直線同步電動機磁懸浮系統(tǒng)的模糊分數(shù)階滑?？刂?/h1>
2022-04-13 05:13:40雷城藍益鵬孫云鵬
電機與控制學(xué)報 2022年3期
雷城， 藍益鵬， 孫云鵬
(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)
0 引 言
傳統(tǒng)的數(shù)控機床進給平臺是通過旋轉(zhuǎn)電機和中間的傳動裝置來實現(xiàn)直線進給，但是這種驅(qū)動方式會增加進給平臺和靜止導(dǎo)軌之間的摩擦，從而影響進給平臺的高速性和高精確度[1-2]。
直線磁懸浮同步電動機(linear magnetic levitation synchronous motor，LMLSM)實現(xiàn)了進給平臺和靜止導(dǎo)軌之間的相對獨立[3]。水平方向產(chǎn)生電磁推力實現(xiàn)進給運動，垂直方向產(chǎn)生磁懸浮力使進給平臺穩(wěn)定懸浮，從根本上解決了傳統(tǒng)機床進給平臺的摩擦問題。但由于取消了中間的傳動裝置，會使外界擾動等不確定性作用在LMLSM上，加上直線電機固有的端部效應(yīng)，使系統(tǒng)的精確控制變得更加困難。因此，設(shè)計控制性能良好的控制器，消除不確定因素對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，是能否成功設(shè)計出控制系統(tǒng)的重要指標[4]。
滑模變結(jié)構(gòu)控制[5]可以使系統(tǒng)的狀態(tài)隨著目標方向去變化，沒有固定的結(jié)構(gòu)，且滑模面可以自由設(shè)計與被控對象和外界擾動無關(guān)。這就使滑模變結(jié)構(gòu)控制具有很強的魯棒性，但是滑?？刂浦幸驗橛胁贿B續(xù)開關(guān)特性的存在導(dǎo)致了抖振的產(chǎn)生，高頻抖振會激發(fā)在建模中被忽略的高頻動態(tài)特性，對系統(tǒng)的性能造成嚴重影響。已有諸多文獻致力于滑模控制在永磁同步電機中應(yīng)用，大致分為三類：傳統(tǒng)滑模控制、高階滑?？刂埔约芭c先進控制方法相結(jié)合。文獻[6]提出了二階滑模觀測器來在線估計凸極永磁同步電動機定子電阻，用超螺旋算法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的符號函數(shù)，提高了系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性，擴大了無傳感器控制的運行范圍。文獻[7]提出了一種基于積分滑模面的永磁同步電機模糊滑?？刂品椒ǎ軌?qū)崿F(xiàn)永磁同步電機在不確定性突變負載轉(zhuǎn)矩下的高精確度、穩(wěn)定運行。雖然用模糊控制削弱了因為積分型滑模面帶來的抖振，但抖振仍影響著系統(tǒng)的控制精確度。近兩年有文獻提出分數(shù)階滑?？刂频睦砟?，為滑模控制策略的發(fā)展提供了新的方向。文獻[8]提出了分數(shù)階積分型符號函數(shù)，替換傳統(tǒng)的滑?？刂浦械姆柡瘮?shù)并運用到永磁同步電機的控制中，分數(shù)階次的趨近率能夠更好的抑制抖振，仿真和實驗結(jié)果證明該方法具有一定優(yōu)勢。文獻[9]構(gòu)造了分數(shù)階滑?？刂破饔糜谡{(diào)整風(fēng)機功率。與傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂葡啾龋謹?shù)階滑?？刂破骺刂乒β示_性更高，且能夠消除無功功率中的紋波。但因為控制器輸入的維數(shù)低于被控系統(tǒng)的階數(shù)，所以不能保證狀態(tài)變量具有全局魯棒性且衰減速度較慢。
受文獻[7,9,17]的啟發(fā)，本文構(gòu)造分數(shù)階積分型滑模面代替?zhèn)鹘y(tǒng)積分型滑模面，在分數(shù)階滑模面中引入低次積分項作進一步優(yōu)化；設(shè)計分數(shù)階滑模控制器用于控制直線磁懸浮同步電動機，并用模糊控制的逼近特性估計飽和函數(shù)的增益，削弱較大切換增益導(dǎo)致的抖振。仿真結(jié)果證明該控制策略較已有控制策略有一定優(yōu)勢。
1 LMLSM的數(shù)學(xué)模型和運行機理
LMLSM磁懸浮進給平臺結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由平臺基座、運動平臺、光柵尺、電渦流傳感器、輔助導(dǎo)軌、LMLSM構(gòu)成。
圖1 LMLSM磁懸浮進給平臺結(jié)構(gòu)圖
輔助導(dǎo)軌下面纏繞著定子繞組，在通入直流電流后，在動子平臺與輔助導(dǎo)軌之間的氣隙中產(chǎn)生平穩(wěn)的勵磁磁場，勵磁磁場對運動平臺里的鐵心產(chǎn)生吸引力使其懸浮。當(dāng)磁懸浮力與懸浮平臺的重力相等時可實現(xiàn)平臺的穩(wěn)定懸浮，通過調(diào)節(jié)勵磁電流可以改變懸浮力大小。
動子平臺里纏繞電樞繞組，在通入三相交流電流后，會在動子平臺與輔助導(dǎo)軌之間的氣隙中產(chǎn)生水平移動的行波磁場，行波磁場與勵磁磁場相互作用產(chǎn)生水平的電磁推力，推動動子平臺直線運行。
2 LMLSM的數(shù)學(xué)模型
直線電機與普通旋轉(zhuǎn)電機的數(shù)學(xué)模型相比要復(fù)雜很多。為了便于分析，簡化模型，做如下假設(shè)[10]：
1)忽略電機鐵心飽和，電機磁路為線性的；
2)忽略直線同步電機的端部效應(yīng)；
3)不計電機鐵心的渦流與磁滯損耗；
4)電樞繞組中通入三相對稱電流。
根據(jù)以上假設(shè)，推導(dǎo)出直線同步電機d-q軸系下的電壓方程和磁鏈方程[11]。
電壓方程：
(1)
磁鏈方程:
(2)
式中：ud、uq為d、q軸的電壓分量，uf為磁極勵磁的電壓分量；id、iq為d、q軸的電流分量，if為磁極勵磁的電流分量；ψd、ψq為d、q軸的磁鏈，ψf為勵磁磁極磁鏈分量；Lmd、Lmq為d、q軸的主電感，Lσ為電樞繞組的漏感；Lσf為勵磁繞組的漏感；rs為電樞繞組的電阻；rf為磁極勵磁繞組的電阻。
電機的懸浮力是由氣隙中的合成磁場對定動子的吸引力，采用id=0的矢量控制懸浮力[12]為
(3)
垂直方向的運動方程為
(4)
式中：m為動子平臺的重量；v為運動平臺的運動速度，v=2fτ；f為電源供電頻率；δ為動子平臺實際懸浮的氣隙高度；fy為不確定性擾動；Ld=Lσ+Lmd，Lσ不隨懸浮氣隙高度變化；K是磁懸浮系數(shù)，K=5.659×10-6。動子平臺上動子繞組產(chǎn)生的電樞磁場對輔助導(dǎo)軌上定子繞組產(chǎn)生勵磁磁場產(chǎn)生的影響，在這里作為擾動處理。因此，垂直方向總擾動為
(5)
(6)
3 滑模控制器的設(shè)計
3.1 構(gòu)造分數(shù)階滑模面
分數(shù)階微積分的概念是在整數(shù)階微積分的概念上提出來的[13]。在眾多不同類型的分數(shù)階微積分中，Caputo型因其定義形式簡潔，運算方便得到了廣泛的應(yīng)用。
定義1f(t)的α階Caputo型微分[14]為
(7)
式中：C代表微積分類型，a是初始條件，α是階次。Γ(σ)為伽瑪函數(shù)，σ=[n]+1-n，[n]為小于n的最大整數(shù)。
定義2 誤差e為
e=δ*-δ。
(8)
其中：δ*為懸浮高度的參考值，δ*=0.002 5 m，δ為實際觀測值,δ0=0.003 m為初始懸浮高度。
定義3sig(e)γ定義為
sig(e)γ=|e|γsgn(e)。
(9)
式中sgn(e)是符號函數(shù)，表達式為
(10)
sig(e)γ為誤差的低次項，使得狀態(tài)量在有限時間內(nèi)收斂到零。
定義4 分數(shù)階滑模面為
(11)
設(shè)廣義擾動有界，即|f|≤D,D為正常數(shù)。a為初始條件。c、λ、c0、b0均為正常數(shù)。0<α,γ<1。
3.2 趨近律的設(shè)計
定義5 趨近律為
(12)
(13)
式中Δ為邊界層厚度。選取飽和函數(shù)代替符號函數(shù)可以有效減小抖振。
3.3 分數(shù)階滑模控制器的設(shè)計
定理1 對被控對象(6)，其分數(shù)階滑?？刂坡蔀?/p>
u=
(14)
證明1 將式(11)兩邊對時間t求導(dǎo)得
(15)
根據(jù)Caputo微分性質(zhì)[15]可得
(16)
聯(lián)立趨近律表達式(12)和式(16)得
(17)
由式(4)可得氣隙懸浮高度誤差e的二階導(dǎo)數(shù)為
(18)
將式(18)代入式(17)可得
u=
(19)
定理2 對被控對象(6)分數(shù)階滑?？刂坡?/p>
u=
(20)
是保證系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器。
證明2 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)
(21)
對V求導(dǎo)得
(22)
將式(18)和式(20)代入式(22)，得
(23)
3.4 模糊規(guī)則的設(shè)計
w(t)用于補償未知擾動，太大會加劇控制器輸出的抖振程度，太小會降低系統(tǒng)的控制精確度。這里采用模糊推理來估計切換增益，這樣不僅可以滿足滑模存在條件，而且也可以選取一個合適的增益值，以削弱抖振[16]。
其中：NB、NM、ZO、PM、PB分別對應(yīng)負大、負中、零、正中、正大。輸入、輸出的模糊論域均為[-1， +1]。模糊系統(tǒng)的輸入、輸出隸屬函數(shù)均為如圖2所示。
圖2 模糊輸入和輸出的隸屬函數(shù)
對模糊系統(tǒng)的輸出進行積分，得到對切換增益上界的估計為
(24)
u=
(25)
4 仿真研究
LMSLM控制系統(tǒng)的仿真框圖如圖3所示，系統(tǒng)的位置環(huán)節(jié)是用的模糊分數(shù)階滑模控制器，電流環(huán)用的是傳統(tǒng)PI控制器。
圖3 LMLSM磁懸浮控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
LMLSM參數(shù)為：電樞電阻Rs=1.2 Ω,直交軸電感Ld=Lq=0.018 74 H，直軸主電感Lmd=0.095 H，極距τ=0.048 m，極對數(shù)Pn=3，電機動子以及平臺質(zhì)量M=10 kg，勵磁電流if=5 A。
模糊分數(shù)階滑?？刂破鲄?shù)設(shè)置如下：
c=885,λ=1.6,α=0.1,c0=3.5×104，
用Simulink對所提控制策略進行仿真研究，并與PI控制器、傳統(tǒng)積分型滑?？刂?SMC)以及文獻[17]提出的模糊滑?？刂?FSMC)進行對比。
1)分析可控勵磁直線磁懸浮同步電動機啟動性能。如圖4和圖5所示。
圖4 啟動時磁懸浮氣隙高度響應(yīng)曲線
圖5 啟動時磁懸浮氣隙高度穩(wěn)態(tài)誤差曲線
由圖4可以看出，采用PI控制，約0.18 s到達給定的懸浮氣隙高度；采用SMC控制的系統(tǒng)響應(yīng)約0.10 s達到給定的懸浮高度；采用FSMC控制的系統(tǒng)響應(yīng)約0.08 s達到給定的懸浮高度；采用的FFSMC控制的系統(tǒng)響應(yīng)最快，約0.05 s到達給定的懸浮高度。
由圖5可以看出，F(xiàn)FSMC穩(wěn)態(tài)誤差最小，PI控制有明顯的誤差。通過對比FFSMC控制啟動性能要優(yōu)于其他3種控制。
2)分析可控勵磁直線磁懸浮同步電動機在額定負載(20～30%)干擾下的抗干擾性能。在0.3 s加入了30 N的階躍負載擾動，并在0.6 s時去除了擾動。如圖6和圖7所示。
由圖6可以看出，采用PI控制，懸浮氣隙高度動態(tài)降落大，約4.5×10-5m，恢復(fù)時間約為0.2 s，抗干擾能力差；采用SMC控制，懸浮氣隙高度動態(tài)降落約為2.9×10-5m，恢復(fù)時間為0.05 s；采用FSMC控制，懸浮氣隙高度動態(tài)降落約1.8×10-5m，恢復(fù)時間約0.03 s；采用FFSMC控制，懸浮氣隙高度動態(tài)降落約2×10-6m，恢復(fù)時間約0.015 s。
圖6 突加階躍擾動時的磁懸浮氣隙高度的響應(yīng)曲線
由圖7可以看出，采用PI控制，抖振幅值約為0.005 A，恢復(fù)時間約0.41 s；采用SMC控制，抖振幅值約0.061 A，恢復(fù)時間約0.38 s；采用FSMC控制，抖振幅值約0.025 A，恢復(fù)時間約0.35 s；采用FFSMC控制，抖振幅值約0.012 A，恢復(fù)時間約0.31 s。通過對比4種控制策略，F(xiàn)FSMC控制在突加負載擾動時的抗干擾能力明顯高于其他3種控制且輸出勵磁電流控制量抖振幅值更小，恢復(fù)時間更快。
圖7 突加階躍擾動時勵磁電流的響應(yīng)曲線
3)分析直線電機端部效應(yīng)對系統(tǒng)影響，在0.3 s時加入f=15sin(20t)N的正弦擾動。如圖8和圖9所示。
圖8 突加正弦擾動時磁懸浮氣隙高度的響應(yīng)曲線
圖9 突加正弦擾動時勵磁電流響應(yīng)曲線
通過對比可以看出，F(xiàn)FSMC控制在抑制端部效應(yīng)的能力上強于其他3種算法，并且有效的削弱了控制器輸出的抖振。
5 結(jié) 論
針對進給平臺LMLSM磁懸浮系統(tǒng)，研究了一種模糊分數(shù)階滑?？刂品椒?，得到結(jié)論如下：
1)對LMLSM的結(jié)構(gòu)和懸浮系統(tǒng)的懸浮機理進行分析，根據(jù)LMLSM的懸浮系統(tǒng)的電壓方程、磁鏈方程以及運動方程，推導(dǎo)出磁懸浮力方程和系統(tǒng)的狀態(tài)方程，因懸浮系統(tǒng)受到的力隨負載變化，具有不確定性，將其作為擾動處理。
2)提出了模糊分數(shù)階滑模的控制方法，在位置控制器中構(gòu)造了分數(shù)階滑模面，通過模糊分數(shù)階滑?？刂破骺刂拼艖腋「叨?。所提分數(shù)階滑模面與傳統(tǒng)滑模面相比，額外的積分和微分算子提供更高的自由度和穩(wěn)定性，可以有效提高系統(tǒng)的控制性能。
3)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)對設(shè)計的分數(shù)階滑模控制器進行穩(wěn)定性分析，并選取合適的趨近律，采用模糊推理來估計切換增益，以消除不確定性擾動的影響，達到削弱抖振的目的。
4)FFSMC控制策略與PI控制、傳統(tǒng)積分型滑模控制以及模糊滑模控制方法進行對比，并通過MATLAB仿真驗證論文所提方法的控制有效性。仿真結(jié)果表明，文章所提的控制方法空載啟動的調(diào)節(jié)時間減少了37.5%，突加負載時動態(tài)降落減少了88.9%，恢復(fù)時間減小了50%，具有穩(wěn)態(tài)誤差小，調(diào)節(jié)時間和恢復(fù)時間短，抗擾性較強以及減小抖振的優(yōu)點，能有效提高磁懸浮系統(tǒng)的控制性能。
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0 引 言
傳統(tǒng)的數(shù)控機床進給平臺是通過旋轉(zhuǎn)電機和中間的傳動裝置來實現(xiàn)直線進給，但是這種驅(qū)動方式會增加進給平臺和靜止導(dǎo)軌之間的摩擦，從而影響進給平臺的高速性和高精確度[1-2]。
直線磁懸浮同步電動機(linear magnetic levitation synchronous motor，LMLSM)實現(xiàn)了進給平臺和靜止導(dǎo)軌之間的相對獨立[3]。水平方向產(chǎn)生電磁推力實現(xiàn)進給運動，垂直方向產(chǎn)生磁懸浮力使進給平臺穩(wěn)定懸浮，從根本上解決了傳統(tǒng)機床進給平臺的摩擦問題。但由于取消了中間的傳動裝置，會使外界擾動等不確定性作用在LMLSM上，加上直線電機固有的端部效應(yīng)，使系統(tǒng)的精確控制變得更加困難。因此，設(shè)計控制性能良好的控制器，消除不確定因素對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，是能否成功設(shè)計出控制系統(tǒng)的重要指標[4]。
滑模變結(jié)構(gòu)控制[5]可以使系統(tǒng)的狀態(tài)隨著目標方向去變化，沒有固定的結(jié)構(gòu)，且滑模面可以自由設(shè)計與被控對象和外界擾動無關(guān)。這就使滑模變結(jié)構(gòu)控制具有很強的魯棒性，但是滑?？刂浦幸驗橛胁贿B續(xù)開關(guān)特性的存在導(dǎo)致了抖振的產(chǎn)生，高頻抖振會激發(fā)在建模中被忽略的高頻動態(tài)特性，對系統(tǒng)的性能造成嚴重影響。已有諸多文獻致力于滑模控制在永磁同步電機中應(yīng)用，大致分為三類：傳統(tǒng)滑模控制、高階滑?？刂埔约芭c先進控制方法相結(jié)合。文獻[6]提出了二階滑模觀測器來在線估計凸極永磁同步電動機定子電阻，用超螺旋算法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的符號函數(shù)，提高了系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性，擴大了無傳感器控制的運行范圍。文獻[7]提出了一種基于積分滑模面的永磁同步電機模糊滑?？刂品椒ǎ軌?qū)崿F(xiàn)永磁同步電機在不確定性突變負載轉(zhuǎn)矩下的高精確度、穩(wěn)定運行。雖然用模糊控制削弱了因為積分型滑模面帶來的抖振，但抖振仍影響著系統(tǒng)的控制精確度。近兩年有文獻提出分數(shù)階滑?？刂频睦砟?，為滑模控制策略的發(fā)展提供了新的方向。文獻[8]提出了分數(shù)階積分型符號函數(shù)，替換傳統(tǒng)的滑?？刂浦械姆柡瘮?shù)并運用到永磁同步電機的控制中，分數(shù)階次的趨近率能夠更好的抑制抖振，仿真和實驗結(jié)果證明該方法具有一定優(yōu)勢。文獻[9]構(gòu)造了分數(shù)階滑?？刂破饔糜谡{(diào)整風(fēng)機功率。與傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂葡啾龋謹?shù)階滑?？刂破骺刂乒β示_性更高，且能夠消除無功功率中的紋波。但因為控制器輸入的維數(shù)低于被控系統(tǒng)的階數(shù)，所以不能保證狀態(tài)變量具有全局魯棒性且衰減速度較慢。
受文獻[7,9,17]的啟發(fā)，本文構(gòu)造分數(shù)階積分型滑模面代替?zhèn)鹘y(tǒng)積分型滑模面，在分數(shù)階滑模面中引入低次積分項作進一步優(yōu)化；設(shè)計分數(shù)階滑模控制器用于控制直線磁懸浮同步電動機，并用模糊控制的逼近特性估計飽和函數(shù)的增益，削弱較大切換增益導(dǎo)致的抖振。仿真結(jié)果證明該控制策略較已有控制策略有一定優(yōu)勢。
1 LMLSM的數(shù)學(xué)模型和運行機理
LMLSM磁懸浮進給平臺結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由平臺基座、運動平臺、光柵尺、電渦流傳感器、輔助導(dǎo)軌、LMLSM構(gòu)成。
圖1 LMLSM磁懸浮進給平臺結(jié)構(gòu)圖
輔助導(dǎo)軌下面纏繞著定子繞組，在通入直流電流后，在動子平臺與輔助導(dǎo)軌之間的氣隙中產(chǎn)生平穩(wěn)的勵磁磁場，勵磁磁場對運動平臺里的鐵心產(chǎn)生吸引力使其懸浮。當(dāng)磁懸浮力與懸浮平臺的重力相等時可實現(xiàn)平臺的穩(wěn)定懸浮，通過調(diào)節(jié)勵磁電流可以改變懸浮力大小。
動子平臺里纏繞電樞繞組，在通入三相交流電流后，會在動子平臺與輔助導(dǎo)軌之間的氣隙中產(chǎn)生水平移動的行波磁場，行波磁場與勵磁磁場相互作用產(chǎn)生水平的電磁推力，推動動子平臺直線運行。
2 LMLSM的數(shù)學(xué)模型
直線電機與普通旋轉(zhuǎn)電機的數(shù)學(xué)模型相比要復(fù)雜很多。為了便于分析，簡化模型，做如下假設(shè)[10]：
1)忽略電機鐵心飽和，電機磁路為線性的；
2)忽略直線同步電機的端部效應(yīng)；
3)不計電機鐵心的渦流與磁滯損耗；
4)電樞繞組中通入三相對稱電流。
根據(jù)以上假設(shè)，推導(dǎo)出直線同步電機d-q軸系下的電壓方程和磁鏈方程[11]。
電壓方程：
(1)
磁鏈方程:
(2)
式中：ud、uq為d、q軸的電壓分量，uf為磁極勵磁的電壓分量；id、iq為d、q軸的電流分量，if為磁極勵磁的電流分量；ψd、ψq為d、q軸的磁鏈，ψf為勵磁磁極磁鏈分量；Lmd、Lmq為d、q軸的主電感，Lσ為電樞繞組的漏感；Lσf為勵磁繞組的漏感；rs為電樞繞組的電阻；rf為磁極勵磁繞組的電阻。
電機的懸浮力是由氣隙中的合成磁場對定動子的吸引力，采用id=0的矢量控制懸浮力[12]為
(3)
垂直方向的運動方程為
(4)
式中：m為動子平臺的重量；v為運動平臺的運動速度，v=2fτ；f為電源供電頻率；δ為動子平臺實際懸浮的氣隙高度；fy為不確定性擾動；Ld=Lσ+Lmd，Lσ不隨懸浮氣隙高度變化；K是磁懸浮系數(shù)，K=5.659×10-6。動子平臺上動子繞組產(chǎn)生的電樞磁場對輔助導(dǎo)軌上定子繞組產(chǎn)生勵磁磁場產(chǎn)生的影響，在這里作為擾動處理。因此，垂直方向總擾動為
(5)
(6)
3 滑模控制器的設(shè)計
3.1 構(gòu)造分數(shù)階滑模面
分數(shù)階微積分的概念是在整數(shù)階微積分的概念上提出來的[13]。在眾多不同類型的分數(shù)階微積分中，Caputo型因其定義形式簡潔，運算方便得到了廣泛的應(yīng)用。
定義1f(t)的α階Caputo型微分[14]為
(7)
式中：C代表微積分類型，a是初始條件，α是階次。Γ(σ)為伽瑪函數(shù)，σ=[n]+1-n，[n]為小于n的最大整數(shù)。
定義2 誤差e為
e=δ*-δ。
(8)
其中：δ*為懸浮高度的參考值，δ*=0.002 5 m，δ為實際觀測值,δ0=0.003 m為初始懸浮高度。
定義3sig(e)γ定義為
sig(e)γ=|e|γsgn(e)。
(9)
式中sgn(e)是符號函數(shù)，表達式為
(10)
sig(e)γ為誤差的低次項，使得狀態(tài)量在有限時間內(nèi)收斂到零。
定義4 分數(shù)階滑模面為
(11)
設(shè)廣義擾動有界，即|f|≤D,D為正常數(shù)。a為初始條件。c、λ、c0、b0均為正常數(shù)。0<α,γ<1。
3.2 趨近律的設(shè)計
定義5 趨近律為
(12)
(13)
式中Δ為邊界層厚度。選取飽和函數(shù)代替符號函數(shù)可以有效減小抖振。
3.3 分數(shù)階滑模控制器的設(shè)計
定理1 對被控對象(6)，其分數(shù)階滑?？刂坡蔀?/p>
u=
(14)
證明1 將式(11)兩邊對時間t求導(dǎo)得
(15)
根據(jù)Caputo微分性質(zhì)[15]可得
(16)
聯(lián)立趨近律表達式(12)和式(16)得
(17)
由式(4)可得氣隙懸浮高度誤差e的二階導(dǎo)數(shù)為
(18)
將式(18)代入式(17)可得
u=
(19)
定理2 對被控對象(6)分數(shù)階滑?？刂坡?/p>
u=
(20)
是保證系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器。
證明2 構(gòu)造Lyapunov函數(shù)
(21)
對V求導(dǎo)得
(22)
將式(18)和式(20)代入式(22)，得
(23)
3.4 模糊規(guī)則的設(shè)計
w(t)用于補償未知擾動，太大會加劇控制器輸出的抖振程度，太小會降低系統(tǒng)的控制精確度。這里采用模糊推理來估計切換增益，這樣不僅可以滿足滑模存在條件，而且也可以選取一個合適的增益值，以削弱抖振[16]。
其中：NB、NM、ZO、PM、PB分別對應(yīng)負大、負中、零、正中、正大。輸入、輸出的模糊論域均為[-1， +1]。模糊系統(tǒng)的輸入、輸出隸屬函數(shù)均為如圖2所示。
圖2 模糊輸入和輸出的隸屬函數(shù)
對模糊系統(tǒng)的輸出進行積分，得到對切換增益上界的估計為
(24)
u=
(25)
4 仿真研究
LMSLM控制系統(tǒng)的仿真框圖如圖3所示，系統(tǒng)的位置環(huán)節(jié)是用的模糊分數(shù)階滑模控制器，電流環(huán)用的是傳統(tǒng)PI控制器。
圖3 LMLSM磁懸浮控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
LMLSM參數(shù)為：電樞電阻Rs=1.2 Ω,直交軸電感Ld=Lq=0.018 74 H，直軸主電感Lmd=0.095 H，極距τ=0.048 m，極對數(shù)Pn=3，電機動子以及平臺質(zhì)量M=10 kg，勵磁電流if=5 A。
模糊分數(shù)階滑?？刂破鲄?shù)設(shè)置如下：
c=885,λ=1.6,α=0.1,c0=3.5×104，
用Simulink對所提控制策略進行仿真研究，并與PI控制器、傳統(tǒng)積分型滑?？刂?SMC)以及文獻[17]提出的模糊滑?？刂?FSMC)進行對比。
1)分析可控勵磁直線磁懸浮同步電動機啟動性能。如圖4和圖5所示。
圖4 啟動時磁懸浮氣隙高度響應(yīng)曲線
圖5 啟動時磁懸浮氣隙高度穩(wěn)態(tài)誤差曲線
由圖4可以看出，采用PI控制，約0.18 s到達給定的懸浮氣隙高度；采用SMC控制的系統(tǒng)響應(yīng)約0.10 s達到給定的懸浮高度；采用FSMC控制的系統(tǒng)響應(yīng)約0.08 s達到給定的懸浮高度；采用的FFSMC控制的系統(tǒng)響應(yīng)最快，約0.05 s到達給定的懸浮高度。
由圖5可以看出，F(xiàn)FSMC穩(wěn)態(tài)誤差最小，PI控制有明顯的誤差。通過對比FFSMC控制啟動性能要優(yōu)于其他3種控制。
2)分析可控勵磁直線磁懸浮同步電動機在額定負載(20～30%)干擾下的抗干擾性能。在0.3 s加入了30 N的階躍負載擾動，并在0.6 s時去除了擾動。如圖6和圖7所示。
由圖6可以看出，采用PI控制，懸浮氣隙高度動態(tài)降落大，約4.5×10-5m，恢復(fù)時間約為0.2 s，抗干擾能力差；采用SMC控制，懸浮氣隙高度動態(tài)降落約為2.9×10-5m，恢復(fù)時間為0.05 s；采用FSMC控制，懸浮氣隙高度動態(tài)降落約1.8×10-5m，恢復(fù)時間約0.03 s；采用FFSMC控制，懸浮氣隙高度動態(tài)降落約2×10-6m，恢復(fù)時間約0.015 s。
圖6 突加階躍擾動時的磁懸浮氣隙高度的響應(yīng)曲線
由圖7可以看出，采用PI控制，抖振幅值約為0.005 A，恢復(fù)時間約0.41 s；采用SMC控制，抖振幅值約0.061 A，恢復(fù)時間約0.38 s；采用FSMC控制，抖振幅值約0.025 A，恢復(fù)時間約0.35 s；采用FFSMC控制，抖振幅值約0.012 A，恢復(fù)時間約0.31 s。通過對比4種控制策略，F(xiàn)FSMC控制在突加負載擾動時的抗干擾能力明顯高于其他3種控制且輸出勵磁電流控制量抖振幅值更小，恢復(fù)時間更快。
圖7 突加階躍擾動時勵磁電流的響應(yīng)曲線
3)分析直線電機端部效應(yīng)對系統(tǒng)影響，在0.3 s時加入f=15sin(20t)N的正弦擾動。如圖8和圖9所示。
圖8 突加正弦擾動時磁懸浮氣隙高度的響應(yīng)曲線
圖9 突加正弦擾動時勵磁電流響應(yīng)曲線
通過對比可以看出，F(xiàn)FSMC控制在抑制端部效應(yīng)的能力上強于其他3種算法，并且有效的削弱了控制器輸出的抖振。
5 結(jié) 論
針對進給平臺LMLSM磁懸浮系統(tǒng)，研究了一種模糊分數(shù)階滑?？刂品椒?，得到結(jié)論如下：
1)對LMLSM的結(jié)構(gòu)和懸浮系統(tǒng)的懸浮機理進行分析，根據(jù)LMLSM的懸浮系統(tǒng)的電壓方程、磁鏈方程以及運動方程，推導(dǎo)出磁懸浮力方程和系統(tǒng)的狀態(tài)方程，因懸浮系統(tǒng)受到的力隨負載變化，具有不確定性，將其作為擾動處理。
2)提出了模糊分數(shù)階滑模的控制方法，在位置控制器中構(gòu)造了分數(shù)階滑模面，通過模糊分數(shù)階滑?？刂破骺刂拼艖腋「叨?。所提分數(shù)階滑模面與傳統(tǒng)滑模面相比，額外的積分和微分算子提供更高的自由度和穩(wěn)定性，可以有效提高系統(tǒng)的控制性能。
3)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)對設(shè)計的分數(shù)階滑模控制器進行穩(wěn)定性分析，并選取合適的趨近律，采用模糊推理來估計切換增益，以消除不確定性擾動的影響，達到削弱抖振的目的。
4)FFSMC控制策略與PI控制、傳統(tǒng)積分型滑模控制以及模糊滑模控制方法進行對比，并通過MATLAB仿真驗證論文所提方法的控制有效性。仿真結(jié)果表明，文章所提的控制方法空載啟動的調(diào)節(jié)時間減少了37.5%，突加負載時動態(tài)降落減少了88.9%，恢復(fù)時間減小了50%，具有穩(wěn)態(tài)誤差小，調(diào)節(jié)時間和恢復(fù)時間短，抗擾性較強以及減小抖振的優(yōu)點，能有效提高磁懸浮系統(tǒng)的控制性能。
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