boundary element method;dimension reduction;domain integrals;thermal stress

    猜你喜歡
    積分法元法邊界
    拓展閱讀的邊界
    換元法在解題中的運(yùn)用
    基于離散元法的礦石對溜槽沖擊力的模擬研究
    論中立的幫助行為之可罰邊界
    巧用第一類換元法求解不定積分
    換元法在解題中的應(yīng)用
    “微元法”在含電容器電路中的應(yīng)用
    隨機(jī)結(jié)構(gòu)地震激勵下的可靠度Gauss-legendre積分法
    “偽翻譯”:“翻譯”之邊界行走者
    基于積分法的軸對稱拉深成形凸緣區(qū)應(yīng)力、應(yīng)變數(shù)值解
    18禁黄网站禁片午夜丰满| 亚洲成人免费电影在线观看| 制服诱惑二区| 亚洲欧美色中文字幕在线| 国产激情久久老熟女| 国产成人影院久久av| 精品一品国产午夜福利视频| 久久久久久久精品精品| a级毛片在线看网站| 在线观看人妻少妇| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 国产主播在线观看一区二区| 久久99热这里只频精品6学生| 久久免费观看电影| 精品久久久久久电影网| 欧美+亚洲+日韩+国产| 男男h啪啪无遮挡| 国产一区二区激情短视频 | 法律面前人人平等表现在哪些方面 | 日本av手机在线免费观看| 最新的欧美精品一区二区| 日本欧美视频一区| 中文字幕精品免费在线观看视频| 久久性视频一级片| 久久av网站| 欧美精品啪啪一区二区三区 | 免费在线观看完整版高清| 国产在视频线精品| 大码成人一级视频| 五月开心婷婷网| 日本91视频免费播放| 亚洲 国产 在线| 亚洲美女黄色视频免费看| 欧美97在线视频| av国产精品久久久久影院| 大片电影免费在线观看免费| 午夜老司机福利片| 亚洲国产av新网站| 91国产中文字幕| 国产成人影院久久av| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 免费在线观看日本一区| 热99re8久久精品国产| 1024视频免费在线观看| 嫩草影视91久久| 搡老熟女国产l中国老女人| 日韩中文字幕视频在线看片| 久久精品人人爽人人爽视色| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 免费在线观看日本一区| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 午夜福利在线免费观看网站| 一本一本久久a久久精品综合妖精| 国产亚洲精品一区二区www | 国产伦人伦偷精品视频| 麻豆乱淫一区二区| 亚洲国产欧美网| 女人精品久久久久毛片| 中国美女看黄片| 久久精品成人免费网站| 国产在线免费精品| 日本91视频免费播放| 性色av一级| 色婷婷久久久亚洲欧美| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 日本av免费视频播放| 91精品三级在线观看| 国产真人三级小视频在线观看| 精品视频人人做人人爽| 久久精品国产亚洲av香蕉五月 | 人人妻,人人澡人人爽秒播| 欧美久久黑人一区二区| 狂野欧美激情性xxxx| 中文字幕人妻熟女乱码| 国产av精品麻豆| 99精品欧美一区二区三区四区| 丝袜在线中文字幕| 精品高清国产在线一区| 各种免费的搞黄视频| 免费观看a级毛片全部| 老汉色av国产亚洲站长工具| 精品人妻一区二区三区麻豆| 99久久人妻综合| 欧美乱码精品一区二区三区| 久久ye,这里只有精品| av福利片在线| 91国产中文字幕| 欧美日本中文国产一区发布| 欧美黑人精品巨大| 久久久久久久大尺度免费视频| 欧美少妇被猛烈插入视频| 成人黄色视频免费在线看| 男女下面插进去视频免费观看| 免费少妇av软件| 热re99久久精品国产66热6| 午夜激情av网站| 9热在线视频观看99| 中文字幕制服av| 国产深夜福利视频在线观看| 蜜桃国产av成人99| 国产精品99久久99久久久不卡| 欧美乱码精品一区二区三区| 在线观看舔阴道视频| 精品欧美一区二区三区在线| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 国产精品一区二区在线观看99| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 成人av一区二区三区在线看 | 精品亚洲成国产av| 精品卡一卡二卡四卡免费| 人妻久久中文字幕网| 日韩制服骚丝袜av| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 热99久久久久精品小说推荐| 男女午夜视频在线观看| 亚洲中文字幕日韩| 咕卡用的链子| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 热99re8久久精品国产| 69av精品久久久久久 | 日韩 亚洲 欧美在线| 精品少妇内射三级| 亚洲av片天天在线观看| 欧美精品av麻豆av| 91国产中文字幕| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 国产亚洲精品久久久久5区| 高清视频免费观看一区二区| 国产深夜福利视频在线观看| 91字幕亚洲| 搡老岳熟女国产| 亚洲一区中文字幕在线| 久久国产亚洲av麻豆专区| 午夜激情久久久久久久| 免费不卡黄色视频| 亚洲国产中文字幕在线视频| 老司机午夜福利在线观看视频 | 80岁老熟妇乱子伦牲交| 精品乱码久久久久久99久播| 99精国产麻豆久久婷婷| 男女免费视频国产| 免费看十八禁软件| 中国美女看黄片| 国产熟女午夜一区二区三区| 国产区一区二久久| 少妇的丰满在线观看| 欧美另类亚洲清纯唯美| 精品卡一卡二卡四卡免费| 午夜福利影视在线免费观看| 国产成+人综合+亚洲专区| 一级a爱视频在线免费观看| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 午夜视频精品福利| 午夜免费成人在线视频| tube8黄色片| 国产又色又爽无遮挡免| 99精品欧美一区二区三区四区| 日本黄色日本黄色录像| 国产在线免费精品| 女人久久www免费人成看片| 免费高清在线观看日韩| 精品国产乱码久久久久久男人| 91av网站免费观看| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 亚洲人成电影观看| 亚洲五月婷婷丁香| 中文字幕色久视频| 国产人伦9x9x在线观看| 亚洲 欧美一区二区三区| 美国免费a级毛片| 我要看黄色一级片免费的| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 亚洲精品第二区| av在线app专区| 蜜桃在线观看..| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 国产在线视频一区二区| 国产一区二区三区在线臀色熟女 | 一本久久精品| 搡老乐熟女国产| 精品一区在线观看国产| av网站在线播放免费| 久久久精品94久久精品| 久久影院123| 亚洲精品国产一区二区精华液| 桃花免费在线播放| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片| 夫妻午夜视频| 成人国产av品久久久| 国产视频一区二区在线看| 欧美性长视频在线观看| 动漫黄色视频在线观看| 亚洲三区欧美一区| 一级黄色大片毛片| 国产精品久久久久成人av| 老司机影院成人| 国产精品1区2区在线观看. | 老司机午夜福利在线观看视频 | 欧美另类一区| √禁漫天堂资源中文www| av网站在线播放免费| 国产男女内射视频| 青春草亚洲视频在线观看| 亚洲情色 制服丝袜| 真人做人爱边吃奶动态| 一级a爱视频在线免费观看| 大片免费播放器 马上看| 欧美精品啪啪一区二区三区 | 国产高清国产精品国产三级| 中文欧美无线码| av超薄肉色丝袜交足视频| 大香蕉久久成人网| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 两人在一起打扑克的视频| 91麻豆av在线| 国产高清国产精品国产三级| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 亚洲国产av新网站| 亚洲国产av影院在线观看| 欧美另类亚洲清纯唯美| 国产成人av激情在线播放| 看免费av毛片| 中文字幕av电影在线播放| 女性被躁到高潮视频| 97人妻天天添夜夜摸| 动漫黄色视频在线观看| tube8黄色片| 在线观看免费视频网站a站| 成人免费观看视频高清| 天天操日日干夜夜撸| 人人妻人人澡人人看| 国产精品亚洲av一区麻豆| 国产精品 欧美亚洲| 日本av手机在线免费观看| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 久久久久久久大尺度免费视频| 1024香蕉在线观看| 中文字幕人妻丝袜制服| 波多野结衣一区麻豆| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| netflix在线观看网站| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 日本欧美视频一区| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 女人久久www免费人成看片| 国产av精品麻豆| 一级,二级,三级黄色视频| 国产国语露脸激情在线看| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 一区二区三区四区激情视频| 一本久久精品| 超碰97精品在线观看| 国产xxxxx性猛交| 五月开心婷婷网| 国产精品偷伦视频观看了| 三级毛片av免费| 久久国产精品人妻蜜桃| 日韩 亚洲 欧美在线| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 视频区欧美日本亚洲| 又大又爽又粗| av一本久久久久| 亚洲国产欧美网| 久久久久久免费高清国产稀缺| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 亚洲黑人精品在线| 日本wwww免费看| 久久午夜综合久久蜜桃| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 国产精品影院久久| 久久久水蜜桃国产精品网| 视频在线观看一区二区三区| 十分钟在线观看高清视频www| 首页视频小说图片口味搜索| 国产精品久久久久成人av| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 精品人妻1区二区| videosex国产| 成人手机av| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 一级毛片电影观看| 国产免费一区二区三区四区乱码| 97精品久久久久久久久久精品| 日本91视频免费播放| 老司机影院毛片| 国产色视频综合| 777米奇影视久久| 丰满迷人的少妇在线观看| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 蜜桃国产av成人99| 国产精品香港三级国产av潘金莲| 满18在线观看网站| 国产亚洲精品久久久久5区| 亚洲人成电影观看| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| av国产精品久久久久影院| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 国产免费av片在线观看野外av| 中文字幕人妻丝袜制服| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片| 黄片播放在线免费| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 国产主播在线观看一区二区| 午夜福利免费观看在线| 免费高清在线观看视频在线观看| 99热网站在线观看| 国产免费一区二区三区四区乱码| 黑人巨大精品欧美一区二区mp4| 啦啦啦免费观看视频1| 女性生殖器流出的白浆| 久久精品成人免费网站| 777米奇影视久久| 91精品伊人久久大香线蕉| 丰满饥渴人妻一区二区三| av视频免费观看在线观看| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 国产男人的电影天堂91| 天天躁日日躁夜夜躁夜夜| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 欧美变态另类bdsm刘玥| 天堂中文最新版在线下载| 亚洲av男天堂| 午夜日韩欧美国产| 欧美日韩黄片免| 人妻一区二区av| 69av精品久久久久久 | 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 午夜福利在线免费观看网站| 成年人黄色毛片网站| 亚洲国产中文字幕在线视频| 9191精品国产免费久久| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 精品一区二区三卡| 人成视频在线观看免费观看| 亚洲国产中文字幕在线视频| 美女国产高潮福利片在线看| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 亚洲av美国av| 亚洲av国产av综合av卡| 国产精品免费大片| 男人爽女人下面视频在线观看| 亚洲av成人不卡在线观看播放网 | 亚洲天堂av无毛| 国产片内射在线| 国产日韩欧美视频二区| 国产精品香港三级国产av潘金莲| 亚洲欧美精品自产自拍| 亚洲综合色网址| 咕卡用的链子| 午夜福利视频在线观看免费| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 日本av免费视频播放| 亚洲综合色网址| 老熟妇乱子伦视频在线观看 | 日韩欧美一区视频在线观看| 国产有黄有色有爽视频| 精品国产乱码久久久久久小说| 丝袜美足系列| 12—13女人毛片做爰片一| 宅男免费午夜| 国产黄色免费在线视频| 丰满迷人的少妇在线观看| 99热全是精品| 另类亚洲欧美激情| 1024视频免费在线观看| svipshipincom国产片| 亚洲欧美一区二区三区久久| 国产日韩欧美亚洲二区| 久久久国产精品麻豆| 热99re8久久精品国产| 91精品国产国语对白视频| 亚洲精品中文字幕在线视频| 亚洲精品美女久久av网站| 久久精品亚洲av国产电影网| 大片电影免费在线观看免费| 老司机亚洲免费影院| 97在线人人人人妻| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 一进一出抽搐动态| 制服人妻中文乱码| 亚洲精品第二区| 91麻豆精品激情在线观看国产 | 午夜福利乱码中文字幕| 交换朋友夫妻互换小说| 一级毛片电影观看| 国产精品久久久久久精品电影小说| 亚洲欧美色中文字幕在线| 中亚洲国语对白在线视频| 亚洲国产中文字幕在线视频| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲 | 国产精品99久久99久久久不卡| 考比视频在线观看| 99香蕉大伊视频| 国产一区二区 视频在线| 妹子高潮喷水视频| 亚洲久久久国产精品| 制服诱惑二区| 久久 成人 亚洲| 免费黄频网站在线观看国产| 狠狠狠狠99中文字幕| 亚洲精品乱久久久久久| 欧美精品亚洲一区二区| 国产伦理片在线播放av一区| 99香蕉大伊视频| 中文字幕最新亚洲高清| 亚洲精品国产av蜜桃| av有码第一页| 成人国语在线视频| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 国产av一区二区精品久久| 亚洲av国产av综合av卡| 久久久久久久久免费视频了| 日韩一区二区三区影片| 午夜福利,免费看| 在线观看免费日韩欧美大片| 老司机福利观看| 色婷婷久久久亚洲欧美| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 天天操日日干夜夜撸| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 丰满饥渴人妻一区二区三| 91成年电影在线观看| 亚洲国产av影院在线观看| 国产成+人综合+亚洲专区| 精品一区二区三卡| 啪啪无遮挡十八禁网站| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 午夜日韩欧美国产| 老司机靠b影院| 亚洲中文av在线| 日韩大片免费观看网站| 黑人操中国人逼视频| 丝袜喷水一区| 亚洲国产欧美一区二区综合| 久久久久精品国产欧美久久久 | 国产亚洲av高清不卡| 免费在线观看完整版高清| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 我要看黄色一级片免费的| 亚洲精品一二三| 色婷婷av一区二区三区视频| 国产老妇伦熟女老妇高清| 宅男免费午夜| 欧美日韩福利视频一区二区| 国产老妇伦熟女老妇高清| 国产av一区二区精品久久| 亚洲熟女精品中文字幕| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 99精品欧美一区二区三区四区| 99久久国产精品久久久| 女人精品久久久久毛片| 久久久久久久久久久久大奶| 久久久久久久久免费视频了| 午夜免费成人在线视频| 亚洲人成电影观看| 国产成+人综合+亚洲专区| 亚洲,欧美精品.| 精品久久蜜臀av无| 日韩制服丝袜自拍偷拍| 免费看十八禁软件| 一区二区三区乱码不卡18| 1024香蕉在线观看| av片东京热男人的天堂| 亚洲中文字幕日韩| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 午夜福利视频在线观看免费| 一区在线观看完整版| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 久久女婷五月综合色啪小说| 精品一区二区三区av网在线观看 | 日韩中文字幕视频在线看片| 亚洲欧美激情在线| 欧美激情高清一区二区三区| 精品国产乱子伦一区二区三区 | 国产麻豆69| 国产成人欧美| 又大又爽又粗| 夜夜骑夜夜射夜夜干| av视频免费观看在线观看| 日本vs欧美在线观看视频| 欧美成人午夜精品| 久久人妻熟女aⅴ| 窝窝影院91人妻| 国产精品久久久人人做人人爽| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频 | 高清视频免费观看一区二区| 久久性视频一级片| 成年人午夜在线观看视频| 午夜福利免费观看在线| 久久国产精品人妻蜜桃| 欧美日韩亚洲高清精品| 在线观看免费日韩欧美大片| 久热爱精品视频在线9| av有码第一页| 中文字幕最新亚洲高清| h视频一区二区三区| 极品人妻少妇av视频| 亚洲成人免费电影在线观看| 久久女婷五月综合色啪小说| 两个人看的免费小视频| 日韩精品免费视频一区二区三区| 久久这里只有精品19| 妹子高潮喷水视频| 51午夜福利影视在线观看| 啦啦啦在线免费观看视频4| 欧美在线黄色| 亚洲成国产人片在线观看| 日韩制服丝袜自拍偷拍| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 久久久久精品人妻al黑| 亚洲精品国产色婷婷电影| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 免费不卡黄色视频| 午夜精品国产一区二区电影| 在线观看免费日韩欧美大片| 亚洲专区国产一区二区| 亚洲av日韩在线播放| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 18禁国产床啪视频网站| 大码成人一级视频| 男女午夜视频在线观看| 国产欧美日韩一区二区精品| 午夜两性在线视频| 色精品久久人妻99蜜桃| 五月天丁香电影| www.熟女人妻精品国产| 一区福利在线观看| 国产97色在线日韩免费| 国产日韩欧美亚洲二区| 精品国产一区二区久久| 老汉色∧v一级毛片| 精品福利永久在线观看| 亚洲欧美一区二区三区久久| www.av在线官网国产| 亚洲情色 制服丝袜| 美女高潮喷水抽搐中文字幕| 伦理电影免费视频| 在线观看免费视频网站a站| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 亚洲 国产 在线| 午夜精品久久久久久毛片777| 热99国产精品久久久久久7| 女人久久www免费人成看片| 50天的宝宝边吃奶边哭怎么回事| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 国产亚洲av高清不卡| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 又黄又粗又硬又大视频| 男女之事视频高清在线观看| 一本久久精品| 中文字幕人妻丝袜制服| 色播在线永久视频| 啦啦啦 在线观看视频| 50天的宝宝边吃奶边哭怎么回事| kizo精华| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 午夜福利一区二区在线看| 国产精品免费大片| 一区二区日韩欧美中文字幕| 色综合欧美亚洲国产小说| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 99热网站在线观看| 十八禁高潮呻吟视频| 性少妇av在线| 嫩草影视91久久| 日本vs欧美在线观看视频| 自线自在国产av| 免费在线观看黄色视频的| 午夜视频精品福利| 久久香蕉激情| 12—13女人毛片做爰片一| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 国产亚洲av高清不卡| 这个男人来自地球电影免费观看| 一级黄色大片毛片| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 国产黄色免费在线视频| 亚洲熟女毛片儿| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 国产精品久久久久久精品古装| 中文字幕人妻熟女乱码| 国产深夜福利视频在线观看| 国产区一区二久久| 少妇精品久久久久久久| 精品久久久久久电影网| 在线观看人妻少妇| 精品久久蜜臀av无| 日韩视频在线欧美| 色婷婷av一区二区三区视频| 97在线人人人人妻| 国产男人的电影天堂91| 精品人妻在线不人妻| 搡老乐熟女国产| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 日本av手机在线免费观看| 日本黄色日本黄色录像| 亚洲 欧美一区二区三区| www.av在线官网国产| 真人做人爱边吃奶动态| 色94色欧美一区二区| 色婷婷久久久亚洲欧美| 亚洲国产欧美一区二区综合| 999久久久精品免费观看国产| 午夜老司机福利片| 91成人精品电影| 国产亚洲欧美精品永久| 国产免费av片在线观看野外av| 高潮久久久久久久久久久不卡|