與 的上下極限之間的關系及其應用

王 霞 , 馬曉雯

(1.北京工業(yè)大學 理學部統(tǒng)計與數(shù)據(jù)科學學院, 北京 100124；2.齊魯師范學院 數(shù)學學院, 山東 濟南 250200)

證明:由于

若能證得

(1)

則

往證(1)式.

因為

即證

(2)

由概率的從上連續(xù)性[4-5]

2 應用

在給出應用前, 我們先給出如下引理.

引理設X1,X2,…,Xn為獨立的隨機變量序列.?i=1,2,…,n,E(Xi)=0, |Xi|≤bi,a.s..則

?x>0,

證明:首先我們給出如下事實:

?h∈,

(3)

故

即

又因為

(2n)!=2n·(2n-1)···(n+1)n!≥2·2…2·n!=2n·n!,

所以

故(3)式得證.

接下來, 我們給出另一事實: 對于均值為 0 的隨機變量X, 假設|X|≤b,a.s., 則對?h∈,

(4)

現(xiàn)證(4)式.對于?h∈,ehx是x的凸函數(shù), 則

因為E(X)=0, 且利用(3)式得

故(4)式得證.

最后證明引理.利用 Markov 不等式[6]，對?h>0,

現(xiàn)給出我們的應用.

證明:對于Sn, 利用引理有

故結(jié)論得證.