基于廣義柔度曲率矩陣對(duì)角指標(biāo)梁橋結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別研究

李杰，龐棟元，張軍鋒，杜國(guó)鵬

(鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別技術(shù)最早出現(xiàn)并廣泛應(yīng)用在機(jī)械、航空航天等領(lǐng)域，在土木工程領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別研究還多屬于基礎(chǔ)探索和早期應(yīng)用階段。這主要是因?yàn)橥聊竟こ探Y(jié)構(gòu)，特別是橋梁結(jié)構(gòu)是由多種材料、不同構(gòu)件組成的大型綜合系統(tǒng)，再考慮到結(jié)構(gòu)施工過(guò)程不確定性和運(yùn)營(yíng)服役環(huán)境復(fù)雜性，導(dǎo)致目前橋梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別有許多困難需要克服。經(jīng)過(guò)多年研究、發(fā)展和實(shí)踐，針對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別技術(shù)國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了許多方法。一些學(xué)者基于結(jié)構(gòu)應(yīng)變[1]、位移[2-3]、支反力[4-5]等靜力參數(shù)變化，提出了基于靜力響應(yīng)的損傷識(shí)別方法；由于結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性變化比靜力參數(shù)包含更多結(jié)構(gòu)狀態(tài)信息，所以多數(shù)研究基于信號(hào)類和模態(tài)類數(shù)據(jù)開(kāi)展動(dòng)力損傷識(shí)別，如基于固有頻率和置信準(zhǔn)則的損傷識(shí)別[6]，利用諧響應(yīng)曲線[7]及稀疏正則化[8]進(jìn)行懸臂梁損傷識(shí)別；一些學(xué)者對(duì)直接或間接利用實(shí)測(cè)振型損傷識(shí)別方法開(kāi)展探討和應(yīng)用研究[9-11]；PANDEY 等[12]最早提出曲率模態(tài)對(duì)損傷高度敏感，一些研究還討論了曲率模態(tài)在局部損傷識(shí)別中的應(yīng)用[13-15]；此外還有學(xué)者研究基于模態(tài)柔度[16-18]、模態(tài)應(yīng)變能[19]以及頻響函數(shù)[20]的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法[21-22]。從現(xiàn)有研究來(lái)看，大多數(shù)基于動(dòng)力特性的損傷識(shí)別方法都需要精心設(shè)計(jì)試驗(yàn)條件，忽略了實(shí)際損傷的未知性和隨機(jī)性；在損傷定位和損傷量化方面，基于梁?jiǎn)卧€剛度理論的損傷識(shí)別方法能識(shí)別出單元位置和單元線剛度損傷程度，但需要較多模態(tài)數(shù)據(jù)，在工程實(shí)際應(yīng)用中具有很大局限性。在動(dòng)力特性的損傷識(shí)別方法中，曲率類損傷指標(biāo)具有敏感性高、適用性好等優(yōu)點(diǎn)[23]，本文基于廣義柔度曲率矩陣，取損傷前后廣義柔度曲率矩陣列對(duì)角元素，以及對(duì)廣義柔度曲率矩陣列元素分別求1—范數(shù)和2—范數(shù)，構(gòu)造3個(gè)新的損傷指標(biāo)，通過(guò)簡(jiǎn)支梁算例對(duì)比這些指標(biāo)，進(jìn)一步通過(guò)2種不同截面簡(jiǎn)支梁損傷模擬，分析廣義柔度曲率矩陣對(duì)角指標(biāo)的敏感性和適用性，最后結(jié)合某連續(xù)剛構(gòu)橋檢測(cè)資料及該橋基準(zhǔn)模型，對(duì)本文提出的指標(biāo)進(jìn)行梁橋結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別數(shù)值模擬和驗(yàn)證分析。

1 基于廣義柔度矩陣損傷識(shí)別指標(biāo)構(gòu)建

結(jié)構(gòu)損傷導(dǎo)致動(dòng)力特性發(fā)生變化，通過(guò)動(dòng)力測(cè)試可以獲得包含結(jié)構(gòu)狀態(tài)信息的模態(tài)參數(shù)，很多學(xué)者基于模態(tài)參數(shù)變化提出了損傷定位和損傷程度識(shí)別方法。在這些方法中，基于柔度矩陣進(jìn)行損傷識(shí)別最受關(guān)注，其優(yōu)點(diǎn)是可以利用有限階次模態(tài)數(shù)據(jù)獲得對(duì)損傷非常敏感的柔度矩陣。

1.1 基于廣義柔度矩陣損傷指標(biāo)

1.1.1 廣義柔度矩陣基本原理

多自由度無(wú)阻尼體系自由振動(dòng)特征方程如式(1)。

式中：K為剛度矩陣；M為剛度矩陣；ω為模態(tài)頻率；φ為模態(tài)振型向量。對(duì)于任意i和k2 階模態(tài)，由式(1)可得式(2)及式(3)。

因此，可得結(jié)構(gòu)模態(tài)質(zhì)量矩陣和模態(tài)剛度矩陣分別由式(5)和式(6)表示。

式中：[m]和[k]表示由元素組成的對(duì)角矩陣。式(6)兩邊求逆，并由式(4)可得式(7)。

在式(7)兩邊同時(shí)左乘Φ及右乘ΦT，可得到結(jié)構(gòu)模態(tài)柔度矩陣表達(dá)式(8)。

在結(jié)構(gòu)的損傷模態(tài)滿足關(guān)于質(zhì)量矩陣歸一化條件下，即ΦTMΦ=I時(shí)：

文獻(xiàn)[24]提出廣義柔度矩陣表達(dá)式(10)。

式中：Φ表示結(jié)構(gòu)振型矩陣；Λ表示頻率平方構(gòu)成的對(duì)角矩陣，l=1,2,3…。從公式(10)可以看出，l越大，高階模態(tài)對(duì)廣義柔度貢獻(xiàn)越小，則利用低階模態(tài)估計(jì)廣義柔度矩陣精度得到大大提高。當(dāng)l=0 時(shí)，F(xiàn)0即前文普通柔度矩陣；當(dāng)l=1 時(shí)，即一階廣義模態(tài)柔度，如式(11)。

隨著廣義柔度次數(shù)增高，高階模態(tài)對(duì)廣義柔度影響就越來(lái)越小，也即通過(guò)低階模態(tài)數(shù)據(jù)，所計(jì)算高次廣義柔度計(jì)算值與精確值之間誤差會(huì)越來(lái)越小[23]，研究也表明1 階廣義柔度僅利用前2 階振型和頻率就可以獲得較高模態(tài)柔度精度[24]。

1.1.2 構(gòu)建損傷新指標(biāo)

本文采用前2 階豎向振型模態(tài)計(jì)算1 階廣義模態(tài)柔度，用表示廣義柔度矩陣，F(xiàn)表示普通柔度矩陣，振型滿足質(zhì)量歸一化條件時(shí)有式(12)。

結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)，根據(jù)損傷前后廣義柔度矩陣變化可以判斷損傷位置。對(duì)廣義柔度矩陣元素，按行列兩次差分得到廣義柔度矩陣曲率，記為。分別取損傷前后對(duì)角線元素，構(gòu)建損傷識(shí)別指標(biāo)(記為GFCCD)，見(jiàn)式(13)。

1.1.3 估算單元損傷程度

根據(jù)文獻(xiàn)[14]類推可知，中心差分法求得廣義柔度曲率指標(biāo)理論上也是節(jié)點(diǎn)損傷程度的反映。因此，可以根據(jù)節(jié)點(diǎn)損傷程度和單元損傷程度關(guān)系，計(jì)算單元損傷程度。分別以和代替損傷前后曲率，得節(jié)點(diǎn)損傷程度DIn估算公式(17)。

基于振型曲率與剛度的關(guān)系，得單元損傷程度DIe和節(jié)點(diǎn)損傷程度DIn關(guān)系(限于篇幅，詳細(xì)推導(dǎo)可參見(jiàn)文獻(xiàn)[17])，采用數(shù)值模擬擬合得到上述3個(gè)指標(biāo)節(jié)點(diǎn)損傷程度和單元損傷程度關(guān)系式。考慮到GFCCN1 和GFCCN2 的單元損傷程度計(jì)算參數(shù)相近，取統(tǒng)一近似計(jì)算關(guān)系式。GFCCD，GF‐CCN1和GFCCN2分別見(jiàn)式(18)和式(19)。

GFCCN1 和GFCCN2 在計(jì)算DIn和DIe時(shí)，每一種工況計(jì)算結(jié)果會(huì)出現(xiàn)不同基準(zhǔn)值，本文默認(rèn)減去基準(zhǔn)值，即取差值Δ作損傷指標(biāo)實(shí)際值。

由函數(shù)DIe=f(DIn)可得到單元損傷程度，但這些值是各節(jié)點(diǎn)值，不同情況下單元兩端支點(diǎn)節(jié)點(diǎn)值可能不等，需要按照以下條件判斷并估算單元損傷程度：首先從損傷定位指標(biāo)結(jié)果初步判斷損傷單元，計(jì)算得到所有節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)DIe，對(duì)任一可能損傷單元m的單元損傷程度記為DIm，單元兩端節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)損傷指標(biāo)值為DIL，DIR；當(dāng)DIL=DIR＞0，且損傷定位指標(biāo)顯示該單元發(fā)生損傷，則DIm=(DIL+DIR)/2；當(dāng)首尾單元發(fā)生損傷時(shí)，單元損傷程DIm=DIL或DIR；當(dāng)DIL≤0，DIR＞0，或者DIL＞0，DIR≤0，且單元m不是首尾單元，不考慮其他因素，則可判斷DIm=0；當(dāng)DIL=和DIR≤0 時(shí)，DIm=0，可判斷該單元未損傷。

1.2 廣義柔度指標(biāo)數(shù)值模型驗(yàn)證及對(duì)比

算例為計(jì)算跨徑長(zhǎng)10 m 簡(jiǎn)支梁，高h(yuǎn)=0.4 m，寬0.3 m，E=3.25×1010N/m2，密度2 549 kg/m3，采用ANSYS 二維梁?jiǎn)卧?，將梁劃分?0 個(gè)單元、21個(gè)節(jié)點(diǎn)，見(jiàn)圖1。對(duì)損傷設(shè)定單元折減彈性模量以模擬其損傷，損傷工況設(shè)計(jì)如表1。

圖1 簡(jiǎn)支梁算例模型Fig.1 Example model of simply supported beam

表1 損傷工況設(shè)計(jì)Table 1 Damage condition design

1.2.1 損傷定位

損傷指標(biāo)GFCCD，GFCCN1 和GFCCN2 對(duì)簡(jiǎn)支梁?jiǎn)螕p傷和多損傷工況識(shí)別結(jié)果見(jiàn)圖2～4。

圖2 GFCCD損傷識(shí)別(分別為單、多損傷工況，下同)Fig.2 GFCCD damage identification(single damage condition and multiple damage condition，the same below)

對(duì)比單損傷工況可知，3 個(gè)指標(biāo)均能準(zhǔn)確識(shí)別出損傷位置，并且指標(biāo)值可以反映損傷程度；對(duì)比多損傷工況可知，當(dāng)單元10損傷程度從5%增加到15%時(shí)，單元5(對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)號(hào)5～6)損傷指標(biāo)不受影響，即損傷相互獨(dú)立，互不影響。節(jié)點(diǎn)1 和21由于差分求曲率和變化率為0 不能作分母沒(méi)結(jié)果(默認(rèn)值為0)，但是不影響兩端單元損傷判別。由上述對(duì)比可得出，在不考慮噪聲條件下，指標(biāo)GF‐CCD，GFCCN1，GFCCN2均能準(zhǔn)確定位簡(jiǎn)支梁?jiǎn)螕p傷和多損傷；GFCCD 指標(biāo)在未損傷區(qū)域?yàn)?，比另外2個(gè)指標(biāo)效果更好。

1.2.2 損傷定量

根據(jù)式(18)和式(19)分析3 個(gè)指標(biāo)損傷定量，限于篇幅，僅給出表1 工況2，5 損傷程度識(shí)別，見(jiàn)圖5，其余工況結(jié)果類似。

由圖5 對(duì)比可知，在損傷定量方面，3 個(gè)指標(biāo)都能識(shí)別出損傷程度，且對(duì)單損傷識(shí)別更準(zhǔn)確，對(duì)多損傷程度識(shí)別效果差別不大。對(duì)于跨中單損傷工況，識(shí)別量與真實(shí)量有一定誤差；對(duì)于多損傷工況，跨中單元10 損傷10%時(shí)，3 個(gè)指標(biāo)識(shí)別單元10 不受單元5 和單元19 損傷程度影響，損傷程度識(shí)別相互獨(dú)立，且與GFCCD 損傷程度識(shí)別相比，GFCCN1和GFCCN2偏小。

圖5 工況2，5損傷程度識(shí)別Fig.5 Damage degree identification of condition 2 and 5

圖3 GFCCN1損傷識(shí)別Fig.3 GFCCN1 damage identification

圖4 GFCCN2損傷識(shí)別Fig.4 GFCCN2 damage identification

2 指標(biāo)GFCCD 敏感性及測(cè)點(diǎn)間部分損傷和歸一化方法對(duì)其影響分析

上述分析表明，對(duì)于本文構(gòu)建的3 個(gè)損傷指標(biāo)，GFCCD 在損傷定位和定量識(shí)別效果最好，為了更全面說(shuō)明其損傷表征能力，下面討論其損傷敏感性。

2.1 等截面簡(jiǎn)支梁損傷敏感性

圖6 為GFCCD 對(duì)圖1 等截面簡(jiǎn)支梁20 個(gè)損傷工況(單元1～20 依次分別損傷10%)的損傷定位和定量識(shí)別。

圖6 1階GFCCD損傷定位及損傷定量Fig.6 Damage location and quantification of 1st GFCCD

由圖6 知，僅使用1 階模態(tài)振型和頻率，GF‐CCD 對(duì)損傷位置敏感，且對(duì)簡(jiǎn)支梁跨中最敏感，除了兩端單元外，其他單元的損傷敏感性基本相同，且單元損傷程度的識(shí)別結(jié)果非常接近真實(shí)損傷程度。圖7還對(duì)比了不同階模態(tài)振型和頻率數(shù)據(jù)的損傷識(shí)別敏感性。由圖7 可知，模態(tài)數(shù)對(duì)GF‐CCD 損傷定位和定量敏感性影響很小，且在模態(tài)階次較少情況下，GFCCD 有很好且穩(wěn)定的識(shí)別效果。

圖7 GFCCD損傷定位及損傷定量敏感性Fig.7 Damage location and quantitative sensitivity of GFCCD

2.2 變截面簡(jiǎn)支梁損傷敏感性

圖1算例改為魚(yú)腹梁，其他條件不變。依次將各單元?jiǎng)偠日蹨p10%，提取21 個(gè)節(jié)點(diǎn)前5 階模態(tài)數(shù)據(jù)分別分析，敏感性對(duì)比見(jiàn)圖8。

圖8 損傷敏感性對(duì)比Fig.8 Comparison of damage sensitivity

由圖8 知，僅使用1 階模態(tài)數(shù)據(jù)就可以損傷定位；考慮廣義柔度收斂性，僅使用2階就可以達(dá)到5 階識(shí)別效果；由于剛度分布影響，GFCCD 對(duì)截面剛度小的位置最敏感。在損傷定量方面，當(dāng)模態(tài)階數(shù)不小于2階時(shí)，損傷程度識(shí)別敏感性幾乎相同，且接近真實(shí)損傷程度。

2.3 測(cè)點(diǎn)間部分損傷影響分析

當(dāng)測(cè)點(diǎn)區(qū)間由不同剛度幾部分組成(測(cè)點(diǎn)間局部損傷，見(jiàn)圖9)，損傷后等效線剛度見(jiàn)式(20)。

圖9 測(cè)點(diǎn)等效線剛度模型Fig.9 Equivalent line stiffness model of measuring point

假設(shè)測(cè)點(diǎn)長(zhǎng)度δl與實(shí)際損傷區(qū)間長(zhǎng)度ld之比為η，損傷區(qū)間的損傷程度為式(21)，則等效損傷程度(x)見(jiàn)式(22)。當(dāng)η=1 時(shí)，即測(cè)點(diǎn)區(qū)間單元全部損傷，Dn(x)=Di(x)，其中(x)，Di(x)分別代表測(cè)點(diǎn)區(qū)間平均損傷程度和損傷單元i實(shí)際損傷程度。

對(duì)于圖1 算例，0.1 m 劃分1 個(gè)單元，0.5 m 提取一個(gè)測(cè)點(diǎn)振型，共100 個(gè)單元21 個(gè)振型點(diǎn)。假設(shè)測(cè)點(diǎn)10～11 為圖10 所示4 個(gè)損傷工況。圖11 為GFCCD對(duì)4個(gè)測(cè)點(diǎn)間部分損傷工況識(shí)別的局部。

圖10 損傷單元位置分布Fig.10 Location distribution of damage elements

由圖11 可知，GFCCD 能識(shí)別測(cè)點(diǎn)間部分損傷。當(dāng)損傷區(qū)間相對(duì)測(cè)點(diǎn)對(duì)稱，包含損傷單元相鄰兩測(cè)點(diǎn)能直接反映損傷位置，且損傷識(shí)別值接近；當(dāng)損傷在測(cè)點(diǎn)內(nèi)不對(duì)稱，靠近損傷區(qū)間的測(cè)點(diǎn)值偏大。

圖11 測(cè)點(diǎn)區(qū)間部分損傷識(shí)別Fig.11 Identification of partial damage in measuring point interval

2.4 振型歸一化方法影響分析

常見(jiàn)歸一化方法有質(zhì)量矩陣模態(tài)歸一化、單位矩陣模態(tài)歸一化和最大絕對(duì)值模態(tài)歸一化。圖12為這些方法對(duì)GFCCD損傷定位和定量的影響。

由圖12 知，對(duì)于不同歸一化，GFCCD 都能給出損傷位置，且歸一化對(duì)損傷定位影響很??；質(zhì)量歸一化對(duì)損傷程度識(shí)別有影響，而單位矩陣歸一化優(yōu)于最大值歸一化，其損傷程度識(shí)別更接近質(zhì)量歸一化。

圖12 振型歸一化方法對(duì)損傷定位和定量影響Fig.12 Influence of mode normalization method on damage location and quantification

3 基于GFCCD 指標(biāo)某三跨連續(xù)剛構(gòu)橋損傷識(shí)別驗(yàn)證

該橋跨徑(80+150+80) m，按照設(shè)計(jì)圖建立數(shù)值模型與當(dāng)前結(jié)構(gòu)存在誤差，可基于動(dòng)載實(shí)測(cè)資料[25]，采用參數(shù)型修正法進(jìn)行結(jié)構(gòu)靈敏度分析，并得到基準(zhǔn)模型，然后利用修正后模型對(duì)該橋進(jìn)行損傷識(shí)別。限于篇幅，以下僅給出GFCCD 指標(biāo)損傷識(shí)別驗(yàn)證分析。

考慮橋梁對(duì)稱性，僅對(duì)半跨(0～160 m)所有單元(單元號(hào)1～16)依次設(shè)置損傷10%，單元?jiǎng)澐忠?jiàn)圖13。

圖13 單元?jiǎng)澐旨罢裥蜏y(cè)點(diǎn)示意Fig.13 Eelement division and vibration mode measuring points

3.1 單損傷識(shí)別

單損傷識(shí)別及單元損傷程度識(shí)別見(jiàn)圖14 和圖15。

由圖14 知，單元1～5 單損傷可準(zhǔn)確定位；墩附近單元6～12 在損傷位置和未損傷位置都有峰值，不能準(zhǔn)確定位損傷，單元13～16 損傷均能夠準(zhǔn)確定位。由圖15可知，雖然GFCCD不能識(shí)別出墩梁處單元8 損傷，但損傷程度DIe可以顯示出該單元發(fā)生損傷，還放大了損傷位置信息，因此可以判別出漏判的損傷位置，在實(shí)踐應(yīng)用中可以結(jié)合兩者共同判斷損傷。

圖14 單元損傷10%對(duì)應(yīng)的GFCCD指標(biāo)Fig.4 GFCCD index corresponding to 10%damage of element

圖15 單元1～16損傷程度識(shí)別Fig.15 Damage degree identification of element 1～16

3.2 多損傷識(shí)別

多損傷工況考慮：工況1 為單元1 和單元4 同時(shí)損傷10%；工況2 為單元4 和單元13 同時(shí)損傷10%。損傷識(shí)別見(jiàn)圖16。

由圖16 可知，GFCCD 指標(biāo)能準(zhǔn)確識(shí)別出同跨多損傷和不同跨多損傷，識(shí)別效果較好；單元損傷程度工況1(9.9%和10.15%)和工況2(10.1%和10%)與真實(shí)損傷程度接近。

圖16 工況1，2的損傷定位與損傷定量Fig.16 Damage location and quantification of case 1 and 2

4 結(jié)論

1) 廣義柔度曲率矩陣對(duì)角元素指標(biāo)GFCCD，廣義柔度曲率矩陣列1—范數(shù)指標(biāo)GFCCN1 和2—范數(shù)指標(biāo)GFCCN2 均能準(zhǔn)確識(shí)別梁橋單損傷和多損傷，綜合比較GFCCD識(shí)別效果最好。

2)模態(tài)數(shù)對(duì)GFCCD 損傷定位和定量敏感性影響很小，且在模態(tài)階次較少情況下，GFCCD 有很好且穩(wěn)定的識(shí)別效果。

3)對(duì)于變截面梁，僅使用1 階模態(tài)數(shù)據(jù)，GF‐CCD 就可以損傷定位，且2 階就可以達(dá)到5 階識(shí)別效果；在損傷定量方面，當(dāng)模態(tài)階數(shù)不小于2 階時(shí)，損傷程度識(shí)別敏感性幾乎相同，且接近真實(shí)損傷程度。

4)GFCCD 能識(shí)別測(cè)點(diǎn)間部分損傷，歸一方法對(duì)GFCCD 損傷程度識(shí)別有輕微影響；在實(shí)踐應(yīng)用中，為了避免漏判，可結(jié)合GFCCD 指標(biāo)和損傷程度DIe共同進(jìn)行損傷識(shí)別。