談談解答排列組合問題的思路

孟祖國

解答排列組合問題的主要“工具”是分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理.在解答排列組合問題時，同學們需先明確完成一件事件需“分類”處理，還是要“分步”進行，然后靈活運用這兩個計數(shù)原理來解題.下面重點介紹三種解答排列組合問題的思路，以供大家參考.

一、特殊元素優(yōu)先處理

有些問題中會涉及一些特殊元素，并對其有特殊要求，此時我們需將這些特殊元素或者特殊位置優(yōu)先進行處理.在解題時，首先要根據(jù)題目的要求，將特殊的元素或位置找出，并將其進行排列，然后再將其他沒有要求的元素進行排序，最后運用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理求出總的排列數(shù).

例1.5 只品種不同的小貓在排隊洗澡，要求金漸層小貓不排在第三，銀漸層小貓不排在第一和最后，則有多少種不同的排隊方式？

分析：根據(jù)題意可知，金漸層小貓和銀漸層小貓是特殊元素，所以需先排這兩只小貓的順序.

解：若金漸層小貓排在第一或最后，有 A 種排法;銀漸層小貓就只能排在中間的3 個位置，有 A 種排法;剩下的3只不同品種的貓任意排列，有 A 種排法，由分步計數(shù)原理可得一共有 A AA種排隊方式;

若金漸層小貓排在第二或者第四，有 A 種排法，則銀漸層小貓有 A 種排法;剩下的3只不同品種的貓可以任意排列，有 A 種排列方法;由分步計數(shù)原理可得一共有 A AA種排隊方式;

由分類計數(shù)原理可得滿足題目要求的排隊方式一共有： A AA +A AA = 60種.

例2.3名女生和5名男生排成一排，如果女生不站兩端，有多少種排法？

解法一：因為兩端不排女生，只能從5個男生中選2人排列，有A 種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有 A 種排法，因此一共有A ·A =14400種不同排法.

解法二：從中間6個位置選3個安排女生，有A 種排法，其余的位置無限制，有A 種排法，因此一共有 A ·A =14400種不同排法.

題目中的特殊元素為女生，其特殊位置為兩端，因此可將“女生”看作特殊元素，將兩端安排男生，那么就能確保女生不在兩端;也可將“兩端的位置”看作特殊元素，先把女生排中間的6個位置，這樣女生就不會排在兩端了.

二、相鄰元素需捆綁在一起

有些題目中要求幾個元素相鄰排列，此時需將這幾個元素捆綁起來看作一個大元素來處理.再分別討論大元素的內(nèi)部元素之間的排列順序以及外部元素之間的排列順序，最后靈活運用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理求出最終的排列數(shù).

例3.5 只品種不同的小貓在排隊洗澡，小蘭要求金漸層小貓和銀漸層小貓的洗澡順序是相鄰的，則有多少種不同的排法？

分析：金漸層小貓和銀漸層小貓的洗澡順序是相鄰的，因此需將金漸層小貓和銀漸層小貓捆綁起來當作一個大元素來排序.

解：將金漸層小貓和銀漸層小貓捆綁起來，其排列順序有 A 種;將其看作一個大元素，與其他3只小貓進行排列，有 A 種排法，由分步計數(shù)原理可得一共 A A =48種排法.

三、不相鄰元素需作插空處理

有些題目中要求幾個元素不相鄰，需作插空處理.首先要找出不要求相鄰的元素，將它們進行排列，并得出它們之間的空隙數(shù)（注意題目中是否需要考慮兩端的位置），然后將要求不相鄰的元素排在沒有要求的元素之間的空隙中，最后根據(jù)分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理求解.

例4.5 只品種不同的小貓在排隊洗澡，金漸層、銀漸層和布偶貓不相鄰，則有多少種不同的排法？

分析：根據(jù)題意可知，不相鄰元素就是金漸層、銀漸層、布偶貓，因此可用插空法進行分析.

解：先排列除了金漸層、銀漸層、布偶貓以外的2只小貓，有 A 種排法;此時它們之間有3個空位，將金漸層，銀漸層和布偶貓安排在這3個空位上，有 A 種排法;則由分步計數(shù)原理可得一共有： A A = 12種不同的排法.

解答排列組合問題，需重點分析元素的位置，如元素的位置是否特殊、元素是否要求相鄰、不相鄰，然后選擇與之相應的方法，再靈活運用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理進行求解.

（作者單位：湖北省十堰市鄖陽中學）