考慮退票情形的鐵路多列車票額分配優(yōu)化方法

高一涵，楊婉鈺，徐光明

(1.中南大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；2.武漢市黃陂區(qū)人民政府 天河街道辦事處，湖北 武漢 430000)

高速鐵路日益成為中長距客運(yùn)中更被旅客青睞的選擇，但我國鐵路客流在各時段、各區(qū)段差異化較大。因此，合理分配票額是增加鐵路企業(yè)收益和提高旅客服務(wù)水平的重要保障。對于票額分配的研究，CIANCIMINO 等[1]首次將收益管理引入鐵路客運(yùn)中，建立了鐵路客運(yùn)票額分配的線性規(guī)劃模型。YOU[2]基于隨機(jī)需求，以收入最大化為目標(biāo)優(yōu)化鐵路全額和打折票額。MEISSNER 等[3]綜述了鐵路收益管理相關(guān)研究。趙翔等[4]以鐵路收益最大化為目標(biāo)，構(gòu)建了多列車多停站方案的非線性票額分配模型。劉華森等[5]對遺傳算法進(jìn)行改進(jìn)，以收益最大化和席位利用率最高化為目標(biāo)；CHANG 等[6]針對單城際線路，分別以收入最大化以及旅客不舒適程度最小化為目標(biāo)建立模型。ONGPRASERT[7]考慮旅客購票選擇行為，以客座率最大化、拒絕旅客數(shù)量最少以及收益最大化為目標(biāo)。在票額分配評價方面，駱泳吉等[8]研究了隨機(jī)需求下考慮通售席位的票額分配優(yōu)化方法。宋文波等[9]構(gòu)建了高速鐵路多列車票額分配隨機(jī)非線性整數(shù)規(guī)劃模型。李博等[10]引入隨機(jī)樂觀值描述鐵路部門風(fēng)險決策態(tài)度，構(gòu)建不確定需求票額分配隨機(jī)機(jī)會約束規(guī)劃模型。強(qiáng)麗霞[11]考慮客流波動，將票額預(yù)分過程劃分為基于給定客流的票額分配及剩余能力優(yōu)化利用，分別建立優(yōu)化模型。劉帆洨等[12]以客流需求預(yù)測值和最低票額保護(hù)值為約束，構(gòu)建單列車票額預(yù)售控制決策模型。劉帆洨等[13]利用購票強(qiáng)度來描述預(yù)售期各OD 票額的動態(tài)需求，提出了非線性回歸支持向量機(jī)的預(yù)測模型。張琦等[14]應(yīng)用隨機(jī)效用理論，建立多列車限售策略和票額預(yù)分模型。宋文波等[15]構(gòu)建了考慮多OD 旅客動態(tài)購票需求特點(diǎn)的高速鐵路多列車票額分配模型。HU 等[16]構(gòu)建了聯(lián)合優(yōu)化票額票價的非線性規(guī)劃模型，采用多階段和歧視性定價策略吸引旅客需求以提高收益。秦進(jìn)等[17]以各售票時段的票額限制和動態(tài)票價為決策變量，以客票總收益最大化為目標(biāo)構(gòu)建優(yōu)化模型，并基于蜂群算法設(shè)計高效求解算法。在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，本文基于我國鐵路退票政策，考慮因退票引起的虛擬需求，分別以鐵路收益最大化、旅客服務(wù)人數(shù)最大化以及拒絕旅客次數(shù)最小化為目標(biāo)，構(gòu)建了考慮退票情形的鐵路多列車票額分配模型?；谀Ｐ头治隽?個簡單算例和廣珠城際鐵路實例，深入探討考慮退票情形對鐵路票額分配的影響機(jī)理，并驗證了模型的有效性。

1 問題分析

我國鐵路客運(yùn)實行較為寬松的退票政策，依照距離開車時間將預(yù)售期劃分為4個售票階段，每個階段實行不同的退票費(fèi)率。如表1所示，旅客在距離開車時間15 d 以上退票不收取任何費(fèi)用，但隨著開車時間的臨近，退票懲罰費(fèi)率逐漸增加，距開車時間24 h 以下退票則收取20%的退票費(fèi)率。設(shè)置退票懲罰費(fèi)用主要有2個目的：一方面是盡量減少旅客退票行為，以避免列車上出現(xiàn)虛靡；另一方面通過收取退票懲罰費(fèi)用增加鐵路收益，以彌補(bǔ)鐵路因旅客退票而造成的收益損失。

表1 退票懲罰費(fèi)率Table 1 Refund penalty rate

由于鐵路客運(yùn)具有相對寬松的退改簽政策，往往會產(chǎn)生大量的退票訂單。對于這些有退票行為的需求，稱之為虛擬需求。這些虛擬需求往往會導(dǎo)致前期的票額分配方案不能和真正的需求相匹配，而鐵路票額又不能超額發(fā)售，這就造成某些區(qū)段席位虛糜，而某些區(qū)段席位供不應(yīng)求的現(xiàn)象。因而，在構(gòu)建票額分配模型時，將旅客退票的因素考慮進(jìn)來，并以退票率的形式加入到模型中，從而使票額分配模型更加符合鐵路售票實際情況。

對于優(yōu)化目標(biāo)的設(shè)定，大多數(shù)研究中都是將鐵路收益最大化作為目標(biāo)，這是鐵路部門票額分配的核心目標(biāo)。然而，在某些情況下，為了提高收益或是客座率，勢必會拒絕部分旅客的需求，這對于提高鐵路社會效益以及旅客服務(wù)水平都是不利的。因此，本文的票額分配模型從不同的角度考慮分別設(shè)定了3個目標(biāo)：鐵路收益最大化、旅客服務(wù)人數(shù)最大化以及拒絕旅客次數(shù)最小化；對于約束條件，模型要考慮到的約束主要有列車席位能力的約束、售出票數(shù)的票額約束、退票情形下的需求約束等。

2 構(gòu)建考慮退票情形的票額分配模型

2.1 模型假設(shè)

1)各OD對的票價和需求已知；

2)只考慮一種席位等級；

3)不考慮票額超額發(fā)售。

2.2 模型建立

2.2.1 模型約束條件

1) 列車席位能力約束定義OD 對(i,j)集合為RS，列車k覆蓋區(qū)間m的OD 對集合為，列車k在OD 對(i,j)分配的票額為，對于滿足(i,j)∈的所有OD 對，其所分配的票額之和應(yīng)不超過列車席位能力ck，即

每個OD 分配的票額bij為該OD 所有列車分配的票額的總和，表示為

2)售出票數(shù)的票額約束所有列車在OD 對(i,j)分配的票額之和，應(yīng)滿足票額上下界約束，即

此約束主要從保障鐵路社會效益的角度出發(fā)，避免因單方面追求鐵路收益最大化而導(dǎo)致某些OD對不能分到票額，以至于相應(yīng)旅客的出行需求無法滿足。此外，OD 對(i,j)售出票數(shù)xij不應(yīng)超過該OD對所分配的票額bij。

3) 退票情形下售出票數(shù)的需求約束通過歷史數(shù)據(jù)，可以統(tǒng)計出OD 對(i,j)在預(yù)售期內(nèi)車票售出量Sij，需要注意的是該售出量也統(tǒng)計了售出但被退回的票數(shù)。結(jié)合我國退票政策，4 個售票階段表示為n=1,2,3,4。對于OD 對(i,j)，其在售票階段n的退票率定義為該售票階段內(nèi)旅客退票量占該OD 售出量Sij的比例；其在預(yù)售期的退票率Θij定義為預(yù)售期內(nèi)旅客退票量Rij占該OD 售出量Sij的比例。分別表示為：

其中：,Rij,Sij可以由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到，根據(jù)式(5)和式(6)可以統(tǒng)計出各階段退票率以及預(yù)售期總退票率Θij。OD 對(i,j)售出票數(shù)xij不應(yīng)超過需求dij。但需求中包含將會退票的“虛擬需求”，其所退掉的票在后續(xù)會被其他旅客購買。該部分的車票數(shù)量可以通過各階段退票率以及總退票率的差乘以售出票額xij表示，即

所以根據(jù)式(7)可以得到被重復(fù)購買的車票數(shù)量，再加上實際售票數(shù)xij得到總售出量，其不應(yīng)超過該OD對需求dij，即

此外，每個OD 的實際售票數(shù)xij以及每列車在各OD分配的票額都應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，即

2.2.2 模型目標(biāo)

1) 收益最大化。在收益最大化前提下，鐵路部門盡可能售出更多票額以提高收益。在考慮旅客退票的情況下，會產(chǎn)生退票懲罰費(fèi)用。退票懲罰費(fèi)用根據(jù)距離開車時間長短不同而有顯著差異，具體懲罰費(fèi)率見表1。因此，總收益可分為2部分，第1 部分為實際售出席位所得售票收益，第2 部分為旅客退票產(chǎn)生的懲罰費(fèi)用收益。由于xij記錄的是售出的席位，其中包含了后續(xù)退票的訂單，所以對于第1部分售票產(chǎn)生的收益，可表示為

其中：tij表示OD(i,j)的票價。由于每階段懲罰費(fèi)用與退票率有所差異，因此對于第2部分的退票懲罰收益，可表示為

μn為第n階段的退票懲罰費(fèi)率，n=1,2,3,4。其中：μn的取值如表1所示。

綜上，以收益最大化為目標(biāo)的模型可表示為

2) 旅客服務(wù)人數(shù)最大化。旅客服務(wù)人數(shù)能最直觀地反映出鐵路客運(yùn)的服務(wù)能力。在運(yùn)輸能力一定的條件下，服務(wù)的旅客越多，說明鐵路運(yùn)能的利用率越高，鐵路服務(wù)水平和旅客出行滿意度也就越高。旅客服務(wù)人數(shù)最大化下只關(guān)心票額是否售出以及售出多少，而與各階段退票率無關(guān)，最終售出的席位數(shù)只與總退票率相關(guān)。因此，以旅客服務(wù)人數(shù)最大化為目標(biāo)的模型可表示為

3) 拒絕次數(shù)最小化。當(dāng)不能滿足全部出行需求時，就不得不拒絕一部分旅客的需求，但這樣會使得旅客服務(wù)水平有所下降，所以要追求盡量少的拒絕次數(shù)。不考慮退票行為時，拒絕次數(shù)可以表示為

而退票行為使得部分旅客買到了其他旅客退掉的票，最終他們的需求得到了滿足，因考慮退票而增加的服務(wù)旅客數(shù)量可以由式(7)表示出來。因此，以拒絕次數(shù)最小化為目標(biāo)的模型可表示為

上述3個模型都是線性整數(shù)規(guī)劃模型，可以使用CPLEX 和GUROBI 等線性規(guī)劃求解器得到最優(yōu)解，本文使用MATLAB 軟件中的intlinprog 函數(shù)求解。

3 實證分析

為了更好地體現(xiàn)模型特點(diǎn)，首先設(shè)計2個簡單算例分析模型的性質(zhì)和特點(diǎn)，之后選取廣珠城際鐵路數(shù)據(jù)進(jìn)行實例分析，進(jìn)一步驗證模型的有效性。

3.1 簡單算例驗證

3.1.1 簡單算例1

如圖1 所示，3 趟列車從始發(fā)站S1 出發(fā)，到達(dá)終點(diǎn)站S4，共4站，列車定員ck均為557。

圖1 簡單算例中的列車停站方案Fig.1 Train stop plan of two simple examples

給定各OD 對各階段退票率如表2 所示；各OD 對總退票率Θij，票價tij，簡單算例1 需求dij如表3所示。票額的上界不超過需求，即uij=dij，票額的下界設(shè)定為lij=0.3dij。

表2 各OD對各階段的退票率Table 2 Refund rate of each OD pair for each stage %

表3 簡單算例1和簡單算例2的輸入?yún)?shù)Table 3 Input parameters for example 1 and example 2

利用MATLAB 計算，以收益最大化為目標(biāo)，最大收益Z=43 409 元；以旅客服務(wù)人數(shù)最大化為目標(biāo)，最大旅客服務(wù)人數(shù)P=1 918 人；以拒絕次數(shù)最小化為目標(biāo)，最少拒絕次數(shù)R=5 次。3 個目標(biāo)下的票額分配結(jié)果如圖2所示。

圖2 簡單算例1的3個目標(biāo)下票額分配結(jié)果Fig.2 Result of ticket allocation for example 1

3.1.2 簡單算例2

在簡單算例1 的基礎(chǔ)上，增加旅客出行需求。簡單算例2 需求dij如表3 所示，其他條件與參數(shù)均不變。利用MATLAB計算，以收益最大化為目標(biāo)，最大收益Z=55 640 元；以旅客服務(wù)人數(shù)最大化為目標(biāo)，最大旅客服務(wù)人數(shù)P=2 521 人；以拒絕旅客次數(shù)最少為目標(biāo)，最少拒絕次數(shù)R=727 次。3 個目標(biāo)下的票額分配結(jié)果如圖3所示。

圖3 簡單算例2的3個目標(biāo)下票額分配結(jié)果Fig.3 Result of ticket allocation for example 2

分析圖2 結(jié)果，簡單算例1 中3 個目標(biāo)下的票額分配方案相同。原因在于旅客需求很小，而列車席位能力能夠滿足所有旅客出行需求，所以不同目標(biāo)之間的差異就無法得到體現(xiàn)。分析圖3結(jié)果可以看出，簡單算例2中不同目標(biāo)下的票額分配結(jié)果有一定差異性。收益最大化目標(biāo)受到票價以及總退票率的影響，會將票額更多分給票價較高的OD 對，即(1,4)和(1,3)等票價較高的OD 對分配到的票額較多。而旅客服務(wù)人數(shù)最大化的目標(biāo)受限于總退票率，總退票率較低的OD 對會被優(yōu)先分到票額，OD 對(2,4)的總退票率最低，為5.6%，因此被分配到的票額有所增加。對于拒絕次數(shù)最小這一目標(biāo)，則需要更多滿足需求較高的OD 對。簡單算例2 中的OD 對如(1,3)需求較高，為690，被分配的票額明顯增多。

對比分析簡單算例1 和簡單算例2 的結(jié)果可以得出，當(dāng)席位能力緊張時，模型在不同目標(biāo)下的票額分配方案能體現(xiàn)出較強(qiáng)差異性。同時，某些目標(biāo)之間又存在相同的分配趨勢，例如對于旅客服務(wù)人數(shù)最大化以及拒絕次數(shù)最小化的目標(biāo)，都是將票額優(yōu)先分配到較短OD 對，最后分配到較長的OD對。

3.2 廣珠城際鐵路算例驗證

廣珠城際鐵路是珠三角城際軌道交通的主干線路之一，共設(shè)22 座車站。其中，主線為廣州南站至珠海站，共17 站；支線自北向南由小欖站到新會站，共6 站。列車定員均為557。選取廣珠城際鐵路2015年7月1日上午6:00至12:00的主線路下行方向的數(shù)據(jù)，主線線路圖和列車運(yùn)行圖如圖4所示。主線下行方向共有10 輛列車，依照從廣州南站出發(fā)時間依次編號為列車1～列車10。由圖4可知，順德學(xué)院、南頭、珠海北站在上午6:00 至12:00 無經(jīng)停列車，因此，為簡化計算，將這3 站在計算中剔除，將剩余的14 個車站由北向南依次編號1～14。相應(yīng)OD 對的票價及需求如表4所示。

圖4 廣珠城際主線線路圖和6：00-12:00列車運(yùn)行圖(下行)Fig.4 Line diagram and train running diagram from 6:00 to 12:00(down direction)of Guangzhou Zhuhai Intercity Railway

表4 廣珠城際鐵路票價(元)/需求(人)Table 4 Ticket price(yuan)/demand(person)of Guangzhou-Zhuhai Intercity Railway

根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到整條線路的平均總退票率Θij以及各階段退票率，將其近似地看作是每個OD 的總退票率和階段退票率。各OD 的總退票率Θij均設(shè)置為8.5%，各階段退票率以及對應(yīng)的退票懲罰費(fèi)率如表5所示。

表5 各階段退票率與懲罰費(fèi)率Table 5 Refund rate and penalty rate at each stage

為了保證每個OD 對都能被分到一定數(shù)量的票額，票額分配的下界lij設(shè)定為0.3dij，票額分配的上界uij不超過需求dij。利用MATLAB 中的intlin‐prog 函數(shù)對模型進(jìn)行求解，以收益最大化為目標(biāo)1，最高收益356 226 元；以服務(wù)人數(shù)最大化為目標(biāo)2，旅客最大服務(wù)人數(shù)7 646 人；以拒絕旅客次數(shù)最少為目標(biāo)3，最少拒絕次數(shù)2 275次。3個目標(biāo)下各OD間的票額分配結(jié)果如表6所示。

表6 廣珠城際3個目標(biāo)下的票額分配結(jié)果Table 6 Result for Guangzhou-Zhuhai Intercity Railway of three objective functions

分析表6 結(jié)果，較長OD 對在收益最大化的目標(biāo)下更占優(yōu)勢，其中需求最大、距離最長的OD 對(1,14)收益最大化目標(biāo)下被分配到的票額為3 235，是其他2 個目標(biāo)下的近2 倍；而在旅客服務(wù)人數(shù)最大化以及拒絕次數(shù)最小化的目標(biāo)下，票額分配會向較短OD對傾斜，如(1,6)和(6,8)等在這2個目標(biāo)下分配的票額顯著增加。因為這2個目標(biāo)的基本分配原則都是最大限度地利用列車席位，盡可能多地滿足旅客需求。在需求較大時，3 個目標(biāo)難以同時滿足，這表明增加鐵路收益和提高旅客服務(wù)水平很難兼得。但3 個目標(biāo)中的某2 個目標(biāo)可以看作是朝著同一趨勢變化的，例如旅客服務(wù)人數(shù)最大化和拒絕次數(shù)最小化目標(biāo)下都是較長OD 對(1,14)的票額有明顯減少，而拆分這些長區(qū)段票額來滿足更多較短OD 對需求或減少拒絕次數(shù)。這表明只追求鐵路收益，可能導(dǎo)致部分旅客無法買到車票。因此，在列車席位能力緊張的情況下，鐵路企業(yè)進(jìn)行票額分配時應(yīng)更多考慮旅客服務(wù)水平，不能因為過度追求經(jīng)濟(jì)效益而降低社會效益。

4 結(jié)論

1) 考慮鐵路售票時因退票引起的虛擬需求，分別以鐵路收益最大化、旅客服務(wù)人數(shù)最大化以及拒絕旅客次數(shù)最小化為目標(biāo)，構(gòu)建了考慮退票情形的鐵路多列車票額分配模型。

2)設(shè)計2個簡單算例分析了不同需求下的模型特征。列車席位能力充足時3個目標(biāo)下票額分配結(jié)果相同；而列車席位能力緊張時3個目標(biāo)下的票額分配方案具有顯著差異。

3) 以廣珠城際鐵路為例進(jìn)一步驗證了模型的有效性。收益最大化下票額會向票價較高的OD 對傾斜，而另2個目標(biāo)下則會拆分較長區(qū)段票額以滿足更多需求或減少拒絕次數(shù)。鐵路企業(yè)在進(jìn)行票額分配時，可以根據(jù)自身階段發(fā)展需要選擇增加收益或提高旅客服務(wù)水平。

4) 本文考慮的旅客需求是確定的，但需求受多方面因素的影響，具有隨機(jī)性。后續(xù)研究可以在已有基礎(chǔ)上采用隨機(jī)分布函數(shù)描述旅客需求不確定性，以探討更加符合需求特征的票額分配方法。