空氣中聲速隨溫度變化規(guī)律的簡易實驗

羅 京，郭中華

(蘭州城市學院 物理系，甘肅 蘭州 730070 )

聲速的測量在聲學檢測、超聲應用研究方面非常重要，也是大學物理實驗教學中的一項基礎實驗. 在實驗室條件下，聲速的測量方法主要有駐波法和相位比較法，通常采用信號發(fā)生器、示波器、壓電陶瓷換能器等實驗儀器，計算聲波的波長、頻率進而得到聲速[1-3]. 駐波法是基于駐波的形成原理，易于理解、便于測量，但實際測量中存在多級反射波的疊加；相比之下相位比較法利用入射端與接收端波在介質中傳播的相位差形成李薩如圖形來測量，結果較為準確，但相位的測量易受介質性質的影響.

這兩種方法中，駐波法利用了聲波遇到硬邊界反射與入射波疊加而形成駐波的原理，相關的實驗理論及討論較多[4-6]. 而對于軟邊界，亦存在反射波，頻率滿足一定條件也可與入射波疊加形成駐波，并可依此來測量聲速，但其實驗設計較少，文獻中對其理論的分析不夠完整. 此外，空氣中的聲速是和溫度有關的，聲速隨溫度的變化規(guī)律在一些實驗設計中也有效的實現(xiàn)了控制. 比如買買提等利用空調改變室內溫度[7]，馮升同、郭立群等利用單片機內的高速輸入電路外接電阻絲加熱石英玻璃管等相關元件改變管內空氣的溫度[8,9]，但這些方法存在實驗時間較長、易受實驗條件限制及有一定危險性等問題.

由于突如其來的疫情影響，線上教學普及開來，教育部及時針對大學物理實驗課程提出了指導性方案[10]. 設計在非實驗室環(huán)境下能完成的簡易物理實驗，豐富在線教學實踐，讓更多人獲得居家自主學習的體驗，這不僅對于某些特殊時期的線上教育有重大意義，更為自然科學知識的普及和推廣提供了良好的平臺. 在駐波法測量聲速的基礎上，本文分析了兩端開口管中駐波的實現(xiàn)原理，并借助生活中一些常見的器材，如智能手機,實現(xiàn)聲波的發(fā)射和頻率的測量，電阻絲加熱薄不銹鋼管來改變管中溫度，研究空氣中聲速隨溫度的變化規(guī)律. 這種簡易裝置實現(xiàn)方便、現(xiàn)象直觀，重在理解物理現(xiàn)象背后的理論，契合居家物理實驗的自主學習目標，并對培養(yǎng)學習者的實驗素養(yǎng)很有助益.

1 駐波法測量聲速的基本原理

圖1為兩端開口管中聲波傳播示意圖，聲波從管的一端傳播到另一端時，管的截面發(fā)生突變，使聲波傳播過程中的邊界條件發(fā)生變化，可引起聲波的反射而形成駐波[11]. 選取一段有限長、截面均勻的直管，長度L=40 cm，管口直徑d=2.5 cm，在傳入管中聲音的頻率范圍內，聲波的波長遠大于管的口徑，因此管中聲波可視為平面波.設一列平面聲波傳播到兩種分界面處，其入射波和反射波的形式為

圖1 管中聲波傳播示意圖

pi=pi0exp[i(2πνt-kx)],

pr=pr0exp[i(2πνt+kx)]

(1)

根據(jù)聲波的疊加原理，合成聲場聲壓為

p=pi+pr=2pr0coskxei2πνt+[pi0-pr0]ei(2πκt-kx)

(2)

在管的末端，聲壓遇到截面的突變，其聲場復雜，傳播介質受到壓力影響會對聲波的傳播產(chǎn)生阻礙，稱為阻抗.在分界面處反射和透射的大小就取決于介質的特性阻抗z=ρu，ρ為介質密度，u為介質中聲速.如圖2所示，管口處界面發(fā)生變化，S1和S2分別為管口兩側的截面積，設界面聲壓反射系數(shù)為

圖2 管口處截面的變化

(3)

根據(jù)管中合成聲壓可求得管中介質質點速度，并可進一步得到管中的聲阻抗[11]，由此獲得長度為L的有限長管中輸出聲阻抗為

(4)

z(0)為輸入端的聲阻抗.聲波從入口端向右傳播進入開口端時與大氣耦合，大氣輻射聲阻抗會使一部分聲波返回.由于管的孔徑較小，在聲音輸出端聲阻抗約為零，則由式(4)得到

(5)

(6)

當n=1,2,3,…時，分別對應管中基頻和各階諧頻.因此，從式(6)測得同一開管中產(chǎn)生駐波的相鄰兩聲波的頻率差，就可求出聲速u，即

u=2L(νn+1-νn)

(7)

利用式(7)，只需要測量開管的長度和相鄰本征振動的頻率值，就可以計算出聲波在空氣中的傳播速度.

嚴格來說，聲速的大小與傳播介質有關，既與介質的本身屬性(密度、模量)有關，又與外部狀態(tài)量(溫度、壓強)有關.而對于干燥空氣介質來說，影響聲波傳播速度的主要因素為溫度，Colwell等在實驗室條件下測量了不同距離的聲速，發(fā)現(xiàn)聲速隨溫度變化的關系式均遵循[12]

(8)

式中T0=273.15 K，u0=331.45 m/s，為溫度t=0 ℃時的聲速.

2 空氣中不同溫度下聲速的測量

2.1 聲波的產(chǎn)生及頻率的測量

聲波的產(chǎn)生借助智能手機APP來實現(xiàn)，其中的Impulse軟件較為好用，其界面易操作，可以設置起止頻率及頻率持續(xù)時間，在設定時間內發(fā)出隨時間均勻變化的聲音信號. 本文中頻率的測量采用Spectral Pro Analyzer軟件，其優(yōu)點是可以直觀的看到頻率變化的曲線特征，同時直接用顏色區(qū)分不同的聲強，頻率間隔、更新速度等參量可以進行簡單設置.

2.2 溫度條件的形成

實驗中選取一段薄不銹鋼鋼管，在外表面均勻地纏繞溫控電加熱帶. 設定溫控儀為指定溫度，電熱帶發(fā)熱之后，將熱量傳遞到管中，待穩(wěn)定平衡后，將溫度傳感器的探頭伸入到管中心部，這樣就可以對管中的溫度實現(xiàn)控制. 由于采用的是開口管，管兩端與外界存在一定熱交換，這使得管兩端的溫度低于中心的溫度. 選取20～60 ℃這個溫度范圍，沿著管長測量管中不同區(qū)域的溫度，所得結果如圖3所示.

從圖3可以看出，在室溫(20 ℃)條件下，管中溫度沿著管長變化很小，隨著溫度值的升高，管中部區(qū)域溫度幾乎沒什么變化，而管的兩端由于溫度升高與外界熱交換更加劇烈，導致實際溫度值降低.管長L=40 cm，中部10～30 cm區(qū)域能保持恒溫條件.

圖3 管中不同位置的溫度變化

2.3 測量結果及分析

實驗裝置如圖4所示，采用兩部手機，一部作為聲音發(fā)射器，另一部接收頻率，利用手機支架將兩部智能手機固定在兩側，將直管水平固定在桌面上，使其在豎直方向上高度可調，將溫度探頭伸入到管的內部中心位置，進行溫度的測量.

圖4 實驗裝置圖

接通溫控儀和電加熱帶的開關，設定溫控儀的控制溫度，待溫度穩(wěn)定后，記錄此時溫度讀數(shù).實驗時，一部手機發(fā)出的聲波傳播到管的另一端，被另一部手機接收，在其屏幕上顯示出聲音信號的頻譜，手機停止發(fā)出聲波后，將整個過程的頻率圖像截屏保存.改變溫控儀的設定溫度，待溫度穩(wěn)定以后，重復上述步驟，即可以得到不同溫度所對應的波譜圖.

在Impluse軟件中設置起止頻率為300～3 500 Hz, 持續(xù)時間為10 s. 對比沒有管時直接測量的聲音信號波譜圖[見圖5(a)]和放置管時的波譜圖[見圖5(b)]，可以看到在圖5(a)中有兩條線，任意時刻有很接近的兩個頻率值，這可理解為手機內置傳感器采集聲音的振動信號時，外部聲音信號也會同時引發(fā)主板的周期性振動，內置傳感器感知到這些振動[13]，轉換為電信號，再由軟件預置算法顯示出對應的頻率，因此有兩個很接近的振動頻率. 當聲音通過管中傳播時，圖5(b)中可看到這兩條線周期性的相交，由于波譜圖反映的是聲音頻率的變化，這時不能簡單將之與駐波的波形圖相對應，出現(xiàn)這種周期性的變化可理解為在頻率滿足一定條件時，管中聲波形成駐波，管口處為速度波腹，聲壓波節(jié)，這時手機傳感器受到空氣擾動的速度發(fā)生改變，頻率也相應發(fā)生變化. 因此，測量圖5(b)中交點處的頻率值，可對應式(6)中的頻率結果.

圖5 波譜圖(t=20 ℃)

為了精確讀取頻率數(shù)值，借助Gsview程序，利用比例尺原理讀取出相應數(shù)據(jù)，并用逐差法計算相鄰頻率差的平均值，從而利用式(7)計算得不同溫度下的聲速實驗值，數(shù)據(jù)如表1所示.將表1中的實驗值和利用式(8)計算得到的理論值進行比較，可得到不同溫度下的相對誤差，如表2所示. 為了直觀的比較，將表1和表2中數(shù)據(jù)反映的聲速隨溫度變化的規(guī)律以及實驗值和理論值的相對誤差結果做圖，如圖6所示.

表1 不同溫度下的聲速

表2 不同溫度下測量值的相對誤差

圖6 聲速隨溫度的變化及誤差

從圖6可以看出，聲速的實驗值比理論值偏小，隨著溫度的升高，實驗值和理論值的差別越來越大，在測量范圍內，所有相對誤差不超過2%，其中溫度40 ℃以下相對誤差在1%以內，超過40 ℃則相對誤差大于1%. 這是因為當溫度越高時，管內溫度與外界環(huán)境溫差過大，熱交換越發(fā)明顯，管口處實際溫度較理論溫度值低，因而計算結果偏低.

本實驗影響結果精確度的因素主要有兩點：一是管口處溫度與實際溫度值相比較低，溫度越高，偏低的數(shù)值越大，在60 ℃時可達到5 ℃，這對溫度較高時測量結果的相對誤差影響較大；二是波譜圖的讀數(shù)，測量環(huán)境越是安靜，背景噪音越小，所得波譜圖效果越明顯，利用GSview讀數(shù)越準確. 此外，本實驗忽略了管口長度的校正、熱脹冷縮導致的管的微小形變等因素產(chǎn)生的影響，在以后的實驗設計中可進一步改進，但從實驗結果上來看，隨著溫度的上升，空氣中的聲速不斷增大，兩者呈線性關系，這與聲波傳播速度理論相一致，且理論值和實驗值的相對誤差控制在2%以內，本實驗方案具有一定的可行性.

3 結論

綜上所述，本文根據(jù)管道中駐波的形成原理來測量不同溫度條件下空氣中的聲速，測量結果較為準確，相對誤差不超過2%，實驗結果表明利用智能手機軟件可實現(xiàn)聲速的準確測量. 這種方法不僅有利于對生活中聲學知識的理論學習，還可以解決離開實驗室環(huán)境難以測量聲速的問題，是對傳統(tǒng)物理實驗方法的改進. 本實驗方案的設計基于生活中的實驗器材，并不以精確測量為主要目的，更側重于學習者對理論知識的掌握、實踐動手技能和數(shù)據(jù)處理能力的初步訓練，這對于提升學習者的理論知識學習能力和實驗素養(yǎng)具有很大的益處.