拋物型積分微分方程的連續(xù)時空有限元方法

曲雙紅,郭昱杉,關(guān)宏波

(鄭州輕工業(yè)大學 數(shù)學與信息科學學院,鄭州 450002)

本文考慮如下的拋物型積分微分方程:

(1)

其中Ω?R2為有界凸區(qū)域,?Ω為Ω的邊界,T是總時間,u0=u0(x)是t=0時刻的初值,u為未知函數(shù),f為已知的右端源項.本文所用到的 Sobolev 空間及范數(shù)的記號都是標準的,見文獻[1].

事實上,連續(xù)時空有限元方法在數(shù)值求解時間相關(guān)的非定常問題時,具有獨特優(yōu)勢,與傳統(tǒng)的全離散有限元格式[7]不同,其主要思想是同時對時間變量和空間變量進行有限元離散,可以實現(xiàn)在時間和空間兩個維度上同時得到高精度的結(jié)果.而且連續(xù)時空有限元方法的數(shù)值計算和理論分析對任意階的時間離散和空間離散能夠進行統(tǒng)一處理,并且一致成立.該方法已被廣泛應(yīng)用于熱傳導方程[8]、反應(yīng)擴散方程[9]、Sobolev方程[10]、半線性奇異拋物方程[11]、對流擴散反應(yīng)方程[12]等時間相關(guān)的偏微分方程,然而關(guān)于拋物型積分微分方程的連續(xù)時空有限元方法,目前尚未見到有文獻報道.

本文擬針對拋物型積分微分方程,研究其連續(xù)時空有限元方法,并得到相應(yīng)的最優(yōu)誤差估計結(jié)果.寫作結(jié)構(gòu)如下:第1節(jié)介紹連續(xù)時空有限元方法的一些原理和性質(zhì);第2節(jié)進行詳細的誤差分析,得到有限元解在時間節(jié)點處的最優(yōu)誤差估計結(jié)果;第3節(jié)對結(jié)論進行了總結(jié)與推廣.

1 連續(xù)時空有限元方法

原問題(1)對應(yīng)的變分形式為:求u∈U,使得

(2)

于是,問題(2)所對應(yīng)的連續(xù)時空有限元格式為:求uhk∈Uhk,使得

(3)

(Pxu,vh)=(u,vh),?vh∈Shm(Ω).

(4)

‖Pxu-u‖r≤Chs-r‖u‖S,0≤r≤s≤m+1,

(5)

其中C是與網(wǎng)格剖分尺寸h及時間離散步長k無關(guān)的正常數(shù),不同的地方取值可能不同.

由于uhk是經(jīng)過時間層的連續(xù)推移得到的,所以,對于n=1,2,…,N,uhk滿足

(6)

其中,Pl(Jn)表示定義在Jn上次數(shù)為l的多項式的集合,uhk(x,0)=Pxu0,而uhk(x,tn)(n=1,2,…,N)可以通過前面的時間層求出.

此外,定義關(guān)于時間方向的投影算子Pt:H1(0,T)→Skl([0,T]),易知Ptu(tn)=u(tn)(n=0,1,…,N).如果u∈H1(0,T),則成立:

(7)

同時,對任意的u∈Hs(0,T),則:

‖Ptu-u‖Hr(0,T)≤Cks-r‖u‖Hs(0,T),0≤r≤s≤l+1.

(8)

另外,關(guān)于上面投影算子Px和Pt,文獻[13]還證明了如下逼近性質(zhì):

‖(v-Pxv)(t)‖L2(0,tn;L2)≤Chs‖v(t)‖L2(0,tn;Hs),1≤s≤m+1.

(9)

當v∈Hr(0,tn;Hm+1(Ω))∩Hl+1(0,tn;Hs(Ω))時，有

‖v-PtPxv‖Hr(0,tn;Hs)≤C(hm+1-s‖v‖Hr(0,tn;Hm+1)+kl+1-r‖v‖Hl+1(0,tn;Hs)),r,s=0,1.

(10)

2 誤差估計

本節(jié)對拋物型積分微分方程的連續(xù)時空有限元方法進行詳細的誤差分析,得到如下主要結(jié)論.

‖(u-uhk)(tn)‖0+‖(u-uhk)t‖L2(0,tn;L2)≤C(hm‖u(tn)‖m+1+

hm+1‖u‖H1(0,tn;Hm+1)+kl‖u‖Hl+1(0,tn;H2)),

(11)

和

‖(u-uhk)t(tn)‖0+‖(u-uhk)t‖L2(0,tn;L2)≤C(hm+1‖ut(tn)‖m+1+

hm‖u‖H2(0,tn;Hm+1)+kl‖u‖Hl+1(0,tn;H1)).

(12)

證明結(jié)合(2)、(3)及(6)式，得到誤差方程：

(13)

根據(jù)Pt和Px的定義,(13)式可變形為

(14)

或

(15)

在(15)式中取vhk=(PtPxu-uhk)t,可得：

u)t,(PtPxu-uhk)t)+(Δ(Ptu-u),(PtPxu-uhk)t)+

(16)

注意到(16)式中左端第3項和右端第3項可分別變形為

uhk)(τ),(PtPxu-uhk)t(t))dτ-‖(PtPxu-uhk)

(17)

和

uhk)t(t))dτ-((Ptu-u),(PtPxu-uhk)),

(18)

將(17)、(18)式代入(16)式,并利用 H?lder 不等式,得:

uhk)(τ),(PtPxu-uhk)(tn))dτ≤‖(Pxu-u)t+

(19)

即

C(‖(PtPxu-uhk))+‖(Ptu-u))+

(20)

(20)式可進一步估計為

uhk)(τ)‖0‖(PtPxu-uhk)(tn)‖0dτ≤2‖(Pxu-u)t+

(21)

利用 Gronwall 不等式,可得：

‖(PtPxu-uhk)t‖L2(0,tn;L2)+‖(PtPxu-uhk)(tn)‖0≤4‖(Pxu-u)t‖L2(0,tn;L2)+

4‖Δ(Ptu-u)‖L2(0,tn;L2)+C‖(Ptu-u)‖L2(0,tn;L2)≤

C(hm+1‖u‖H1(0,tn;Hm+1)+kl+1‖u‖Hl+1(0,tn;H2)).

(22)

由三角不等式及投影算子的性質(zhì),并注意到PtPxu(tn)=Pxu(tn),有

‖(u-uhk)t‖L2(0,tn;L2)+‖(u-uhk)(tn)‖0≤‖(u-PtPxu)t‖L2(0,tn;L2)+‖(PtPxu-

uhk)t‖L2(0,tn;L2)+‖(u-PtPxu)(tn)‖0+‖(PtPxu-uhk)(tn)‖0≤‖(u-

PtPxu)t‖L2(0,tn;L2)+‖(PtPxu-uhk)t‖L2(0,tn;L2)+‖(u-Pxu)(tn)‖0+

hm+1‖u‖H1(0,tn;Hm+1)+kl‖u‖Hl+1(0,tn;H2)).

(23)

定理中第1個結(jié)論(11)式得證.

另一方面,對(14)式關(guān)于t求導,能夠得到

(24)

在(24)式中取vhk=(PtPxu-uhk)t,可得:

(25)

利用 H?lder 不等式和模等價性質(zhì),可得:

(26)

即

‖(PtPxu-uhk)t(tn)‖0+‖(PtPxu-uhk)t‖L2(0,tn;L2)≤3(‖(Pxu-u)tt‖L2(0,tn;L2)+

C(hm+1‖u‖H2(0,tn;Hm+1)+kl‖u‖Hl+1(0,tn;H1)).

(27)

由三角不等式及投影算子的性質(zhì),得

‖(u-uhk)t(tn)‖0+‖(u-uhk)t‖L2(0,tn;L2)≤‖(u-Pxu)t(tn)‖0+‖(Pxu-PtPxu)t(tn)‖0+

‖(PtPxu-uhk)t(tn)‖0+‖(u-PtPxu)t‖L2(0,tn;L2)+‖(PtPxu-uhk)t‖L2(0,tn;L2)≤

C(hm+1‖ut(tn)‖m+1+hm‖u‖H2(0,tn;Hm+1)+kl‖u‖Hl+1(0,tn;H1)).

(28)

結(jié)論(12)式得證.至此定理證畢.

3 小 結(jié)

本文主要研究了線性拋物型積分微分方程的連續(xù)時空有限元逼近方法,該方法對于時間變量和空間變量同時采用有限元離散,所得結(jié)果對于任意次的多項式空間均是成立的,并且拋棄了傳統(tǒng)有限元方法中關(guān)于時間離散步長和空間網(wǎng)格尺寸的網(wǎng)格比限制.另外,如果將文獻[14-15]中關(guān)于非線性項的誤差估計技巧稍作改進,便可對半線性和非線性的拋物型積分微分方程[16-17]進行連續(xù)有限元誤差分析,同樣能夠得到最優(yōu)階的誤差估計結(jié)果.