(2+1)維變系數(shù)非線性KP方程新推廣解

靳玲花,白 慧,李珊珊

(河套學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系,內(nèi)蒙古 巴彥淖爾 015000)

0 引言

非線性科學(xué)涉及范圍非常廣泛,比如力學(xué)、數(shù)理化學(xué)、天文氣象學(xué)、生物環(huán)境學(xué)、醫(yī)學(xué)、航天等一些比較重要的領(lǐng)域,它是20世紀(jì)自然科學(xué)繼量子力學(xué)和相對論兩大領(lǐng)域的又一重大發(fā)展領(lǐng)域。從數(shù)學(xué)和物理的視覺來看,通過求解非線性微分方程可以很好地解釋自然界中出現(xiàn)的各類非線性現(xiàn)象。為了更好地去理解這種非線性現(xiàn)象,采用構(gòu)造非線性微分方程的解的方法,而這種做法已經(jīng)成為當(dāng)代非線性科學(xué)研究領(lǐng)域的重要課題。

目前在還沒有完全獲得系統(tǒng)地處理非線性問題的方法的情況下,不同專業(yè)的學(xué)者分別總結(jié)出了自己特有的研究方法,但一般被認(rèn)可的范疇包括:孤立子、分形以及混沌。孤立子也叫孤立波,它是指一大類非線性偏微分方程的許多具有相同特殊性質(zhì)的解,以及它所蘊(yùn)含的物理現(xiàn)象。孤立子具有一些主要的特性:1)孤立子是波動(dòng)問題中一種能量有限的局域解;2)能量大多集中在一個(gè)很小的區(qū)域內(nèi)(或能在空間給定的區(qū)域內(nèi)穩(wěn)定存在);3)孤立波相互作用時(shí)會(huì)出現(xiàn)彈性散射現(xiàn)象。這些性質(zhì)揭示了孤立子的內(nèi)涵,同時(shí)我們稱具有孤立子解的非線性發(fā)展方程為孤子方程。孤立子理論包含的內(nèi)容和研究方法非常豐富,尤其是近十幾年來研究隊(duì)伍不斷擴(kuò)大,研究成果令人矚目。

孤立子理論中的兩大主要問題是構(gòu)造孤立子方程的精確解和研究非線性系統(tǒng)的可積性。隨著孤立子理論的發(fā)展,已經(jīng)總結(jié)了許多構(gòu)造非線性方程精確解的方法,如B?cklund變換法、Darboux變換法、相似約化法、Hirota雙線性方法、反散射方法(IST)、延拓結(jié)構(gòu)法、齊次平衡法、經(jīng)典和非經(jīng)典李群法、F-展開法、代數(shù)幾何法、Painlevé分析法和(G′/G)-展開法等。本論文采用的就是(G′/G)-展開法。

由于非線性微分方程的解不再滿足線性方程的疊加原理,所以通常很難像線性方程那樣用一個(gè)統(tǒng)一的方法對其求解。進(jìn)入20世紀(jì)以來,對于常系數(shù)非線性微分方程,前述諸方法已被大量應(yīng)用,而變系數(shù)模型能夠更精確地描述物理、力學(xué)問題,特別是高階的變系數(shù)方程。因此,變系數(shù)方程有比較廣泛的應(yīng)用性。

考慮被數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家普遍感興趣的方程,(2+1)維廣義圓柱變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvilli(KP)方程:

(ut+6uux+uxxx)x+a(t)ux+b(t)uyy=0,

(1)

(2)

(3)

KP方程有著廣泛的物理背景,在流體力學(xué)、等離子體物理和氣體動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域有重要作用,可作為描述(2+1)維淺水波和等離子體中的離子聲波的模型方程。任何一個(gè)模型或系統(tǒng),尤其是變系數(shù)非線性模型或系統(tǒng),我們可以直接進(jìn)行系統(tǒng)行為與性能的分析,建立系統(tǒng)的可靠性模型。可靠性理論是正在發(fā)展的理論,對許多方面的認(rèn)識還在不斷地深化。對于一些復(fù)雜的可靠性問題,都還需要進(jìn)一步、更廣泛深入的研究。

本文中對于(2+1)維廣義圓柱變系數(shù)KP方程的求解,前期已經(jīng)做了許多工作[1]。主要方法選自王明亮等[2-3]2008年提出的(G′/G)-展開法。此方法簡單、有效、實(shí)用,但作者發(fā)現(xiàn)還是有很大的改進(jìn)空間。接下來就是將(G′/G)-展開法進(jìn)行更一般化的推廣后,再次應(yīng)用在此方程中。

1 推廣的(G′/G)-展開法簡介

給出如式(4)形式的非線性微分方程:

P(u,ut,ux,utt,uxx,…)=0。

(4)

1)尋求方程(4)如式(5)的行波變換:

u(x,t)=u(ξ),ξ=x±ct。

(5)

若是變系數(shù)非線性方程,則可以是如式(6)的行波變換:

u(x,t)=u(ξ),ξ=k(x)+l(y)+p(t)+q,

(6)

式中:k(x),l(y),p(t)是待定函數(shù);q,c是待定常數(shù);利用變換式(5)或式(6),可將式(4)化為如式(7)的非線性微分方程(常系數(shù)或者變系數(shù)):

Q(u′,u″,u?,L)=0。

(7)

2)假設(shè)方程(7)有如式(8)形式的解:

(8)

式中:an和bn不同時(shí)為0,a0,ai,bi(i=1,2,…,n)都是待定常數(shù)。式(8)中的整數(shù)n可以通過平衡式(7)中u(ξ)的最高階非線性項(xiàng)和最高階微分項(xiàng)來確定。G=G(ξ)滿足如式(9)的二階常微分方程:

G″+λG=0,

(9)

或者

G′+λG+μG2=0,

(10)

式中λ和μ都是任意常數(shù),此輔助方程的論述可見文獻(xiàn)[1-3]。

若ai=0,式(8)將化為

(11)

但如果bi=0,i=1,2,…,n,則(8)式將變?yōu)槿缡?12)的形式:

(12)

3)把式(8)代入式(7)后再利用式(9)或式(10)化為(G′/G)的冪次多項(xiàng)式,再令各次的系數(shù)為0,則得到一個(gè)以a0,ai,bi(i=1,2,…,n),λ以及k(x),l(y),p(t)為未知量,或者以q,c為未知數(shù)的非線性代數(shù)方程組。

4)求解3)中的代數(shù)方程組確定相關(guān)的未知量。另外,式(9)或式(10)的解都是我們所熟悉的(這里就不再贅述),將其及a0,ai,bi(i=1,2,…,n),k(x),l(y),p(t),q或者c代入式(8),便可以得到方程(4)的精確行波解。

2 (2+1)維廣義圓柱變系數(shù)KP方程推廣精確解

(2+1)維廣義圓柱變系數(shù)KP方程為:

(ut+6uux+uxxx)x+a(t)ux+b(t)uyy=0,

(13)

因?yàn)樵摲匠淌亲兿禂?shù)的,所以應(yīng)該引入行波變換式(6),則該方程變形為:

[a(t)k′(x)+b(t)l″(y)+k(4)6(x)]u′+6k′2(x)u′2+6k″(x)u+[c′(t)k′(x)+b(t)l′2(y)+2k″(x)+k″2(x)+2k″(x)k?(x)]u″,+6k′2(x)uu″+(5k′2(x)+k′2(x)k″(x))u?+k′4(x)u(4)=0。

(14)

由齊次平衡原則得n=2,則應(yīng)設(shè)式(14)解的形式為

(15)

這里G(ξ)滿足二階線性常微分方程式(9)。由式(15)利用式(9),則得到:

u′=-2a2φ3-a1φ2-2a2λφ+2b2λφ-3+b1λφ-2+2b2φ-1+b1-λa1,

u″=6a2φ4+2a1φ3+8a2λφ2+2a1λφ+6b2λ2φ-4+2b1λ2φ-3+8b2λφ-2+2b1λφ-1+2b1+2a2λ2,

u?=-24a2φ5-6a1φ4-40a2λφ3-8a1λφ2-16a2λ2φ+24b2λ3φ-5+6b1λ3φ-4+40b2λ2φ-3+8a1λ2φ-2+16b2λφ-1+2b1λ-2a1λ2,

u(4)=120a2φ6+24a1φ5+240a2λφ4+40a1λφ3+136a2λ2φ2+16a1λ2φ+120b2λ4φ-6+24b1λ4φ-5+240b2λ3φ-4+40b1λ3φ-3+136b2λ2φ-2+16b1λ2φ-1+16b2λ+16a2λ3。

將前述各式代入式(14),合并為關(guān)于φ的各冪次多項(xiàng)式,并令各冪次系數(shù)為0,得到包含14個(gè)方程的一組很龐大的代數(shù)方程組,這里由于篇幅有限就不一一呈現(xiàn)。這樣的方程組求解過程非常復(fù)雜,必須借助Mathematica軟件的幫助,并經(jīng)過認(rèn)真仔細(xì)的分析篩選,最終求出了一組解:

k(x)=±x+C1,b(t)=Ca(t),l(y)=C2y2+C4y+C5,

將前述解連同式(9)的解一并代入式(15)即得到方程(13)的解:

當(dāng)λ>0時(shí),

(16)

當(dāng)λ<0時(shí),

(17)

接下來給出當(dāng)輔助方程為式(10)時(shí)(2+1)維變系數(shù)KP方程的其中一組解:

(18)

至此,從前述的求解過程可以看出:在變系數(shù)的非線性發(fā)展方程中,維數(shù)只簡單增加一維,其計(jì)算量卻是增加數(shù)倍;由于其計(jì)算過程比較復(fù)雜,所以在計(jì)算的時(shí)候需要謹(jǐn)慎分析;與文獻(xiàn)[1]中所求的解作比較,發(fā)現(xiàn)本章中的u1-u3完全包含里面的解。對于(G′/G)-展開法本身,這不僅對常系數(shù)非線性方程來講非常有意義,對變系數(shù)方程來講意義更加重大。

3 結(jié)論

本文用推廣的(G′/G)-展開法再次求解(2+1)維廣義變系數(shù)KP方程,并成功得到了形式更廣泛、內(nèi)涵更豐富的精確解,也更加證實(shí)了此推廣的有效性和適用性。從求解過程來看,變系數(shù)的非線性發(fā)展方程的求解,計(jì)算量很大、很復(fù)雜,其中數(shù)學(xué)軟件Mathematica的作用可謂是功不可沒。

另外,我們還可以對該方程進(jìn)行Painlevé分析。Painlevé分析法不僅可以驗(yàn)證方程是否可積而且還與孤子理論中的諸多理論緊密相聯(lián),如孤立子方程的B?cklund變換,Lax對等都可借助Painlevé分析方法得到,因此Painlevé分析法被認(rèn)為是研究孤立子的得力方法和有效手段,并且在可積方程的基礎(chǔ)上進(jìn)一步尋找其更多的孤子解也是非線性科學(xué)的重要內(nèi)容之一,在自然科學(xué)和數(shù)學(xué)物理工程應(yīng)用中具有更實(shí)際的意義[4]。