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    基于模糊馬爾可夫鏈的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)*

    2022-04-14 09:59:18南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院張雨晴董英華
    關(guān)鍵詞:泊松獎(jiǎng)懲概率分布

    南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 張雨晴 董英華

    現(xiàn)有文獻(xiàn)中,通常在一個(gè)精確的模型下對(duì)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)進(jìn)行研究,忽略了獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中的不確定性。本文在索賠次數(shù)服從泊松分布的假設(shè)下,把分布參數(shù)量化成一個(gè)三角模糊數(shù),將不確定性考慮進(jìn)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中。利用模糊馬爾可夫鏈來研究獎(jiǎng)懲系統(tǒng),并通過模糊轉(zhuǎn)移概率矩陣計(jì)算得到模糊穩(wěn)態(tài)概率分布。將其與普通穩(wěn)態(tài)概率分布對(duì)比,發(fā)現(xiàn)模糊穩(wěn)態(tài)概率分布的1截集與普通穩(wěn)態(tài)概率分布相等,驗(yàn)證了普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)是模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的一個(gè)特例。從嚴(yán)厲性方面對(duì)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)相較于模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)略嚴(yán)厲些。

    在汽車保險(xiǎn)中,通常用獎(jiǎng)懲系統(tǒng)對(duì)先驗(yàn)費(fèi)率進(jìn)行調(diào)節(jié),使得投保人繳納的保費(fèi)反映真實(shí)的風(fēng)險(xiǎn)水平,因此獎(jiǎng)懲系統(tǒng)在車險(xiǎn)費(fèi)率厘定中占據(jù)重要位置。獎(jiǎng)懲系統(tǒng)是根據(jù)保單的歷史索賠數(shù)據(jù)對(duì)續(xù)期保費(fèi)進(jìn)行調(diào)整的機(jī)制,即對(duì)上年或連續(xù)多年無索賠發(fā)生的投保人,續(xù)保時(shí)降低保費(fèi);對(duì)上年發(fā)生索賠的投保人,續(xù)保時(shí)提高保費(fèi)。在我國,這種制度又稱為無賠款優(yōu)待系統(tǒng)。

    現(xiàn)有文獻(xiàn)中,多數(shù)在索賠次數(shù)或索賠額服從一個(gè)精確分布的條件下研究獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。Frangos等[1]在泊松-伽瑪分布假設(shè)下,利用先驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)特征和索賠次數(shù)信息結(jié)合廣義線性回歸模型建立獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。孟生旺[2]在二項(xiàng)-貝塔分布和負(fù)二項(xiàng)-貝塔分布的假設(shè)下,分別建立獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。孟生旺和張永霞[3]在累計(jì)索賠額服從零調(diào)整逆高斯分布的條件下,結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)特征信息研究獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。對(duì)模型中存在的不確定性,Adillon等[4]將參數(shù)量化成模態(tài)區(qū)間,在索賠次數(shù)服從泊松分布的條件下對(duì)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)進(jìn)行研究。Villacorta等[5]引入模糊數(shù)對(duì)索賠次數(shù)分布的參數(shù)進(jìn)行量化。

    實(shí)際應(yīng)用中,索賠次數(shù)或索賠額的模型中往往包含不確定性,這種不確定性可能由隨機(jī)性等原因造成的。因此本文在索賠次數(shù)服從泊松分布的假設(shè)下,采用Villacorta等中的方法,將分布參數(shù)量化成三角模糊數(shù)來研究獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。下文中,將基于模糊馬爾可夫鏈的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)稱為模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。在給定轉(zhuǎn)移規(guī)則的條件下,利用模糊轉(zhuǎn)移概率矩陣計(jì)算模糊穩(wěn)態(tài)概率分布。用相對(duì)穩(wěn)定平均水平、對(duì)新投保人的隱性懲罰和變異系數(shù)指標(biāo)從嚴(yán)厲性方面比較普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)和模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的嚴(yán)厲性略低于普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。

    1 獎(jiǎng)懲系統(tǒng)

    獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中包含保費(fèi)等級(jí)、獎(jiǎng)懲系數(shù)和轉(zhuǎn)移規(guī)則[3,6]。

    (1)保費(fèi)等級(jí)。假設(shè)有s個(gè)保費(fèi)等級(jí),對(duì)新加入的投保人,進(jìn)入初始保費(fèi)等級(jí)。

    (2)獎(jiǎng)懲系數(shù)。第i個(gè)保費(fèi)等級(jí)的獎(jiǎng)懲系數(shù)為ri(i=1,2,...,s)。保費(fèi)等級(jí)越高,獎(jiǎng)懲系數(shù)越高,反之。其中,初始保費(fèi)等級(jí)的獎(jiǎng)懲系數(shù)為1。

    (3)轉(zhuǎn)移規(guī)則。已知投保人索賠次數(shù)的情況下,決定投保人從原保費(fèi)等級(jí)轉(zhuǎn)移到新保費(fèi)等級(jí)的規(guī)則。

    本文采用常用的-1/+2轉(zhuǎn)移規(guī)則,即投保人在上一投保期無索賠發(fā)生,續(xù)保時(shí)下降1個(gè)保費(fèi)等級(jí),若發(fā)生索賠,那每發(fā)生1次索賠,續(xù)保時(shí)上升2個(gè)保費(fèi)等級(jí)。該轉(zhuǎn)移規(guī)則如表1所示(i,j,k均為整數(shù)):

    表1 -1/+2轉(zhuǎn)移規(guī)則Tab.1 -1/+2 transition rules

    從表1可以看出,投保人最多上升(下降)到最高(低)保費(fèi)等級(jí)。投保人在某一投保期內(nèi)從保費(fèi)等級(jí)i轉(zhuǎn)移到等級(jí)j的概率Pij(pij≥0)稱為一步轉(zhuǎn)移概率,矩陣P=(pij)稱為轉(zhuǎn)移概率矩陣。保單組合經(jīng)過若干個(gè)投保期后,各保費(fèi)等級(jí)的分布將趨于穩(wěn)定,此時(shí)各保單所處狀態(tài)稱為穩(wěn)定狀態(tài),其概率分布稱為穩(wěn)態(tài)概率分布π=(π1,...,πs),滿足式(1)[7]:

    2 模糊馬爾可夫鏈

    2.1 模糊數(shù)

    2.2 模糊馬爾可夫鏈

    采用模糊馬爾可夫鏈進(jìn)行研究時(shí),只是在普通馬氏鏈的基礎(chǔ)上,將狀態(tài)變?yōu)槟:隣顟B(tài)或?qū)⑥D(zhuǎn)移概率矩陣變?yōu)槟:D(zhuǎn)移概率矩陣。本文采用后一種方法進(jìn)行研究。

    設(shè){Xn,n=0,1,2,...}是一個(gè)馬氏鏈,對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=(pij)。若P=(pij)中的一些概率pij存在不確定性,則可通過模糊數(shù)來量化。此時(shí)P=(pij)轉(zhuǎn)變成模糊轉(zhuǎn)移概率矩陣其中通過獲得的穩(wěn)態(tài)概率分布稱為模糊穩(wěn)態(tài)概率分布的α截集為滿足

    3 實(shí)證分析

    本文用澳大利亞某保險(xiǎn)公司一年期的車輛保單數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析,該數(shù)據(jù)可從文獻(xiàn)[10]中獲得,數(shù)據(jù)中保單索賠次數(shù)信息如表2所示。

    表2 保單索賠次數(shù)信息Tab.2 Number of claims information

    計(jì)算得該組數(shù)據(jù)均值約為0.07,方差約為0.077,均值與方差相差較小,可用泊松分布擬合。假設(shè)索賠次數(shù)N服從參數(shù)為λ的泊松分布,即N~P(λ),概率分布為

    用極大似然法求得參數(shù)λ的估計(jì)值為0.07,故本文中的索賠次數(shù)N~P(0.07)。

    本文采用我國2015版獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的保費(fèi)等級(jí)及獎(jiǎng)懲系數(shù)數(shù)據(jù)(如下表所示)進(jìn)行研究,數(shù)據(jù)可從文獻(xiàn)[11]中獲得。由表1可得獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的具體轉(zhuǎn)移規(guī)則如表3所示。

    表3 獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的具體轉(zhuǎn)移規(guī)則Tab.3 Specific transition rules for the Bonus-malus system

    表3的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中,投保人的續(xù)期保費(fèi)等級(jí)只與當(dāng)期的保費(fèi)等級(jí)和索賠次數(shù)有關(guān)。設(shè)Xn表示投保人在第n個(gè)保險(xiǎn)期內(nèi)的保費(fèi)等級(jí),則{Xn,n=0,1,2,...}為一個(gè)馬氏鏈,該馬氏鏈的狀態(tài)空間S為保費(fèi)等級(jí)的集合,即S={1,2,...,8}。由表3可得馬氏鏈對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

    其中pk=P(N=k),k=0,...,3,qn=P(N≥n), n=1,...4。由式(6)得p0=0.9323938,p1= 0.0652676,p2=0.0022844,p3=0.0000533,q1=0.0676062,q2=0.0023386,q3=0.0000542,q4=0.0000009。由式(1)和式(7)得穩(wěn)態(tài)概率分布為π=(π1,π2,π3,π4,π5,π6,π7,π8)

    由式(6)得P0=e-λ,在區(qū)間[λL,λU]=[0.068,0.072]內(nèi)所以由式(3)得P0的α截集為因?yàn)镻0=e-λ為非線性函數(shù),所以采用三角近似法計(jì)算由式(4)得。同理可得:

    用R軟件的FuzzyStatProb包可計(jì)算模糊穩(wěn)態(tài)概率分布中的α截集上下界的真實(shí)值,結(jié)合式(1)和式(8)計(jì)算得的近似三角模糊數(shù)如下

    表4的α截集的上下界及誤差Tab.4 α-cuts of it's upper and lower bounds and errors

    表4的α截集的上下界及誤差Tab.4 α-cuts of it's upper and lower bounds and errors

    images/BZ_122_1503_2767_1587_2819.pngimages/BZ_122_1191_2761_1284_2817.pngimages/BZ_122_891_2772_974_2822.pngimages/BZ_122_591_2760_676_2812.pngα 0 0.8461048 0.8544213 0.8461048 0.8544213 0 0 0.25 0.8469736 0.8531283 0.8470724 0.8533098 0.012% 0.021%0.5 0.8480278 0.8522171 0.84804 0.8521982 0.001% 0.002%0.75 0.8490109 0.851098 0.8490075 0.8510867 0.0004% 0.001%1 0.8499751 0.8499751 0.8499751 0.8499751 0 0(errα)(errα)

    本文從嚴(yán)厲性方面將普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)與模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)進(jìn)行比較。選用相對(duì)穩(wěn)定平均水平(RASL)、對(duì)新投保人的隱性懲罰(ECL)、變異系數(shù)(CV)指標(biāo)評(píng)價(jià)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的嚴(yán)厲性,計(jì)算公式分別為

    令標(biāo)準(zhǔn)保費(fèi)為1,則保費(fèi)等級(jí)j的保費(fèi)Pj=rjP,j=1,...,8,穩(wěn)態(tài)平均保費(fèi)取三角模糊數(shù)對(duì)應(yīng)的非模糊數(shù)計(jì)算模糊穩(wěn)態(tài)平均保費(fèi)根據(jù)表3中的獎(jiǎng)懲系數(shù)和模糊穩(wěn)態(tài)概率分布的結(jié)果計(jì)算得保費(fèi)Pj和非模糊數(shù)π'j如表5所示:

    根據(jù)式(9)、式(10)和式(11)并結(jié)合表5中的數(shù)值,得獎(jiǎng)懲系統(tǒng)嚴(yán)厲性的各指標(biāo)值如表6所示

    表5 穩(wěn)定狀態(tài)下各變量的數(shù)值Tab.5 Numerical value of each variable in stationary state

    表6 獎(jiǎng)懲系統(tǒng)嚴(yán)厲性指標(biāo)值Tab.6 Severity index value of the Bonus-malus system

    從表6可以看出,模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的RASL值略高于普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng),說明在模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),投保人所處保費(fèi)等級(jí)分布比普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)略均勻;其ECL值略低于普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng),說明對(duì)新投保人的隱性懲罰略低;其CV值也略低于普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng),說明普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)較為嚴(yán)厲些。

    4 結(jié)語

    對(duì)于獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的研究,現(xiàn)有文獻(xiàn)中,大多數(shù)是在具有精確參數(shù)的分布下進(jìn)行的,忽略了模型中的不確定性??紤]到模型中存在的不確定性,本文將索賠次數(shù)的分布參數(shù)量化成一個(gè)三角模糊數(shù)來研究獎(jiǎng)懲系統(tǒng)。利用模糊轉(zhuǎn)移概率矩陣、三角近似法及FuzzyStatProb包計(jì)算得到模糊穩(wěn)態(tài)概率分布將的結(jié)果與普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布π=(πj)對(duì)比,發(fā)現(xiàn)的1截集πj(1)與πj相等,驗(yàn)證了普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)是模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的一個(gè)特例。的0截集給出了穩(wěn)態(tài)概率分布的最大模糊性。

    本文從嚴(yán)厲性方面對(duì)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)進(jìn)行比較,選取RASL、ECL、CV指標(biāo)對(duì)獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的嚴(yán)厲性進(jìn)行評(píng)價(jià)。通過比較各指標(biāo)值發(fā)現(xiàn)普通獎(jiǎng)懲系統(tǒng)比模糊獎(jiǎng)懲系統(tǒng)略嚴(yán)厲些,對(duì)新投保人的隱性懲罰略高。因此,將參數(shù)量化成模糊數(shù)可以使獎(jiǎng)懲系統(tǒng)中包含參數(shù)的不確定性,還可以略降低獎(jiǎng)懲系統(tǒng)的嚴(yán)厲性。

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