斷層影響區(qū)內(nèi)隧道涌水的Goodman解析解

成國(guó)文，李鮚，傅鶴林，安鵬濤

(1.廣東省南粵交通投資建設(shè)有限公司，廣東 廣州 510101；2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

山嶺隧道穿越斷層破碎帶，常會(huì)遇到富存地下水的情況從而可能導(dǎo)致涌水塌方等事故，影響施工安全和施工質(zhì)量[1]。所以，根據(jù)工程地質(zhì)資料和水文資料，進(jìn)行隧道涌水量預(yù)測(cè)，具有重要的意義。有關(guān)隧道穿越普通富水地層的涌水量預(yù)測(cè)，學(xué)者們做了許多研究。EL TANI[2]采用復(fù)變函數(shù)保角變換的原理，得到了在半無(wú)限地層條件下圓形隧道的涌水量大小；PARK 等[3]在此基礎(chǔ)上，對(duì)隧道和水位線方程進(jìn)行優(yōu)化，得到了水下隧道涌水量的解析解；李鵬飛等[4]比較分析了各種隧道常規(guī)涌水量預(yù)測(cè)方法的差異，指出各類方法的局限性和適用條件。除了普通圍巖外，隧道在特殊地區(qū)，例如軟土地區(qū)、斷層區(qū)域的涌水量預(yù)測(cè)也有相應(yīng)的研究成果，張丙強(qiáng)等[5]考慮了軟土地層中非達(dá)西滲流的影響，推導(dǎo)了軟土隧道的非達(dá)西滲流解析解；HWANG 等[6]采用卷積反卷積方法，對(duì)隧道揭露傾斜含水層時(shí)掌子面的涌水量進(jìn)行了理論求解；王媛等[7]利用有限元分析方法，采用共軛梯度迭代法，建立了非達(dá)西流有限元模型，并用此模型預(yù)測(cè)了深埋隧道在斷層破碎帶的涌水量；DENG 等[8]利用地下水徑流模數(shù)法、降雨入滲系數(shù)法、good‐man地下水動(dòng)力學(xué)方法對(duì)比計(jì)算了隧道在深埋斷層區(qū)高應(yīng)力高水壓條件下的涌水量，發(fā)現(xiàn)goodman地下水動(dòng)力學(xué)方法能夠達(dá)到較高的精度；師文豪等[9]建立了耦合Darcy 方程、Forchheimer 方程和Navier-Stokes方程的突水非達(dá)西流模型，并通過(guò)有限元的方法模擬了礦山巷道在遇到破碎巖體時(shí)突水的演化過(guò)程；ZHAO 等[10]通過(guò)試驗(yàn)手段研究了隧道在斷層破碎區(qū)的涌水特征；朱彬彬等[11]在滲流微分方程的基礎(chǔ)上，提出了隧道在富水?dāng)鄬涌厮Ｐ椭械挠克抗?。可以看出，在邊界條件較為簡(jiǎn)單的普通地層水下隧道涌水量計(jì)算中，目前已有很多較為精確的隧道滲流場(chǎng)分布及涌水量大小解析解。但在遇到斷層的特殊地區(qū)，解析求解則會(huì)變得極為復(fù)雜，所以大部分研究都是憑借經(jīng)驗(yàn)公式、有限元數(shù)值計(jì)算或試驗(yàn)手段對(duì)涌水量進(jìn)行預(yù)測(cè)。此外，在斷層構(gòu)造帶區(qū)域，由斷層中心地帶向兩側(cè)會(huì)呈現(xiàn)出明顯的地質(zhì)分區(qū)特征[12]，在斷層中心地帶，巖體較為破碎，為斷層破碎區(qū)Ⅰ，在Ⅰ區(qū)之外一定范圍內(nèi)屬于斷層影響區(qū)Ⅱ，該區(qū)節(jié)理裂隙較為發(fā)育，且分布分散，在Ⅱ區(qū)之外，則為普通巖體區(qū)Ⅲ。其中，斷層破碎區(qū)Ⅰ水害主要發(fā)生在隧道揭露斷層時(shí)，掌子面發(fā)生的突涌水，HWANG 等[6]利用卷積反卷積方法給出了相關(guān)半解析解，而在普通巖體區(qū)Ⅲ的隧道涌水量計(jì)算也誕生了較多的工作，而在斷層影響區(qū)Ⅱ，則少有學(xué)者給出解析解答。所以本文通過(guò)斷層等效的方式簡(jiǎn)化了模型，并利用鏡像疊加原理表征了地表和斷層面的供水邊界影響，然后推導(dǎo)了在斷層影響區(qū)域隧道滲流場(chǎng)的Goodman 解析解，通過(guò)與數(shù)值模擬對(duì)比，驗(yàn)證了該解析方式的合理性和適用性。

1 斷層影響范圍隧道滲流模型的提出

在存在斷層的地下空間，隧道掌子面的橫斷面內(nèi)，隧道與斷層的關(guān)系，如圖1所示。

圖1 橫剖面內(nèi)隧道與斷層的幾何關(guān)系Fig.1 Geometric relationship between tunnel and fault in cross section

在圖1 中，H1為隧道到地下水位面的垂直距離，a為橫斷面內(nèi)隧道中心到斷層面與水位面交點(diǎn)的水平距離，α角為橫斷面內(nèi)斷層傾角，為了減少斷層傾角帶來(lái)解析計(jì)算中的困難，文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[13]將圖1 中的原始傾斜斷層等效為垂直斷層，如圖2所示，其中，H2為等效模型中隧道與斷層之間的等效距離。文獻(xiàn)[11]中將原始模型中隧道到斷層的垂直距離視為等效距離，但是注意到當(dāng)視傾角α趨近于0 時(shí)，即地下滲流變?yōu)榘霟o(wú)限空間滲流，此時(shí)，=H1，這與實(shí)際存在差異，相比之下，文獻(xiàn)[13]中將原始模型中隧道到斷層的水平距離作為等效距離更符合實(shí)際。所以，本文將在此模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行隧道滲流場(chǎng)的解析推導(dǎo)。

圖2 等效斷層模型Fig.2 Equivalent fault model

2 滲流解析求解

斷層作為滲流補(bǔ)給邊界，本文擬采用鏡像疊加的原理將斷層邊界的影響用虛擬隧道來(lái)代替，從而把有限的滲流區(qū)化為虛構(gòu)的無(wú)限滲流區(qū)，把求解斷層邊界附近的隧道排水問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為無(wú)限含水層中實(shí)際隧道和虛擬隧道同時(shí)排(注)水問(wèn)題。模型示意圖如圖3所示。

圖3 斷層影響區(qū)地下滲流模型Fig.3 Underground seepage model in fault-affected area

在上述模型中，隧道半徑為R，實(shí)體隧道T1分別以水位面和等效斷層面為鏡像面生成2個(gè)虛擬供水隧道T2和T3，同時(shí)T2和T3又分別以等效斷層面和水位面為鏡像面生成虛擬排水隧道T4，各個(gè)隧道以中心為原點(diǎn)建立極坐標(biāo)，同時(shí)實(shí)體隧道T1還以中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系統(tǒng)，則地層中某點(diǎn)A在各隧道坐標(biāo)系上的半徑距離分別為ρ1，ρ2，ρ3和ρ4，根據(jù)余弦定理，各半徑關(guān)系如式(1)。

同時(shí)模型采用Goodman 假定：在無(wú)限滲流區(qū)范圍內(nèi)，單個(gè)隧道排水近似井流排水，即滿足：

其中：K為滲透系數(shù)，m/h；h為總水頭值，m；ρ為土體中某點(diǎn)到隧道中心的距離，m。

模型邊界條件為：1) 水位面為恒定水頭，即z=H1時(shí)，h=H1；2)斷層內(nèi)部作為良好的蓄水空間，其水頭值也為恒定值，即x=H2時(shí)，h=H1；3) 隧道開(kāi)挖后，其輪廓線為自由出水界面，所以該界面水頭等于其位置水頭，即ρ1=R時(shí)，h=R· sinθ。

根據(jù)疊加原理，在多個(gè)排(供)水源的影響下，地下滲流場(chǎng)為各個(gè)排(供)水源影響下的子滲流場(chǎng)的線性疊加，以滿足滲流連續(xù)性微分方程，即h=，在上述假定的條件下，單個(gè)隧道在無(wú)限滲流空間的水頭分布為h=lnρ+C，則在如圖3所示的模型中，地下滲流場(chǎng)水頭可由式(3)表示。

其中：C1到C5均為常數(shù)，通過(guò)邊界條件求得。將式(3)代入上述邊界條件。1) 當(dāng)z=H1時(shí)，即ρ1=ρ2，ρ3=ρ4，則

2)當(dāng)x=H2時(shí)，即ρ1=ρ3，ρ2=ρ4，則

3)當(dāng)ρ1=R時(shí)，則

此外，還可以借助一個(gè)特殊點(diǎn)輔助求解，即圖3中的B點(diǎn)，此時(shí)ρ1=ρ2=ρ3=ρ4=，則

注意到因?yàn)樗淼繲1和T2反對(duì)稱，對(duì)B點(diǎn)水頭貢獻(xiàn)數(shù)值相等，正負(fù)相反，所以C1=-C2，同理，C3=-C4，由于T1和T4正對(duì)稱，則C1=C4，所以

由上式可知，邊界條件1)和2)自動(dòng)滿足，式(8)則可寫(xiě)成

將ρ1=R和式(1)代入式(9)，可得

由式(12)注意到C與變量θ有關(guān)，這與其常數(shù)的屬性不符，主要由于Goodman 井流假定與隧道輪廓線水頭值為其位置水頭的假定存在差異，盡管如此，仍然可以對(duì)式(10)進(jìn)行探討。由式(10)可以得到在H1，H2不變的情況下，C與θ和隧道半徑R的變化關(guān)系，此處取H1=35 m，H2=30 m，以及H2，R不變的情況下，C與θ和H1的變化關(guān)系，此處取H2=30 m，R=5 m，計(jì)算結(jié)果如圖4 和圖5所示。

圖4 C與θ以及隧道半徑R的敏感性分析Fig.4 Chart of sensitivity analysis of C to θ and R

圖5 C與θ以及H1的敏感性分析Fig.5 Chart of sensitivity analysis of C to θ and H1

可以看出，C對(duì)θ的敏感程度遠(yuǎn)比R和H1小，且當(dāng)隧道半徑R越小，H1越大時(shí)，θ對(duì)C的影響越小，尤其當(dāng)H1遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于R時(shí)，C幾乎為常數(shù)。此外，由式(10)可以看出C為關(guān)于θ的周期函數(shù)，所以本文取C-θ曲線波峰波谷的平均值作為C的均值，經(jīng)過(guò)計(jì)算，θ=0 時(shí)，所得的C即為均值，所以式(10)可寫(xiě)成式(11)。

此式在隧道小半徑大埋深條件下更為適用。將式(8)和式(11)代入式(3)，可得到滲流場(chǎng)水頭表達(dá)式。

得到斷層影響區(qū)的水頭分布后，便可得到隧道的涌水值，如下式所示。

3 數(shù)值模擬驗(yàn)證

為了驗(yàn)證式(12)和式(13)的合理性，本文利用abaqus 對(duì)包含傾斜斷層不同的工況進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，同時(shí)將傾斜斷層對(duì)應(yīng)的等效豎向斷層工況利用式(12)和式(13)進(jìn)行解析求解，并對(duì)比兩者的計(jì)算結(jié)果。數(shù)值模型建立如圖6 所示，模型長(zhǎng)500 m，高200 m，隧道半徑取為6 m，模型采用穩(wěn)態(tài)滲流，以隧道軸線高程的水平面為基準(zhǔn)面，令其豎直方向?yàn)閦方向，在水位面和斷層面上，設(shè)置總水頭值為恒定值H1，同時(shí)，代表地層無(wú)限遠(yuǎn)處的模型水位面以下左右邊界也恒定為H1，底部邊界為不透水邊界，而隧道開(kāi)挖后其輪廓線孔隙水壓為0，則圍巖總水頭值即為z值，因?yàn)槟Ｐ椭攸c(diǎn)關(guān)注地下水滲流場(chǎng)變化，所以約束了土體所有的位移自由度。

圖6 傾斜斷層數(shù)值模型Fig.6 Numerical model diagram of inclined fault

解析模型建立同圖2，滲透系數(shù)K取為0.18 m/h，模型幾何參數(shù)及隧道涌水量Q計(jì)算結(jié)果如表3所示。

由表3 可以看出，式(12)和式(13)所得到的隧道涌水量解析解與數(shù)值計(jì)算結(jié)果有一定的差距，但隨著隧道埋深的增加，此差距逐漸縮小，且解析解求得的Q隨視傾角α變化的趨勢(shì)與數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果一致。所以利用式(12)和式(13)計(jì)算斷層影響區(qū)內(nèi)圍巖的滲流場(chǎng)及其隧道涌水量具備一定的適用性。

表3 對(duì)比模型幾何參數(shù)及涌水量結(jié)果對(duì)比Table 3 Geometric parameters of the model and comparison of the results of water inflow

4 地層幾何參數(shù)敏感性分析

利用式(12)和式(13)，以隧道涌水量作為計(jì)算指標(biāo)，來(lái)分析斷層影響區(qū)內(nèi)，地層各幾何參數(shù)對(duì)隧道涌水量影響規(guī)律。本文建立了考慮3種幾何參數(shù)的組合工況，分別為H1=15 m，35 m，55 m，75 m，a=10 m，30 m，50 m，70 m，α=40°，50°，60°，70°，互相組合，總共64 種工況，并對(duì)各工況的隧道涌水量進(jìn)行計(jì)算，在各模型中，隧道半徑R取為6 m，滲透系數(shù)K同樣取為0.18 m/h。

利用控制變量法，計(jì)算并統(tǒng)計(jì)了各工況下涌水量Q隨隧道中心到水位線的距離H1的變化曲線，如圖7所示；涌水量Q隨橫斷面內(nèi)隧道中心到斷層與水位面交點(diǎn)的水平距離a的變化曲線，如圖8 所示；以及涌水量Q隨斷層視傾角α的變化曲線，如圖9所示。

圖7 各工況Q隨H1變化的曲線Fig.7 Curves of Q variation with H1 under different working conditions

圖8 各工況Q隨a變化曲線Fig.8 Curves of Q variation with‘a(chǎn)’under different working conditions

由圖7 可以看出，當(dāng)a和α不變時(shí)，隧道涌水量Q與H1呈現(xiàn)近似線性關(guān)系，隧道離水位線的距離越遠(yuǎn)，涌水量越大，且隨著隧道與斷層的距離逐漸變小，Q增長(zhǎng)的斜率逐漸變大；而由圖8 和圖9可以看出，各工況涌水量變化曲線隨著H1不同而表現(xiàn)明顯的分簇，各簇曲線的高度決定于H1的值，而a和α則在各自簇的范圍內(nèi)對(duì)曲線造成影響，說(shuō)明3 個(gè)幾何參數(shù)中，H1對(duì)涌水量的影響最大。此外，圖8 表現(xiàn)出當(dāng)H1不變時(shí)，若α較大，則曲線斜率變化也會(huì)較大，而α較小，曲線較緩，說(shuō)明α較小時(shí)，a對(duì)Q的影響也會(huì)變小，同樣，圖9 也表現(xiàn)出類似的規(guī)律，H1不變時(shí)，若a較小，α對(duì)Q的影響變大，反之，則α對(duì)Q的影響變小，經(jīng)過(guò)分析，這主要由于參數(shù)a和α均反映了隧道與斷層的距離，在解析解中，兩者均表現(xiàn)在隧道與等效斷層的等效距離H2上，當(dāng)a越大，α越小，則H2越大，說(shuō)明斷層補(bǔ)給邊界離隧道越遠(yuǎn)，隧道涌水量也越小。

5 結(jié)論

1) 利用鏡像疊加的原理將水位面邊界和斷層邊界對(duì)滲流場(chǎng)的影響用虛擬隧道來(lái)代替，同時(shí)基于無(wú)限滲流區(qū)內(nèi)井流理論，并考慮等效模型的邊界條件，推導(dǎo)了在斷層影響區(qū)內(nèi)，與斷層走向較為平行的隧道開(kāi)挖引起的地下滲流場(chǎng)和隧道涌水量的Goodman 半解析解。通過(guò)數(shù)值模擬計(jì)算對(duì)比，此半解析解具備較好的適用性，尤其是深埋小斷面隧道。

2) 通過(guò)不同工況的滲流計(jì)算，分析了斷層影響區(qū)內(nèi)的地質(zhì)幾何參數(shù)對(duì)隧道涌水量的影響，認(rèn)為隧道離水位線的垂直距離H1對(duì)涌水量影響最大，當(dāng)H1不變時(shí)，近似呈線性關(guān)系，在不同等級(jí)的H1的工況下，涌水量大小出現(xiàn)明顯的分級(jí)。

3)在H1作為隧道涌水量主要影響因素前提下，斷層的傾角α以及橫斷面內(nèi)隧道到斷層與水位面交點(diǎn)的水平距離a也會(huì)放大或減弱H1的作用效果，α越大，涌水量越大，反之則越小，而a的影響效果則相反。