求數(shù)列和的三個(gè)技巧

陸鈺

在解答數(shù)列問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和問題，此類問題常以解答題的形式出現(xiàn)，難度系數(shù)較大.下面結(jié)合實(shí)例來探討一下求數(shù)列和的三個(gè)技巧，以幫助同學(xué)們破解此類難題.

一、分組求和

分組求和是指將數(shù)列中的各項(xiàng)合理拆分為易于求和的幾組，然后分組求和，最后綜合所得的結(jié)果.在運(yùn)用分組求和的技巧解題時(shí)，要先仔細(xì)觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式或數(shù)列中的各項(xiàng)，尋找其中的規(guī)律，將通項(xiàng)公式相同的等差、等比、常數(shù)列分別放在一起，然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式分組進(jìn)行求和.

例 1.已知數(shù)列：1 + 1 ，1a + 4 ，a12 + 7，…，1an - 1 + 3n - 2 ，試求該數(shù)列的和.

解：

仔細(xì)觀察數(shù)列中的各項(xiàng)，可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列中的每一項(xiàng)都由等差數(shù)列 {3n - 2} 和等比數(shù)列 { } an1- 1 構(gòu)成，于是將數(shù)列拆分為兩組：一組為等差數(shù)列，一組為等比數(shù)列，然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式求和本題中 a 的值不確定，要運(yùn)用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公. 式，需分 a = 1和 a ≠ 1兩種情況進(jìn)行討論.

二、裂項(xiàng)相消

若數(shù)列的通項(xiàng)公式或各項(xiàng)為分式，可通過裂項(xiàng)相消來求得數(shù)列的和.首先將各項(xiàng)裂為兩項(xiàng)之差的形式，并使數(shù)列的前后項(xiàng)能夠相互抵消，如 1 n（n + k）=1k ??è?? 1n - 1 n + k 、 n +1 n + 1 = n + 1 - n ，再將各項(xiàng)相加，那么中間的部分項(xiàng)便會(huì)抵消，化簡所得的結(jié)果即可求得數(shù)列的和.

例2.設(shè)數(shù)列 { } an 的前 n 項(xiàng)和 Sn = -3n2 ，{ } bn 為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，b1b2b3 = 512 ，a1 + b1 = a3 + b3 .（1）求數(shù)列{ } an ，{ } bn 的通項(xiàng)公式;（2）若cn = bn （ ） bn - 2 （bn - 1） ，求數(shù)列{ } cn的前 n 項(xiàng)和 Tn .

解：（1）略;（2）由（1）可得：cn = 2n + 1 （2n + 1 - 2）（ ） 2n + 1 - 1 = 2n （ ） 2n - 1 （ ） 2n + 1 - 1 = 1 （ ） 2n - 1 - 1 （ ） 2n + 1 - 1 ，則 Tn = c1 +…+ cn = ?è???÷ 211- 1 - 221- 1 + ?è???÷ 221- 1 - 231- 1 +…+ ?è???÷ 2n1- 1 - 2n +11 - 1 = 1 21 - 1 - 2n +11 - 1 = 1 - 1 2n + 1 - 1 .

經(jīng)觀察可發(fā)現(xiàn) { } cn的通項(xiàng)公式的分母 （ ） 2n - 1 ? （ ） 2n + 1 - 1 為兩項(xiàng)乘積，于是將其裂項(xiàng)： 2n （2n - 1）（ ） 2n + 1 - 1 = （ 1 ） 2n - 1 - （ 1 ） 2n + 1 - 1 ，直接采用裂項(xiàng)相消法求和.將各項(xiàng)相加，那么中間的前后項(xiàng)便會(huì)抵消，剩下的項(xiàng)之和即為所求的前 n 項(xiàng)和.

三、錯(cuò)位相減

若一個(gè)數(shù)列中的各項(xiàng)由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成，則可采用錯(cuò)位相減法來求和.將數(shù)列的前 n 項(xiàng)和左右同乘以等比數(shù)列的公比q ，得到qSn，再將兩式錯(cuò)開一位，使 q 的次數(shù)相同的項(xiàng)相減，通過運(yùn)算求得 Sn 的表達(dá)式，即可求得數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.

例 3. 若 x ≠ 1 ，求 Sn = 1 + 3x + 5x2 + 7x3 +…+（2n -1）xn - 1 .

解：Sn = 1 + 3x + 5x2 + 7x3 +…+ （2n - 1）xn - 1 ①，xSn = 1x + 3x2 + 5x3 + 7x4 +…+ （2n - 1）xn②，將① - ②可得：（1 - x）Sn = 1 + 2x + 2x2 + 2x3 + 2x4 +…+ 2xn - 1 - （ ） 2n - 1 xn，化簡可得 Sn = 2（ ） 1 - xn - 1 （ ） 1 - x 2 + 1 - （ ） 2n - 1 xn 1 - x .

該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （ ） 2n - 1 xn - 1 ，是由等差數(shù)列與等比數(shù)列 { } xn - 1 的乘積構(gòu)成，可采用錯(cuò)位相減法來求和.在數(shù)列的和式左右同時(shí)乘以公比，再將其與數(shù)列的和式錯(cuò)位相減，即可求得數(shù)列的和.

在求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和時(shí)，要學(xué)會(huì)將數(shù)列的通公式或和式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危蓪?shù)列中的各項(xiàng)分為幾組，也可將數(shù)列的通項(xiàng)裂為兩項(xiàng)之差，還可將數(shù)列的和式左右同乘以等比數(shù)列的公比，這樣便能采用分組求和、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減的技巧順利求得數(shù)列的和.

（作者單位：江蘇省興化市第一中學(xué)）