如何在“電動力學(xué)”課程中統(tǒng)一描述光的傳輸模型

陳培鋒

(華中科技大學(xué) 光學(xué)與電子信息學(xué)院，湖北 武漢 430074)

在光電信息科學(xué)與工程專業(yè)教學(xué)中，傳統(tǒng)的光傳輸理論主要包括“幾何光學(xué)”和“波動光學(xué)”課程.“電動力學(xué)”課程傳統(tǒng)上不屬于光電信息科學(xué)與工程專業(yè)的先修課程，但是隨著光電科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是光電材料領(lǐng)域的快速發(fā)展，光的傳輸過程僅僅依靠“光線”和“標(biāo)量波”理論已經(jīng)無法滿足要求，因此描述“電磁波”理論的“電動力學(xué)”課程，已經(jīng)逐漸成為光電信息科學(xué)與工程專業(yè)的必修課程.我校從2009年起逐漸開始推廣“電動力學(xué)”課程在“光電信息科學(xué)與工程”專業(yè)的教學(xué).實踐證明，在光電信息科學(xué)與工程專業(yè)開設(shè)“電動力學(xué)”課程，對于學(xué)生綜合理解學(xué)科熱點、前沿問題的理論基礎(chǔ)問題具有良好的效果，同時對于學(xué)生綜合理解傳統(tǒng)“光線”和“標(biāo)量波”理論模型具有重要的意義.

1 理解光傳播的不同分析模型之間的區(qū)別與聯(lián)系對光電專業(yè)學(xué)生很重要

傳統(tǒng)的基礎(chǔ)理論物理課程邏輯自成體系，不可能關(guān)注到各個應(yīng)用學(xué)科領(lǐng)域的具體要求.因此探索電動力學(xué)理論與光電信息專業(yè)知識的結(jié)合，掌握電動力學(xué)基本理論方法在本學(xué)科的具體應(yīng)用，對于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果非常重要.經(jīng)過實踐，我們認(rèn)識到在“電動力學(xué)”課程中理解光傳輸理論中不同分析模型之間的聯(lián)系，對于光電專業(yè)的學(xué)生很重要.

我校光電信息科學(xué)與技術(shù)專業(yè)，學(xué)習(xí)描述光傳輸?shù)恼n程，包括“物理光學(xué)”“應(yīng)用光學(xué)”“激光光學(xué)”“光纖光學(xué)”等多門課程.在這些課程中，光會以各種不同的模型出現(xiàn).例如，在“應(yīng)用光學(xué)”課程中，光是直線傳輸?shù)臎]有寬度的“光線”；在“物理光學(xué)”課程中，光是無限寬的“平面波”；而在“激光原理”課程中，光是有限寬度的“高斯光束”；在“光纖光學(xué)”課程中，光又是可在光纖中傳輸?shù)母鞣N“模式”.那么，“光”究竟是什么呢？如何統(tǒng)一認(rèn)識這些不同的光模型，需要且可以在更基礎(chǔ)的電動力學(xué)中統(tǒng)一解決.

正確理解這些模型的關(guān)系和區(qū)別，對于學(xué)生今后在專業(yè)發(fā)展中理解如何應(yīng)用這些模型非常重要.例如“應(yīng)用光學(xué)”和“物理光學(xué)”都可以描述光在真空中的傳輸，那為什么有時候用“應(yīng)用光學(xué)”知識設(shè)計光學(xué)系統(tǒng)，而在另一種場合卻要采用“物理光學(xué)”的知識改進(jìn)光學(xué)系統(tǒng)的分辨率呢？這對于學(xué)生理解例如“光刻機”這樣的復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計是必須的.

上述這些知識，不是傳統(tǒng)“電動力學(xué)”課程內(nèi)容，但卻可以通過“電動力學(xué)”課程的進(jìn)一步演繹加以論述.

2 在“電動力學(xué)”課程中介紹“光線”的推導(dǎo)和應(yīng)用范圍

“平面電磁波”是“電動力學(xué)”課程介紹光傳輸?shù)臉?biāo)準(zhǔn)內(nèi)容.我們的實踐表明，在介紹平面電磁波知識時，適當(dāng)推導(dǎo)“光線”的近似和“高斯光束”近似，可以使學(xué)生很好地理解后續(xù)關(guān)于光學(xué)理論之間的聯(lián)系，理解在實際光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計中不同理論應(yīng)用的場景.

在“應(yīng)用光學(xué)”中，光是直線傳輸?shù)臎]有寬度的“光線”；在“物理光學(xué)”中，光是無限寬的“平面波”；而在“激光原理”中，光是具有有限寬度的“高斯光束”.這3種模式同樣都是用來描述光在自由空間傳輸?shù)哪Ｐ?，學(xué)生最不容易理解的就是光好像可以被人們?nèi)我饧僭O(shè).實際上在“電動力學(xué)”課程里一般只講平面波的解，也就是一般只給出了“物理光學(xué)”所涉及的模型.如果在此同時，能夠用簡單的方法介紹“光線”和“高斯光束”的來源，就會發(fā)現(xiàn)實際上這3種解都只是在不同條件下電磁波傳輸?shù)慕颇Ｐ?，只是在不同的條件下采用了不同的模型.采用這種簡述方法，一般只需要2個學(xué)時，基本就可以使學(xué)生理解“應(yīng)用光學(xué)”、“物理光學(xué)”和“激光光學(xué)”之間的內(nèi)在聯(lián)系.

3 “光線”的簡單推導(dǎo)

直接從麥克斯韋方程組開始[1]，考慮各向同性介質(zhì)中一般的時諧波[2]:

(1)

式中E0和H0代表r處的復(fù)矢量，實部代表場.

E0=eeik0n(s·r),H0=heik0n(s·r)

(2)

式中e和h是常復(fù)矢量.對于真空中單色時諧球面波，則有

E0=eeik0r,H0=heik0r

(3)

其中r是距電偶極子所在的坐標(biāo)原點的距離.這里e和h不再是常矢量，但是在距光源足夠遠(yuǎn)的地方(r>>λ0)，這些矢量就與k0無關(guān).這些例子提示我們，在距離場源較遠(yuǎn)的區(qū)域，場的更普遍類型可表成如下形式：

E0=e(r)eik0S(r),H0=h(r)eik0S(r)

(4)

其中S(r)為“光程”，是位置的實標(biāo)函數(shù)，而e(r)和h(r)是位置的矢函數(shù)，它們一般可能是復(fù)數(shù).以式(4)作為麥克斯韋方程組的試探解，即可得到e、h和S的一組關(guān)系式.可以得到：

(5)

(6)

(7)

(8)

光頻的k0非常大，只要方程右邊1/ik0的乘積因子不是特別大，就可以把它們統(tǒng)統(tǒng)略掉，這時我們可以只注意式(5)和式(6)，因為以S標(biāo)乘這兩式就得到式(7)和式(8).式(5)和式(6)可以看作是e、h的6個直角坐標(biāo)分量的6個聯(lián)立線性齊次標(biāo)量方程.只有滿足一致性條件(其結(jié)合行列式為零)，這些聯(lián)立方程才有非零解.從式(5)和式(6)中消去e或h，即可直接得到這個條件.以式(6)中的h代入式(5)，得到

(9)

式中第一項因式(7)而為零，而由于e不是處處為零，因而方程化為

(S)2=n2

或

通過式(5)—式(8)可以看到，在幾何光學(xué)近似下，每一點處的電場e、磁場h和波陣面法線方向S相互垂直.由此可知，在幾何光學(xué)近似下，每一點處的坡印廷矢量方向一定與波陣面法線方向相一致，也就是說光波的能量一定沿波陣面法線方向傳輸.這就是“光線”的基本特征.可以把幾何光線定義為幾何波陣面S=常數(shù)的正交軌線，把光線看作是一些定向曲線，它們的方向處處都與平均坡印廷矢量的方向相重合.

進(jìn)一步，還可以證明電能密度和磁能密度的時間平均值〈we〉和〈wm〉相等，即

(10)

在幾何光學(xué)的精度范圍內(nèi)，電能密度和磁能密度的時間平均值是相等的.

坡印廷矢量的時間平均值為

〈S〉=v〈w〉s

(11)

上述證明過程特別有意義的是要求式(5)—式(8)右邊括弧內(nèi)的乘積因子與1/k0相比不是特別大.這個條件實際上要求，在波長尺度范圍內(nèi)場和介質(zhì)的變化不明顯.理解了這一條件，學(xué)生就很容易理解為什么可以利用以“光線”作為基礎(chǔ)的幾何光學(xué)進(jìn)行光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計，但在焦點處則必須利用波動光學(xué)分析焦點附近的光場變化.而理解了幾何光學(xué)和波動光學(xué)理論模型的適用范圍，更有利于理解在開發(fā)復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)中的不同階段所采用的理論模型之間的關(guān)系.由此可以體會物理基礎(chǔ)對于專業(yè)課程的認(rèn)知是非常重要的.

4 “高斯光束”的特性說明

高斯光束是激光光學(xué)的基礎(chǔ)，為了反映激光光學(xué)的新進(jìn)展，《電動力學(xué)》教材已經(jīng)將高斯光束的推導(dǎo)引入了最新的版本[2].根據(jù)個人的教學(xué)經(jīng)驗，光電信息科學(xué)與工程相關(guān)專業(yè)可以選擇講授這部分內(nèi)容，對于學(xué)生理解激光束以及由此派生出的特殊光束(例如貝賽爾光束等)很有幫助.

高斯光束的推導(dǎo)可以從亥姆霍茲方程開始[2]：

2u+k2u=0

(12)

其中u為電磁波的任一時諧波直角分量，取

u(x,y,z)=E0(x,y,z)e-ikz

(13)

取振幅E0滿足緩變振幅條件，可以推導(dǎo)出自由空間中傳輸?shù)囊环N“高斯光束”特解[2,3]：

(14)

其中u0、w0為常數(shù).

(15)

(16)

(17)

根據(jù)實際教學(xué)經(jīng)驗，在上述高斯光束推導(dǎo)的基礎(chǔ)上應(yīng)該向?qū)W生強調(diào)以下幾點：

(18)

當(dāng)w0→∞時，θ→0，則光束趨向于平面波.因此上面的結(jié)果實際上說明對于有限口徑的光束，總存在由于衍射帶來的光束發(fā)散，這是波動光學(xué)的基本特征.

2) 這是一個近似解，近似條件為忽略了?2E0/?z2項.這個條件除了極小的聚焦點處外，一般都滿足這個條件.

3) 光束波前是一個近似的半徑為R的球面，但球面中心是不固定的，在較遠(yuǎn)處的球面中心為原點.

5 總結(jié)

平面電磁波是“電動力學(xué)”課程的標(biāo)準(zhǔn)教授內(nèi)容，如果在此基礎(chǔ)上介紹“光線”和“高斯光束”的傳輸特性，就會使學(xué)生對這些光束傳輸?shù)幕灸Ｐ陀幸粋€整體的理解.學(xué)生能夠通過這些內(nèi)容理解不論是平面波，還是光線或高斯光束這些模型都可以出自麥克斯韋方程組，只是存在不同的近似條件，也就意味著在不同的條件下成立.因此通過“電動力學(xué)”課程就可以將各種光傳輸有關(guān)的課程之間的聯(lián)系打通[4,5].當(dāng)然要做到這一點是有困難的，因為“電動力學(xué)”課程本身就是非常難學(xué)的課程，在這個基礎(chǔ)上再賦予更多的教學(xué)內(nèi)容，需要在教學(xué)方法上下功夫.但我們認(rèn)為增加上述教學(xué)內(nèi)容對光電信息專業(yè)學(xué)生是有必要的.實踐證明，通過不斷改進(jìn)，“電動力學(xué)”課程是可以在光電信息科學(xué)與工程專業(yè)本科學(xué)生的培養(yǎng)過程中發(fā)揮更大的作用的.