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    一類Choquard型方程解的存在性

    2022-04-12 02:20:30劉麗娟
    關(guān)鍵詞:方程解位勢(shì)臨界點(diǎn)

    劉麗娟

    (太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 山西 晉中 030619)

    0 引言和主要結(jié)果

    近年來,一類Choquard方程,如

    (1)

    被廣泛關(guān)注.

    當(dāng)V(x)為不同位勢(shì),方程帶有不同的擾動(dòng)項(xiàng)時(shí),該方程解的情況將有所不同.當(dāng)V(x)=1+μh(x),g(x,u)=0,文獻(xiàn)[1]運(yùn)用臨界點(diǎn)理論證明方程至少存在一個(gè)基態(tài)解;當(dāng)V(x)=1+μh(x),g(x,u)=f(x),文獻(xiàn)[2]運(yùn)用Eklend變分原理和山路引理證明方程存在兩個(gè)正解;當(dāng)V(x)→0,|x|→+∞且g(x,u)=0,文獻(xiàn)[3]證明方程存在一個(gè)正解;文獻(xiàn)[4]證明方程(1)滿足V(x)→+∞,x→+∞且g(x,u)=f(x)時(shí)兩個(gè)非平凡解的存在性.關(guān)于Choquard方程帶有不同擾動(dòng)項(xiàng)及V(x)為不同位勢(shì)的更多研究可參看文獻(xiàn)[5-12].

    受上述結(jié)論的啟發(fā),我們研究問題

    (2)

    (Ⅱ)如果{An}?N是一個(gè)Borel集合列,且存在R>0,對(duì)所有的n都有‖An‖≤R,那么一致成立;

    (K1)

    (K2)

    (K3)

    f滿足條件:

    (f3) 存在2p>θ>2,使得0<θF(t)≤tf(t),?t∈,其中F(t)=f(t)dt.

    我們得到以下主要結(jié)果:

    定理1 假設(shè)(V,K)∈K并且(f1)~(f3)成立,則方程(2)至少存在一個(gè)解.

    1 預(yù)備知識(shí)

    記D1,2(N)是C∞(N)在范數(shù)下的完備化空間,令

    其上的內(nèi)積為

    由它所誘導(dǎo)的范數(shù)是

    定義Iλ(u)為方程(2)對(duì)應(yīng)的能量泛函,即

    其中

    根據(jù)文獻(xiàn)[2],由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式可知,當(dāng)

    由此可得Iλ(u)∈C1(E,).如果u滿足

    則稱u∈E為方程(2)的解.易知如果u是Iλ(u)的非平凡臨界點(diǎn),則u是方程(2)的解.

    為了證明定理1,我們先證明如下引理:

    引理1 如果(V,K)∈K并且(f1)~(f3)成立,則Iλ(u)在E中滿足(PS)條件.

    證明假設(shè){un}?E是Iλ的一個(gè)(PS)序列,則存在c>0.當(dāng)n→∞時(shí),有

    接下來證明{un}有界.由于

    (3)

    由文獻(xiàn)[7]和[13]可知

    H(un,un)→H(u0,u0)

    (4)

    (5)

    結(jié)合式(3)、式(4)、式(5)可得

    (6)

    又因?yàn)?/p>

    (7)

    由文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[14]可知

    H(un,u0)→H(u0,u0)

    (8)

    (9)

    結(jié)合式(7)、(8)、(9)可得

    (10)

    2 定理1的主要證明

    對(duì)于任意的u∈E,由范數(shù)的定義和Sobolev嵌入可知

    令Sρ∶={u∈E∶‖u‖=ρ},如果(K2)成立,根據(jù)(f1)~(f2)[14],對(duì)于任意的ε>0,存在Cε>0,使得

    |f(t)|≤ε|t|+Cε|t|2*-1,?t∈.

    另一方面,如果(K2)成立,根據(jù)(f1)~(f2),對(duì)于任意的ε>0,存在Cε>0,使得

    |f(t)|≤ε|t|2*-1+Cε|t|,?t∈.

    由此可知,當(dāng)ε→0,τ→+∞,λ>0時(shí),Iλ(τu)<0.因此存在τ1>0,滿足u1=τ1u∈E時(shí),‖u1‖>ρ,Iλ(u1)<0.根據(jù)山路引理[15]可知存在{un}?E,滿足

    如果(K3)成立,結(jié)論同理可證.

    由引理1可知,{un}有一個(gè)收斂的子列,因此存在uλ∈E,使得在E中,un→uλ,由此可得方程(2)至少存在一個(gè)解uλ.

    3 總結(jié)

    本文主要考慮了一類帶消失項(xiàng)的Choquard型方程,通過證得能量泛函Iλ(u)滿足(PS)條件且當(dāng)λ>0時(shí),Iλ(u)具有山路引理的幾何結(jié)構(gòu),從而證明了方程(2)至少存在一個(gè)解.后續(xù)可以繼續(xù)研究該方程第二個(gè)解的存在性.

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