魯棒優(yōu)化解決不確定性問題

張一鐸

第一章 不確定性問題的優(yōu)化

1.1 不確定問題優(yōu)化方法

實際生活中很多問題都具有不確定性（Uncertainty），隨著最優(yōu)化理論的不斷發(fā)展和計算機能力的提高，不確定性優(yōu)化受到了學(xué)界前所未有的重視。早在20世紀(jì)50年代，Bellman、Zadeh和Charnes等人便已開始對不確定性優(yōu)化進行子研究。隨著社會的不斷發(fā)展，我們所接觸到的問題的復(fù)雜度不斷提高，模型的不確定性也在不斷擴大[1]。比如：飛機航班的線路規(guī)劃、電網(wǎng)的最優(yōu)調(diào)度、物流路徑的最優(yōu)規(guī)劃等等。在實際生活中，模型參數(shù)的不確定性主要來自以下幾個方面：數(shù)據(jù)在統(tǒng)計和采集過程丟失而導(dǎo)致數(shù)據(jù)偏差過大;天氣等不可抗力因素的干擾;

認(rèn)知不全導(dǎo)致現(xiàn)有模型與實際生活中存在偏差;對于一些難以求解的非凸非線性模型，進行簡化描述。為了不確定性問題進行求解型，相關(guān)學(xué)者提出了一系列的優(yōu)化求解方法：隨機規(guī)劃、魯棒優(yōu)化、靈敏度分析、模糊規(guī)劃等等。不確定性優(yōu)化的理論和方法不斷地被開發(fā)出來。據(jù)分析階段的不同，不確定優(yōu)化的理論分為事前分析、和事后分析兩大類方法。我們接下來主要對這兩大類的不確定理論展開敘述。

1.2事前分析方法

隨機規(guī)劃根據(jù)不同的決策規(guī)則，可以分為三類：

1） 期望模型。首先確定不確定參數(shù)的分布模型，然后通過選取離散或連續(xù)的概率分布函數(shù)對不確定參數(shù)進行描述，最終通過求取函數(shù)的期望將不確定問題轉(zhuǎn)化為確定性問題并求解。如果目標(biāo)函數(shù)和約束中存在隨機參數(shù)，只需求取相應(yīng)函數(shù)的期望值，將模型轉(zhuǎn)化為確定性模型進而求解。

2） 機會約束規(guī)劃模型。通俗來講，機會約束規(guī)劃是指允許決策不滿足約束條件，但是決策滿足約束條件的概率不低于事先設(shè)定的置信水平的規(guī)劃求解模型時，目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的理論。

3） 相關(guān)機會約束規(guī)劃模型。相關(guān)機會約束規(guī)劃是當(dāng)決策者面臨多個事件時，希望最大化滿足這些事件的概率而產(chǎn)生的一種規(guī)劃方法。無論是期望模型還是機會約束規(guī)劃模型，最終都是確定性優(yōu)化求解并得出準(zhǔn)確值。相關(guān)機會規(guī)劃雖然求解結(jié)果是確定的，但并不代表一定實現(xiàn)，規(guī)劃的目的是極大化該事件的實現(xiàn)概率。

1.3事后分析方法

魯棒優(yōu)化棒優(yōu)化是研究不確定優(yōu)化問題的一種新建模方法，它源自魯棒控制理論，是隨機優(yōu)化和靈敏度分析的補充替換，其目的是尋求一個對于不確定輸入的所有實現(xiàn)都能有良好性能的解。該方法與隨機優(yōu)化的不同之處在于，它沒有假設(shè)不確定參數(shù)的分布，也即是每個可能值都同等重要，當(dāng)它面向最壞情況時，代表一個最保守的結(jié)果。在過去幾十年中，魯棒優(yōu)化方法在自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟管理等各個領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展，深受國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。

第二章 魯棒優(yōu)化

2.1魯棒優(yōu)化理論的特點

魯棒優(yōu)化與其它不確定優(yōu)化方法的最大區(qū)別在于：

1）魯棒優(yōu)化強調(diào)的是所謂的硬約束，尋求一個對于不確定輸入的所有實現(xiàn)都能有良好性能的解，即不確定優(yōu)化問題的解對于任何一個可能參數(shù)的實現(xiàn)都必須是可行的，而其它不確定優(yōu)化問題并沒有這個要求。

2）魯棒優(yōu)化的建模思想與其它優(yōu)化方法不同，它是以最壞情況下的優(yōu)化為基礎(chǔ)，這代表了一個保守的觀點。得到的優(yōu)化方案并不是最優(yōu)的，但是，當(dāng)參數(shù)在給定的集合內(nèi)發(fā)生變化時，仍能確保優(yōu)化方案是可行的，使模型具有一定的魯棒性，即優(yōu)化方案對參數(shù)擾動不敏感。

3）魯棒優(yōu)化對于不確定參數(shù)沒有分布假定，只是給出不確定參數(shù)集，不確定參數(shù)集合內(nèi)的所有值都同等重要。

4）魯棒優(yōu)化的目的是求得這樣一個解，對于可能出現(xiàn)的所有情況，約束條件均滿足，并且使得最壞情況下的目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值最優(yōu)。 其核心思想是將原始問題以一定的近似程度轉(zhuǎn)化為一個具有多項式計算復(fù)雜度的凸優(yōu)化問題。魯棒優(yōu)化的關(guān)鍵是建立相應(yīng)的魯棒對等模型。然后利用相關(guān)的優(yōu)化理論將其轉(zhuǎn)化為可求解的“近似”魯棒對等問題，并給出魯棒最優(yōu)解。

2.2魯棒優(yōu)化理論的應(yīng)用領(lǐng)域

魯棒優(yōu)化是解決內(nèi)部結(jié)構(gòu)和外部環(huán)境不確定環(huán)境下的一種新的優(yōu)化方法。魯棒優(yōu)化是研究不確定優(yōu)化問題的一種新建模方法，它源自魯棒控制理論，是隨機優(yōu)化和靈敏度分析的補充替換，其目的是尋求一個對于不確定輸入的所有實現(xiàn)都能有良好性能的解。該方法與隨機優(yōu)化的不同之處在于，它沒有假設(shè)不確定參數(shù)的分布，也即是每個可能值都同等重要，當(dāng)它面向最壞情況時，代表一個最保守的結(jié)果。在過去幾十年中，魯棒優(yōu)化方法在自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟管理等各個領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展，深受國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。魯棒優(yōu)化解決內(nèi)部結(jié)構(gòu)變動問題時，主要是約束條件參數(shù)的不確定性或目標(biāo)函數(shù)參數(shù)的不確定性解決外部環(huán)境變化時，主要是外界不確定性擾動。魯棒優(yōu)化己經(jīng)從最初的線性優(yōu)化魯棒方法，發(fā)展到魯棒優(yōu)化理論的經(jīng)典體系[2]。與其它不確定優(yōu)化問題的處理方法不同的是，魯棒優(yōu)化更加適用于如下情況：

①不確定優(yōu)化問題的參數(shù)需要估計，但是有估計風(fēng)險;

②優(yōu)化模型中不確定參數(shù)的任何實現(xiàn)都要滿足約束函數(shù);

③目標(biāo)函數(shù)或者優(yōu)化解對于優(yōu)化模型的參數(shù)擾動非常敏感;

④決策者不能承擔(dān)小概率事件發(fā)生后所帶來的巨大風(fēng)險。

2.2應(yīng)用魯棒優(yōu)化理論目前的瓶頸

專家學(xué)者結(jié)合各行業(yè)存在的實際問題，利用魯棒優(yōu)化進行不確定模型研究時會采用不同的解決方式，然而研究流程大致相同。

魯棒優(yōu)化作為研究不確定優(yōu)化問題的新方法受到了越來越多學(xué)者的關(guān)注，采用事先分析的策略，在優(yōu)化模型建立的過程中就考慮了參數(shù)的不確定性，其優(yōu)化解的魯棒性突破了過去優(yōu)化模型不確定參數(shù)過多依賴先驗知識以及服從概率分布的假定[3]。盡管魯棒優(yōu)化還未形成統(tǒng)一的理論體系，但正是這種百花齊放的研究思路給該領(lǐng)域的研究注入了活力，同時也表明該領(lǐng)域的研究還有許多函待解決的問題：

①在不確定集的確定上，如何與參數(shù)不確定性產(chǎn)生的來源和敏感級別結(jié)合起來，選擇集合的形狀和大小;

②完善并豐富初始不確定優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為魯棒對等式的理論體系，使魯棒對等式為計算可處理的;

③對優(yōu)化模型參數(shù)在其不確定集以外取值的情況加以分析，找到控制優(yōu)化性能惡化的途徑和方法;

④推廣魯棒優(yōu)化的應(yīng)用范圍，使該理論不僅可以在經(jīng)濟管理問題中得以應(yīng)用，而且還可以拓展到實際的優(yōu)化調(diào)度問題中。

參考文獻(xiàn)

[1]覃嶺. 基于魯棒優(yōu)化理論的電力系統(tǒng)機組組合研究[D].天津大學(xué)，2017.

[2]宗群，王維佳，何彥昭.基于魯棒優(yōu)化理論的電梯群控調(diào)度策略[J].控制理論與應(yīng)用，2008（04）：743-748.

[3]邱志平，陳吉云，王曉軍.結(jié)構(gòu)魯棒優(yōu)化的非概率集合理論凸方法[J].力學(xué)學(xué)報，2005（03）：295-300.