具有輸入約束和輸出噪聲的不確定系統(tǒng)級(jí)聯(lián)線性自抗擾控制

高陽(yáng) 吳文海 王子健

不確定系統(tǒng)的控制是控制科學(xué)的核心問(wèn)題[1].圍繞此問(wèn)題,涌現(xiàn)出大量的現(xiàn)代控制方法,如自適應(yīng)控制、魯棒控制、內(nèi)模原理、滑?？刂频萚2],但這些方法在處理不確定性時(shí),往往因特定的局限性而不利于工程實(shí)用.反倒是經(jīng)典的PID 控制,以其 “天生”的抗干擾性和模型不依賴性,至今仍廣泛應(yīng)用于工業(yè)控制領(lǐng)域.沿承PID 控制的思想精髓[3],韓京清[4]在對(duì)依賴于精確數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)代控制理論進(jìn)行深刻反思的基礎(chǔ)上,于20 世紀(jì)90 年代提出了更為高效的自抗擾控制(Active disturbance rejection control,ADRC)技術(shù).大量理論[5-7]和應(yīng)用[8-9]方面的研究表明,ADRC 不依賴被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型,對(duì)具有未建模動(dòng)態(tài)、參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾的系統(tǒng)均能實(shí)施有效控制,具有很強(qiáng)的魯棒性和抗干擾性.

然而,受限于原始ADRC 所采用的非線性、非光滑反饋結(jié)構(gòu),其理論分析十分困難,需調(diào)節(jié)的控制器參數(shù)也較多.為簡(jiǎn)化ADRC 的分析與實(shí)現(xiàn),文獻(xiàn)[10-12]針對(duì)不同類型的不確定系統(tǒng),研究了線性ADRC (Linear ADRC,LADRC)方法并著重分析了LADRC 的收斂性,揭示了系統(tǒng)性能與控制參數(shù)的定量關(guān)系.此外,文獻(xiàn)[13]提出了一種基于高增益觀測(cè)器的LADRC 方法,并進(jìn)一步放寬假設(shè)條件給出了收斂性證明.然而,上述研究除針對(duì)系統(tǒng)的不確定因素外,均沒(méi)有考慮其他限制條件.而在實(shí)際系統(tǒng)的輸入、輸出環(huán)節(jié)中,往往會(huì)存在兩類不容忽視的問(wèn)題:輸入約束和輸出噪聲.

輸入約束通常是由執(zhí)行機(jī)構(gòu)的物理和結(jié)構(gòu)限制所致,以位置飽和最為常見(jiàn),如不及時(shí)采取措施加以擬制,可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能變差甚至不穩(wěn)定.對(duì)此,主要有兩種處理策略:1)直接對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的飽和特性進(jìn)行設(shè)計(jì),利用光滑函數(shù)近似飽和函數(shù),然后將逼近誤差作為系統(tǒng)擾動(dòng),對(duì)新系統(tǒng)設(shè)計(jì)魯棒自適應(yīng)控制器[14-15];2)在忽略執(zhí)行機(jī)構(gòu)約束的情況下,預(yù)先設(shè)計(jì)滿足要求的控制器,然后在控制器中引入輔助信號(hào)對(duì)輸入飽和進(jìn)行補(bǔ)償[16-18].策略1)雖然具有較好的抗飽和效果,但需要依賴約束的具體信息,且控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜,實(shí)時(shí)性較差;相比之下,策略2)能夠極大地簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì),計(jì)算靈活高效,且不影響約束范圍內(nèi)的系統(tǒng)性能,因而廣泛應(yīng)用于工業(yè)實(shí)際中.

另外,在量測(cè)輸出時(shí)不可避免地還會(huì)引入高頻噪聲,而噪聲對(duì)于LADRC 性能的影響是十分顯著的.這是因?yàn)?LADRC 的核心技術(shù)是線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(Linear extended state observe,LESO),增大觀測(cè)器增益可提高其跟蹤性能,但同時(shí)也會(huì)放大高頻噪聲,進(jìn)而引起系統(tǒng)控制量的大幅度高頻振顫,這對(duì)于執(zhí)行機(jī)構(gòu)而言是不可承受的.為解決觀測(cè)器性能與其對(duì)噪聲敏感性的矛盾,國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種不同方案.文獻(xiàn)[19]設(shè)計(jì)了一種增益可切換觀測(cè)器,即采用大增益重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài),當(dāng)觀測(cè)誤差減小到一定值后切換為小增益,以減小高頻噪聲的影響.文獻(xiàn)[20]和文獻(xiàn)[21]則分別通過(guò)在高增益觀測(cè)器中引入隨機(jī)逼近策略和快速濾波器來(lái)處理量測(cè)噪聲,從而最大限度地保持了觀測(cè)器的原本特性.而文獻(xiàn)[22-23]直接設(shè)計(jì)了一種增益在線調(diào)整的自適應(yīng)觀測(cè)器來(lái)解決該問(wèn)題,雖然較前兩種方案有更好的噪聲擬制效果,但觀測(cè)器設(shè)計(jì)復(fù)雜,工程實(shí)現(xiàn)難度大.對(duì)此,工程上往往采用簡(jiǎn)單的濾波器處理方式,但這會(huì)造成濾波后輸出信號(hào)的幅值和相位損失.

針對(duì)上述現(xiàn)狀和問(wèn)題,本文在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上,繼續(xù)研究了具有輸入受限和輸出噪聲的不確定系統(tǒng)的LADRC 方法.首先,定量分析了LESO 對(duì)噪聲的放大機(jī)理,明確了噪聲對(duì)LADRC 系統(tǒng)的影響;在此基礎(chǔ)上,改進(jìn)了具有工程實(shí)用性的濾波器噪聲處理方式,提出了一種基于濾波器的級(jí)聯(lián)LADRC方法,可實(shí)現(xiàn)對(duì)濾波后輸出幅值和相位損失的有效補(bǔ)償;最后,基于策略2)給出的飽和處理方案,進(jìn)一步提出了一種基于濾波器的抗飽和級(jí)聯(lián)LADRC 方法,使有效濾波的同時(shí)解決了系統(tǒng)輸入飽和的問(wèn)題.

1 問(wèn)題描述及預(yù)備知識(shí)

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下的SISO (Single input single output)不確定非線性系統(tǒng):

其中,x為系統(tǒng)狀態(tài)變量;y為具有高頻噪聲vfn的系統(tǒng)量測(cè)輸出;f(·)為系統(tǒng)不確定的內(nèi)部動(dòng)態(tài);w為外部干擾;b為時(shí)變不確定的控制增益,滿足b1＜b＜b2,b1,b2為常數(shù);υ為執(zhí)行器輸入,u(υ)為受飽和特性影響的執(zhí)行器輸出,其數(shù)學(xué)模型為

其中,umax＞0,umin＜0 為已知的飽和界限值.

取常數(shù)b0∈(b1,b2),而將 (b-b0)u(υ)作為未知的控制擾動(dòng),并將系統(tǒng)所有的不確定性當(dāng)作總擾動(dòng)g(·)=f(·)+w+(b-b0)u(υ),取狀態(tài)變量x1=x,x2==x(n-1),然后將總擾動(dòng)擴(kuò)充為新的狀態(tài)變量xn+1=g(·),并記n+1=h,令x=[x1x2···xn+1]T,可得系統(tǒng)(1)的擴(kuò)張狀態(tài)空間方程

為便于分析,對(duì)系統(tǒng)(3)作如下假設(shè):μ＞0

假.設(shè)1.量測(cè)噪聲有界且滿足|vfn|≤μ,常數(shù)

假設(shè)2.存在常數(shù)M＞0,使得|h|≤M在區(qū)間[0,∞)上一致成立.

注1.由于h=g˙(·)不僅是時(shí)間t的函數(shù),還是x和u的函數(shù),因而直接設(shè)定|h|≤M這一條件很難得到預(yù)先檢驗(yàn);而根據(jù)此前研究可知[13],若放寬對(duì)系統(tǒng)總擾動(dòng)的假設(shè),可得到|h|為關(guān)于系統(tǒng)估計(jì)和跟蹤誤差的函數(shù),但這會(huì)增加系統(tǒng)分析的復(fù)雜性.實(shí)際上,直接假設(shè)h有界并不影響對(duì)系統(tǒng)控制性能的分析,只是會(huì)改變分析過(guò)程中的一些常系數(shù)值.

1.2 線性自抗擾控制

對(duì)于系統(tǒng)(1),當(dāng)不考慮輸入約束和輸出噪聲時(shí),可設(shè)計(jì)如下的LADRC 控制器[13]:它由線性跟蹤微分器(Linear tracking differentiator,LTD)、線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和線性狀態(tài)誤差反饋(Linear state error feedback,LSEF)三部分組成.

1.2.1 線性跟蹤微分器

LTD 在LADRC 中相對(duì)獨(dú)立,其作用在于跟蹤給定的輸入信號(hào)v0并得到輸入的各階微分信號(hào)即有i=1,2,···,n.令v=[v1可將LTD 表示為

1.2.2 線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

LADRC 的模型不依賴性和魯棒性正是基于LESO 對(duì)系統(tǒng)總擾動(dòng)的實(shí)時(shí)估計(jì),因而LESO 是LADRC的核心技術(shù).令為系統(tǒng)狀態(tài)x的估計(jì),利用實(shí)時(shí)的輸入u、輸出y可構(gòu)造如下的LESO:

1.2.3 線性狀態(tài)誤差反饋

定義系統(tǒng)的狀態(tài)誤差e1=z1-v1,e2=z2-v2,···,en=zn-vn,并考慮對(duì)總擾動(dòng)xn+1的實(shí)時(shí)補(bǔ)償,令可設(shè)計(jì)如下的LSEF:

2 高頻量測(cè)噪聲對(duì)LESO 的影響

2.1 理論分析

首先,忽略輸入飽和的影響.定義LESO 估計(jì)誤差ε=x-z,其中,對(duì)其沿式(3)和式(5)求導(dǎo),可得

定理1.對(duì)于滿足假設(shè)1和假設(shè)2 的不確定系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)LESO(5),則對(duì)任意的t∈(t0,∞),存在依賴于t0的常數(shù)T＞0和獨(dú)立常數(shù)B＞0,使得對(duì)任意的r∈(0,1),滿足

注2.若無(wú)特別說(shuō)明,文中‖·‖指Euclid 范數(shù).

證明.取Lyapunov 函數(shù)V:Rn+1→R為

因此?t＞t0,求解式(15),可得

由式(17)可知,當(dāng)系統(tǒng)輸出不含噪聲 (μ=0)時(shí),r越小,LESO 估計(jì)誤差越小,且有 limr→0‖ε‖=0;但系統(tǒng)包含量測(cè)噪聲時(shí),r不能任意小,且當(dāng)r=(nB4μ/B3)1/(n+1)時(shí),有

式(18)表明,r在(0,1)內(nèi)取值越小,被估計(jì)狀態(tài)xi階數(shù)越高,LESO 對(duì)噪聲放大效果越顯著;尤其對(duì)系統(tǒng)總擾動(dòng)的估計(jì)zn+1→xn+1,受高頻噪聲的影響最大,這必然使總擾動(dòng)不能被實(shí)時(shí)抵消,影響LADRC 的控制性能.□

2.2 算例驗(yàn)證

例1.考慮如下的SISO 二階不確定系統(tǒng):

假設(shè)系統(tǒng)未知的內(nèi)部動(dòng)態(tài)和外部干擾分別為

量測(cè)噪聲為vfn=μvfno,μ=0.025為噪聲強(qiáng)度,vfno為[-1,1]上均勻分布的白噪聲.

首先,忽略量測(cè)噪聲.利用LADRC 式(4)～(6)對(duì)系統(tǒng)(19)進(jìn)行控制,設(shè)定參考輸入v0=1,取b0=1;依據(jù)文獻(xiàn)[13]給出的參數(shù)整定原則,取控制器系數(shù) [a1,a2,a3]=[-1,-3,-3],[k1,k2,k3]=[3,3,1],[l1,l2]=[-1,-2],調(diào)節(jié)控制器增益R=10,r=0.002.通過(guò)對(duì)系統(tǒng)不確定性的準(zhǔn)確估計(jì)和補(bǔ)償,可得到較為理想的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)和控制輸入,如圖1 所示.

圖1 忽略量測(cè)噪聲時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)Fig.1 Closed-loop system responses ignoring measurement noise

但當(dāng)存在量測(cè)噪聲時(shí)(不改變控制器參數(shù)),由于LESO 對(duì)噪聲的放大效應(yīng),導(dǎo)致系統(tǒng)總擾動(dòng)x3=f+w不能被準(zhǔn)確估計(jì),控制量受其影響作同等幅度的高頻振顫,系統(tǒng)輸出亦在設(shè)定值附近高頻波動(dòng),如圖2 所示.此外,LESO 在估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)x1,x2,x3時(shí),對(duì)噪聲的放大效應(yīng)是逐級(jí)增強(qiáng)的,其中對(duì)x3的估計(jì)誤差達(dá)到 103級(jí),這與式(18)計(jì)算的結(jié)果是一致的.另取r=0.005和0.01對(duì)x3進(jìn)行估計(jì),如圖3 所示.比較圖2(c)～2(d)可以看出,隨著r的增大,LESO 對(duì)噪聲的敏感度迅速減弱,但同時(shí)也加劇了系統(tǒng)輸出的振蕩,降低了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性.

圖2 考慮量測(cè)噪聲時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)Fig.2 Closed-loop system responses considering measurement noise

圖3 不同r值對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響Fig.3 Effect on system control performance with different values ofr

3 基于濾波器的級(jí)聯(lián)LADRC 方法

3.1 傳統(tǒng)濾波控制策略

在實(shí)際系統(tǒng)中,為了消除高頻量測(cè)噪聲的影響,通常利用低通濾波器對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行濾波,再將濾波后的信號(hào)送入控制器.濾波器的形式為

其中,y0為濾波后的信號(hào),m為濾波器的階數(shù).此時(shí)LESO(5)變?yōu)?/p>

然而,濾波器(20)在消除噪聲的同時(shí),還會(huì)改變系統(tǒng)輸出的幅值和相位,使y0與x(即濾波器輸出與未加入噪聲的系統(tǒng)原輸出)之間存在差異,這種差異將在LESO(21)中被放大,從而導(dǎo)致原系統(tǒng)的狀態(tài)不能得到良好估計(jì).

例2.將系統(tǒng)(19)的輸出通過(guò)一階低通濾波器(22)后,利用LADRC 式(4)、式(21)和式(6)進(jìn)行控制,取r=0.002,ω=5,其他參數(shù)不變,結(jié)果如圖4所示.

圖4 加入濾波器對(duì)系統(tǒng)控制性能的影響Fig.4 Effect on system control performance adding filter

可以看出,通過(guò)濾波器后高頻噪聲被濾除,但LESO 對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)x1的估計(jì)誤差卻很大(對(duì)x2,x3同樣如此),這是由于z1實(shí)際上是對(duì)y0的估計(jì),而y0與x之間存在差異,從而導(dǎo)致系統(tǒng)較大的控制慣性,最終影響了LADRC 的跟蹤性能(y0→v0).

3.2 新型濾波控制策略

為了補(bǔ)償因?yàn)V波所造成的幅值和相位損失,將濾波器(20)的輸出 擴(kuò)充為系統(tǒng)(1)新的狀態(tài)變量xf=y0,即將濾波器(20)與系統(tǒng)(1)組成復(fù)合系統(tǒng),以利用LADRC 進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償.本質(zhì)上,該系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)不受噪聲影響的m+n階串級(jí)系統(tǒng)

對(duì)于系統(tǒng)(23),其控制層級(jí)為控制量u驅(qū)動(dòng)x,再將x作為虛擬控制量uf驅(qū)動(dòng)xf,最終達(dá)到控制的目的.由于ff(·)和f(·)均具有不確定性,因此根據(jù)式 (1)～(6)的控制思想,可構(gòu)造一個(gè)級(jí)聯(lián)LADRC 結(jié)構(gòu)來(lái)獲取控制量uf和u,如圖5 所示,其中系統(tǒng)總擾動(dòng)

圖5 基于LADRC 的級(jí)聯(lián)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.5 Structure of cascade control system based on LADRC

其中,Af,bf,cf,df是分別與A,b,c,d形式相同的m+1維矩陣或向量.

注3.對(duì)于低通濾波器(20),雖然其高階形式具有更好的濾波效果,但同時(shí)也可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性.因此,在CLADRC 系統(tǒng)(24)和(25)中采用一階低通濾波器(22)即可,因?yàn)橛纱怂斐傻牟町愡€可通過(guò)LADRC1 予以補(bǔ)償.

例3.針對(duì)例1 的系統(tǒng)采用CLADRC(25)進(jìn)行控制,其中濾波器仍采用式(22),并取參照文獻(xiàn)[13]的參數(shù)選取原則,取調(diào)節(jié)控制器增益Rf=2,rf=0.1,R=50,r=0.1,其他參數(shù)與例1 相同,仿真結(jié)果如圖6 所示.

圖6 基于CLADRC 的閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)Fig.6 Closed-loop system responses based on CLADRC

比較圖4 可以看出,該控制策略利用LADRC1 的補(bǔ)償作用,消除了由濾波所造成的不利影響,改善了對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)效果 (z1→x1),實(shí)現(xiàn)了對(duì)參考輸入的精確穩(wěn)定跟蹤 (y0→v0),同時(shí)避免了控制量的大幅高頻振顫,從而驗(yàn)證了該方法的有效性.

4 基于濾波器的抗飽和級(jí)聯(lián)LADRC方法

在上述研究的基礎(chǔ)上,繼續(xù)考慮系統(tǒng)(1)存在輸入飽和的情況.不難理解,當(dāng)執(zhí)行器由于飽和而不能響應(yīng)控制器的輸出時(shí),將會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)變得遲緩,引起滯后和振蕩,甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定.

例4.針對(duì)例3 的CLADRC 系統(tǒng),在不改變控制器參數(shù)的情況下,設(shè)定執(zhí)行器飽和的界限值為umax=26,umin=-17,仿真結(jié)果如圖7 所示.

圖7 顯示,在執(zhí)行器受限的情況下,系統(tǒng)實(shí)際控制量長(zhǎng)時(shí)間處于飽和振顫狀態(tài),閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)變得振蕩而無(wú)法及時(shí)穩(wěn)定.當(dāng)進(jìn)一步縮小飽和約束的范圍時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)將處于發(fā)散狀態(tài).

圖7 輸入飽和約束下的CLADRC 閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)Fig.7 Closed-loop system responses with input saturation based on CLADRC

產(chǎn)生上述現(xiàn)象的本質(zhì)是由于執(zhí)行器飽和而導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)不能被準(zhǔn)確估計(jì),為此,進(jìn)一步提出了一種基于濾波器和誤差補(bǔ)償策略的抗飽和級(jí)聯(lián)LADRC 方法.該方法的作用機(jī)理是將執(zhí)行器輸入和輸出的差值信號(hào)再反饋到LESO 的輸入端,使LESO獲取更詳細(xì)的系統(tǒng)信息,進(jìn)而利用LADRC 的估計(jì)和補(bǔ)償作用來(lái)消除這個(gè)差值,達(dá)到抗飽和的目的.對(duì)于由式(1)和式(20)組成的級(jí)聯(lián)系統(tǒng),設(shè)計(jì)具有抗噪聲和抗飽和能力的LADRC 控制器為

其中,kc為補(bǔ)償增益,增大kc可提高誤差補(bǔ)償速度,但同時(shí)可能引起LESO 不穩(wěn)定,因此需要適當(dāng)調(diào)節(jié).

例5.將控制器(26)作用于例4 中的被控對(duì)象,調(diào)節(jié)kc=0.8,其他控制器參數(shù)仍不變,仿真結(jié)果如圖8 所示.

可以看出,該抗飽和方案通過(guò)誤差補(bǔ)償有效減小了設(shè)計(jì)控制量υ,使實(shí)際控制量u能夠很快脫離飽和并維持在約束范圍內(nèi),系統(tǒng)響應(yīng)基本不受輸入飽和的影響(即圖8(a)中的y01與圖6(a)中的y0基本一致),同時(shí)也不影響CLADRC 的抗噪聲能力,驗(yàn)證了該方法的有效性.

圖8 基于抗飽和CLADRC 的閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)Fig.8 Closed-loop system responses based on anti-saturation CLADRC

進(jìn)一步地,將飽和約束的范圍壓縮為原來(lái)的60%至umax=11,umin=-15 時(shí),不改變控制器參數(shù),系統(tǒng)仍能保持較好的跟蹤性能 (y02→v0),而不采用該策略的閉環(huán)系統(tǒng) (kc=0)響應(yīng)將很快發(fā)散至無(wú)窮大處,表明該方法對(duì)輸入飽和的界限還具有一定的魯棒性.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了一類具有輸入約束和輸出噪聲的不確定非線性系統(tǒng)的線性自抗擾控制問(wèn)題.首先針對(duì)輸出中常見(jiàn)的高頻量測(cè)噪聲,分析了LESO 對(duì)噪聲的放大機(jī)理及其與LESO 增益的定量關(guān)系,明確了噪聲對(duì)具有高增益特性的LADRC 系統(tǒng)的影響.在此基礎(chǔ)上,提出了一種基于濾波器的級(jí)聯(lián)LADRC 方法,在濾除噪聲的同時(shí)還克服了因?yàn)V波所造成的輸出幅值和相位損失,確保了閉環(huán)系統(tǒng)的精確穩(wěn)定跟蹤.最后考慮執(zhí)行器受限的情況,利用LADRC 的實(shí)時(shí)估計(jì)/補(bǔ)償能力,進(jìn)一步提出了一種基于濾波器和誤差補(bǔ)償策略的抗飽和級(jí)聯(lián)LADRC 方法,又解決了系統(tǒng)輸入飽和的問(wèn)題.上述控制方法在克服輸入約束和輸出噪聲的同時(shí),始終保持了自抗擾控制結(jié)構(gòu)的不變性,因而具有一定的適用性.通過(guò)算例仿真,驗(yàn)證了該方法的有效性.