從經(jīng)歷到經(jīng)驗 從簡模到精模

張蓉 高穎菁

【摘 要】數(shù)學(xué)模型是指針對或參照某種事物的特征或數(shù)量間的相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要教給學(xué)生已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型和建立數(shù)學(xué)模型的方法。重視數(shù)學(xué)建模，有利于提高學(xué)生的應(yīng)用意識。本文以蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊“認(rèn)識百分?jǐn)?shù)”一課為例，由實際問題引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行模型的優(yōu)化與應(yīng)用，結(jié)合教學(xué)過程，淺談基于建模思想的教學(xué)實踐和反思。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué) 建模教學(xué) 模型思想

重視數(shù)學(xué)建模，有利于提高學(xué)生的應(yīng)用意識。下面，筆者就結(jié)合蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊“認(rèn)識百分?jǐn)?shù)”一課，談一談模型思想教學(xué)的實施策略。

一、激趣引須，引發(fā)建模需求

模型思想的建立，是從現(xiàn)實生活或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，然后對其進(jìn)行必要的簡化。在課堂教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)一個與學(xué)生息息相關(guān)的有趣情景，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，從而引發(fā)建立數(shù)學(xué)模型的需求。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識百分?jǐn)?shù)”這節(jié)課時，教師以學(xué)生熟悉的光盤行動為主題，先出示幼兒園大班和中班各班的光盤情況。大班的三個班班級總?cè)藬?shù)相同，只需比較每個班的光盤人數(shù)，中班的三個班光盤人數(shù)相同，只需比較每個班的班級總?cè)藬?shù)，這樣，學(xué)生能快速順利地?fù)尨鸪龃蟀嗪椭邪嗟哪膫€班光盤情況更好。在此基礎(chǔ)上，出示小班光盤情況（如圖1）：

師：選哪個班？請大家進(jìn)行搶答。

（生答不出，想到可以比較光盤人數(shù)占班級總?cè)藬?shù)的幾分之幾，然后通分進(jìn)行比較，從而選出了小2班是光盤情況最好的）

（再次PK，出示：大3班 9/14，中2班 15/23，小2班13/20）

（出示通分結(jié)果：大3班：2070/3220，中2班2100/3220，小2班2093/3220）

師：哪個班勝出？（中2班）

師：苗班的小朋友也想來比一比（苗班：7/11），現(xiàn)在哪個班勝出啦？公分母又要變化了?。ǔ鍪就ǚ纸Y(jié)果：大3班22770/35420，中2班23100/35420，小2班23023/35420，苗班22540/35420）

師：哪個班勝出？（中2班）

師：現(xiàn)在還只是四個班在比較，如果全區(qū)的小朋友甚至全市的小朋友都來PK，那么公分母就會不停地變化。

師：統(tǒng)計人員也發(fā)現(xiàn)了類似問題，所以，他們想到把這些分?jǐn)?shù)化成分母是100的分?jǐn)?shù)，這樣會便于統(tǒng)計和比較。（PPT出示：大3班64.3/100，中2班65.2/100，小2班65/100，苗班63.6/100）

特級教師王凌曾經(jīng)指出，情境創(chuàng)設(shè)是目前教學(xué)中的常用手段，一個好的情境應(yīng)能與學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行有效的結(jié)合，并且能有效地幫助學(xué)生促進(jìn)理解。把與學(xué)生息息相關(guān)的生活實際問題帶入數(shù)學(xué)課堂，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的有用之處。例題以選擇光盤情況最好的班級為切入口，借助學(xué)生已有的經(jīng)驗——通分，讓學(xué)生選出光盤優(yōu)勝班。接著，教師出示公分母很大的幾個分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生感受到，每比一次就通分一次，既難且繁，以前所學(xué)的知識不能很好地解決此類問題，從而順利地引出用分母是100的分?jǐn)?shù)來表示的內(nèi)容。強(qiáng)烈的視覺對比之下，學(xué)生能直觀體會到用分母是100的分?jǐn)?shù)來表示統(tǒng)計結(jié)果更便于比較和選擇。（如圖2）

二、思考交流，初建數(shù)學(xué)簡模

對于一些數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，很多學(xué)生停留在死記硬背的階段。大部分教師的日常教學(xué)都是直接由例題揭示概念，缺少了學(xué)生主動體會、探索的過程。概念雖然是定義式的，但概念的教學(xué)應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓學(xué)生從生活中尋找實例，在充分的情景體驗之下，感悟概念數(shù)學(xué)模型的建立。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識百分?jǐn)?shù)”一課時，教師讓學(xué)生搜集生活中常見的百分?jǐn)?shù)，并在小組中交流每個百分?jǐn)?shù)表示的意義。

生1：（衣服標(biāo)簽）75%棉表示棉占這件衣服的75%。

生2：（手機(jī)電量）54%表示剩余電量占手機(jī)總電量的54%。

生3：（餐巾紙盒）100%原生木漿表示原生木漿占紙的100%。

（師分別板書）

在上一環(huán)節(jié)，學(xué)生感受到了用百分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾便于比較。對于百分?jǐn)?shù)，學(xué)生已有一定的生活經(jīng)驗。因此這個環(huán)節(jié)，筆者先讓學(xué)生說一說生活中常見百分?jǐn)?shù)所表示的意義，在具體情境下將生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)概念相溝通，使生活情境得以數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程就是一個不停感知、體會、積累的過程。豐富的實際生活材料為百分?jǐn)?shù)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建提供了可能，雖然百分?jǐn)?shù)的意義還未揭示，但是“百分?jǐn)?shù)表示（ ? ）占（ ? ）的（ ?）%”的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)潛移默化地在學(xué)生腦海中扎根。

三、歸納概括，建構(gòu)數(shù)學(xué)中模

建立模型思想的起點是從現(xiàn)實生活中或者具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題并進(jìn)行簡化。學(xué)生對數(shù)學(xué)模型思想的感悟過程，不僅是外顯的形式學(xué)習(xí)過程，還是深入體悟知識產(chǎn)生的過程，是經(jīng)歷將實際問題“數(shù)學(xué)化”的過程。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識百分?jǐn)?shù)”時，學(xué)生充分體會了生活中具體的百分?jǐn)?shù)所表示的意義，并用規(guī)范的語言進(jìn)行了表述。

（讓學(xué)生回顧剛剛的學(xué)習(xí)過程，觀察上述板書）

師：你覺得百分?jǐn)?shù)表示什么？

生：表示一個量占另一個量的百分之幾。

師（引導(dǎo)揭示概念）：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫作百分?jǐn)?shù)。

學(xué)生在上一環(huán)節(jié)已經(jīng)充分體會到了百分?jǐn)?shù)在實際生活情境中所表示的意義。這一環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生從剛剛的交流中，觀察、發(fā)現(xiàn)這些不同的百分?jǐn)?shù)所表示的不同意義中相同的部分。數(shù)學(xué)模型的建立，正是要引導(dǎo)學(xué)生從生活中的問題原型出發(fā)，經(jīng)歷觀察、比較、分析、抽象、概括等過程，去掉數(shù)學(xué)問題中不相同又非本質(zhì)的東西，用精練的數(shù)學(xué)語言或者數(shù)學(xué)符號概括出數(shù)學(xué)模型。當(dāng)學(xué)生能通過自己的感悟概括出百分?jǐn)?shù)的意義時，學(xué)生也就完成了百分?jǐn)?shù)概念的模型建構(gòu)。

四、數(shù)據(jù)剖析，初次應(yīng)用模型

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。新課標(biāo)指出，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程。建立數(shù)學(xué)模型的目的是要通過應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題，讓學(xué)生深切體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識百分?jǐn)?shù)”這節(jié)課時，筆者引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用已經(jīng)建立的百分?jǐn)?shù)概念的模型，理解實際問題中數(shù)據(jù)的含義，通過數(shù)形結(jié)合體會部分量與總體的關(guān)系，并且將建立的數(shù)學(xué)模型放到統(tǒng)計中，利用數(shù)學(xué)模型分析數(shù)據(jù)。

（一）用數(shù)學(xué)模型理解形中之?dāng)?shù)

出示百格圖（涂色部分表示光盤人數(shù)，空白部分表示未光盤人數(shù)），讓學(xué)生分別填寫三張圖的情況并匯報。（如圖3、圖4、圖5）

師：觀察每張圖的涂色部分和空白部分，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：加起來等于100%。

師：希望在不久的將來，我們的光盤率可以達(dá)到多少呢？

生：100%。

這個環(huán)節(jié)把光盤情況與百格圖相結(jié)合，將實際情景抽象化的同時，直觀地讓學(xué)生體會到百分?jǐn)?shù)表示兩個數(shù)之間的關(guān)系。在涂色部分變多的同時，表示光盤人數(shù)的百分?jǐn)?shù)也越來越大，而且表示光盤和未光盤的百分?jǐn)?shù)合起來就是100%。在這個環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型理解數(shù)據(jù)含義，從而滲透部分量與總量之間的關(guān)系的知識內(nèi)容。

（二）用數(shù)學(xué)模型分析統(tǒng)計數(shù)據(jù)

出示整理的統(tǒng)計表（見下表）：

師：觀察這張統(tǒng)計表，你能獲得哪些信息？

（生分析表中信息）

師：糧油店的老板們要為“雙11”備貨，看著這張表，你有什么好的建議？

生1：多進(jìn)有機(jī)大米，少進(jìn)轉(zhuǎn)基因玉米。

生2：花生調(diào)和油也可以多進(jìn)點。

師：通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)，分析百分?jǐn)?shù)的含義，還可以幫助我們進(jìn)行合理的預(yù)測呢！

百分?jǐn)?shù)是由數(shù)據(jù)的統(tǒng)計產(chǎn)生的。為了體現(xiàn)百分?jǐn)?shù)對統(tǒng)計的作用，在這個環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計了一張統(tǒng)計表，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型分析表中百分?jǐn)?shù)所表示的含義。學(xué)生發(fā)現(xiàn)超過100%就說明銷量增長了，低于100%就說明銷量減少了。通過簡單的幾個百分?jǐn)?shù)所表達(dá)出的豐富信息，學(xué)生體會到“百分?jǐn)?shù)會說話”的特點。這個環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生主動應(yīng)用數(shù)學(xué)模型分析數(shù)據(jù)，不僅調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，還提高了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題的能力。

五、反思優(yōu)化，構(gòu)建數(shù)學(xué)精模

學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的過程中，可能會遇到一些困惑。教師幫助學(xué)生解決這些困惑，就能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解，從而多角度地優(yōu)化已經(jīng)建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識百分?jǐn)?shù)”時，教師引導(dǎo)學(xué)生體會兩個獨立的量之間用百分?jǐn)?shù)表示的關(guān)系，用實際情境幫助學(xué)生區(qū)分百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系和區(qū)別，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

（一）探究兩個獨立的量相比較

（課件出示，選擇合適的百分?jǐn)?shù)填空）

某地區(qū)水稻田全年的實際產(chǎn)量是計劃產(chǎn)量的（ ?）。

A.7% ? ?B.22% ? ?C.100% ? ?D.120% ? ?E.200%

生（依次選擇）：100% 、120%、 200%。

師：為什么這里可以超過100%？

師（引導(dǎo)）：這里是兩個獨立的量，實際產(chǎn)量可以比計劃產(chǎn)量多。

在這個環(huán)節(jié)之前，學(xué)生接觸的都是部分量占總量的百分之幾，是不大于100%的百分?jǐn)?shù)。這個環(huán)節(jié)設(shè)計了讓學(xué)生選擇實際產(chǎn)量可能是計劃產(chǎn)量的百分之幾的題目，并讓學(xué)生思考：為什么這里可以超過100%？為了幫助學(xué)生理解，筆者設(shè)計了兩個直條表示實際產(chǎn)量和部分產(chǎn)量，與部分量占總量的情況區(qū)分開，使學(xué)生容易理解，通過實際情境加深了學(xué)生對“百分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”概念的理解，構(gòu)建出更為精細(xì)的數(shù)學(xué)精模。

（二）探究分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別

出示一則數(shù)學(xué)日記：超市的月餅進(jìn)行“買一送一”的促銷活動，相當(dāng)于優(yōu)惠了50/100。一個月餅的凈含量是30/100千克，媽媽吃了一個月餅的75/100就吃不下了。我想起老師教育我們要杜絕浪費，厲行節(jié)儉，就把剩下的吃掉了，吃完后又喝了20/100升水。

師：這里哪些分?jǐn)?shù)可以用百分?jǐn)?shù)表示？哪些不能？為什么？

生：50/100可以寫成50%，75/100可以寫成75%。

師：其他兩個為什么不能？

生：因為它們有單位，表示的是具體的量。

師（引導(dǎo)小結(jié)）：百分?jǐn)?shù)只能表示兩個數(shù)之間的關(guān)系，后面不能有單位。

雖然這個環(huán)節(jié)看似簡單，但在上課過程中筆者發(fā)現(xiàn)，有不少學(xué)生會把所有分?jǐn)?shù)都改寫成百分?jǐn)?shù)，這說明學(xué)生對于百分?jǐn)?shù)意義的理解還未完全內(nèi)化，對于百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的區(qū)別不夠清晰。因此，這個環(huán)節(jié)針對百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系和區(qū)別再一次進(jìn)行強(qiáng)化，以優(yōu)化補(bǔ)充學(xué)生建構(gòu)的百分?jǐn)?shù)模型，使數(shù)學(xué)模型更為精細(xì)化。

六、經(jīng)驗升華，貫通模型思想

師：誰能就這節(jié)課的收獲來介紹一下百分?jǐn)?shù)？

生1：百分?jǐn)?shù)就表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。

生2：百分?jǐn)?shù)只能表示兩個數(shù)之間的關(guān)系，后面不能有單位。

……

課堂的最后讓學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行回顧與總結(jié)，也是幫助學(xué)生再次梳理本課內(nèi)容，感悟、貫通模型思想。

教師在日常教學(xué)中有意識地培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，不僅能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是看得見、摸得著的，還能讓學(xué)生學(xué)會舉一反三，擁有較強(qiáng)的獨立學(xué)習(xí)的能力，利用模型思想去解決更多的數(shù)學(xué)問題，發(fā)掘數(shù)學(xué)的本質(zhì)。