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    平行四邊形面積公式固著化的原因分析與策略研究

    2022-04-05 13:51:11蔣鑫源
    關(guān)鍵詞:課后練習(xí)

    蔣鑫源

    【摘? ?要】平行四邊形是學(xué)生在學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形之后所接觸到的第三個(gè)幾何圖形,它也是后續(xù)學(xué)習(xí)三角形、梯形等圖形的基礎(chǔ)。通過調(diào)查發(fā)現(xiàn),學(xué)生存在面積公式的固著現(xiàn)象,即認(rèn)為凡與此相關(guān)的問題都應(yīng)該借助面積公式來解決。該現(xiàn)象背后的原因與格式塔心理學(xué)中“心理場(chǎng)”概念以及知覺組織原則相關(guān)。公式的固著現(xiàn)象可以通過調(diào)動(dòng)學(xué)生的幾何直覺、打破公式的推導(dǎo)固化、加強(qiáng)課后練習(xí)質(zhì)量等策略來解決。

    【關(guān)鍵詞】公式固著;心理場(chǎng);知覺組織;推導(dǎo);幾何直覺;課后練習(xí)

    一、一道題目暴露的問題

    培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)的眼光”是當(dāng)前數(shù)學(xué)課程蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)之一。數(shù)學(xué)的眼光是與數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)的一種獨(dú)特的思考角度。[1]“獨(dú)特”一詞體現(xiàn)出眼光的個(gè)性化,人通過不同的角度可能會(huì)獲取不同的信息、經(jīng)歷不同的思維過程,自然出現(xiàn)不同的生成。在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),學(xué)生往往對(duì)平行四邊形記憶最深刻的就是面積公式,這種過分的熟悉不利于學(xué)生“數(shù)學(xué)眼光”的培養(yǎng)。國(guó)外學(xué)者Laura Macchi 與Maria Bagassi等人在研究中發(fā)現(xiàn):對(duì)于頓悟問題的解決,默認(rèn)反應(yīng)并不能得到結(jié)果,反而有可能導(dǎo)致“固著(Fixation)”。他們引用韋特海默“正方形與平行四邊形”一題(如圖1)來加以解釋。[2]也就是說,對(duì)于平行四邊形面積的相關(guān)問題,學(xué)生的默認(rèn)反應(yīng)就是找到底與高后,將數(shù)據(jù)代入面積公式計(jì)算即可。若無法獲得公式信息,學(xué)生就很難利用其他方式來解決。

    為研究公式的認(rèn)知固著現(xiàn)象,筆者在學(xué)生學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積之后進(jìn)行“正方形與平行四邊形”一題的測(cè)試,測(cè)試對(duì)象為北京市S小學(xué)五年級(jí)某班的學(xué)生,共計(jì)36人。測(cè)試結(jié)果顯示,有59%的學(xué)生采用公式法求解平行四邊形的面積。有12%的學(xué)生在采用公式法的同時(shí)嘗試使用轉(zhuǎn)化法,但轉(zhuǎn)化法仍然未脫離面積公式。學(xué)生依據(jù)底和高的關(guān)系,將平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個(gè)大小相等的長(zhǎng)方形來解決(如圖2)。除此之外,有18%的學(xué)生無法解決本題。另有11%的學(xué)生嘗試通過底邊與鄰邊相乘來解決問題,但無法獲得較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度,因此沒能得出準(zhǔn)確結(jié)果。從測(cè)試結(jié)果可以看出,有71%的學(xué)生能夠解決該問題,且都使用了面積公式;29%的學(xué)生既無法利用公式解決問題,也沒有其他思路。測(cè)試結(jié)果表明,學(xué)生存在平行四邊形面積公式固著的現(xiàn)象。

    二、公式固著現(xiàn)象產(chǎn)生的原因分析

    韋特海默對(duì)本題的設(shè)計(jì)是與人的心理活動(dòng)相關(guān)的。格式塔心理學(xué)遵從整體論,認(rèn)為主體的心理現(xiàn)象具有特定的整體屬性,對(duì)部分的感知是依賴于整體屬性的,整體不能分解為簡(jiǎn)單的元素。該理論強(qiáng)調(diào)知覺的作用,認(rèn)為知覺到的事物大于眼睛看到的事物,并且每個(gè)人都是依照組織律進(jìn)行知覺組織的。對(duì)本題來說,學(xué)生受到正方形、平行四邊形等熟悉圖形的影響,遵從熟悉性原則進(jìn)行知覺組織,以致眼睛看到的就是一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形。實(shí)際上,本題中除了正方形和平行四邊形以外,還存在兩個(gè)直角三角形(如圖3)。學(xué)生之所以無法看到這兩個(gè)直角三角形,也是因?yàn)橹X組織。由于兩個(gè)直角三角形的構(gòu)型造成圖形與背景之間的區(qū)分度較小,從而使其難以成為知覺對(duì)象。此外,在格式塔理論中有兩個(gè)重要的術(shù)語,即沖突(conflict)和掩蔽(masking)。[3]學(xué)生看不到兩個(gè)直角三角形的存在,正是由于熟悉性法則戰(zhàn)勝了圖形與背景法則,從而將兩個(gè)直角三角形掩蔽。因此,如果學(xué)生能夠?qū)D形與背景進(jìn)行轉(zhuǎn)換,使兩個(gè)直角三角形得以呈現(xiàn),那么即便是沒有學(xué)習(xí)過平行四邊形面積公式,學(xué)生也可以將兩個(gè)三角形重新組織成一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖4),進(jìn)而獲得正方形與平行四邊形的面積之和,最后利用“部分—整體”關(guān)系得到平行四邊形的面積。

    學(xué)生無法擺脫公式的束縛,主要是受到場(chǎng)的影響。格式塔心理學(xué)提出心理場(chǎng)(psychological field)與物理場(chǎng)(physical field)兩個(gè)概念。前者指觀察者心目中的世界,后者指物理學(xué)家研究的世界。個(gè)體的行為與心理場(chǎng)有關(guān),如果個(gè)體的場(chǎng)與目標(biāo)之間是同質(zhì)的,那么個(gè)體與場(chǎng)之間將處于平衡狀態(tài);如果個(gè)體的場(chǎng)與目標(biāo)之間是異質(zhì)的,那么個(gè)體將處于不平衡狀態(tài)且具備動(dòng)力特征。當(dāng)個(gè)體處于不平衡狀態(tài)時(shí),會(huì)對(duì)知覺場(chǎng)進(jìn)行重新組織,從而實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定與平衡。良好的心理場(chǎng)形成時(shí),問題就迎刃而解了。[4]因此,如果學(xué)生總是能夠使用面積公式解決問題,那么個(gè)體與目標(biāo)之間是同質(zhì)的,個(gè)體與場(chǎng)之間形成穩(wěn)定的、平衡的狀態(tài)。但當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積公式不能支持問題解決時(shí),則個(gè)體與目標(biāo)之間是異質(zhì)的,個(gè)體將處于不平衡狀態(tài),需要對(duì)知覺信息進(jìn)行重新組織以達(dá)到新的平衡,從而解決問題。

    三、破除公式固著的相關(guān)策略

    (一)借助幾何直覺,點(diǎn)燃學(xué)生思維

    在康德的數(shù)學(xué)哲學(xué)中直覺擁有重要地位,康德認(rèn)為人類所有經(jīng)歷都符合概念和直覺條件,直覺是由時(shí)間與空間強(qiáng)加的,概念是由理解范疇強(qiáng)加的,因此直覺對(duì)于幾何量(magnitude)的認(rèn)知是不可或缺的。[5]教師在進(jìn)行平行四邊形面積的教學(xué)時(shí),不應(yīng)該將內(nèi)容拆分為“數(shù)方格”“轉(zhuǎn)化圖形”“推導(dǎo)公式”等幾個(gè)板塊后放入袋子內(nèi)等待學(xué)生索取,而應(yīng)該讓學(xué)生能夠依賴幾何直覺,發(fā)現(xiàn)平行四邊形和已有經(jīng)驗(yàn)中的長(zhǎng)方形之間具有內(nèi)在聯(lián)系,從而對(duì)平行四邊形作出重新的組合、改編和匹配。也就是說,將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的過程應(yīng)該是學(xué)生根據(jù)結(jié)構(gòu)自主進(jìn)行的轉(zhuǎn)化,而非由教師引領(lǐng)的,因?yàn)閷W(xué)生具備消除困擾、將已有結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為更好的結(jié)構(gòu)的本能。實(shí)際上,良好均衡的知覺場(chǎng)的形成需要問題解決者超越對(duì)于事物表面特征的認(rèn)識(shí),而領(lǐng)悟到事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。[6]韋特海默在《創(chuàng)造性思維(Productive Thinking)》一書中提到,平行四邊形面積的教學(xué)不在于公式,而在于真正的理解和解決問題的能力。學(xué)生對(duì)該問題的真正理性解決與外部程序解決之間是有很大區(qū)別的。[7]

    (二)打破推導(dǎo)固著,建立動(dòng)態(tài)眼光

    面積是幾何圖形的屬性之一,而圖形在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中占據(jù)重要地位。早在公元前6世紀(jì)到公元前4世紀(jì),希臘人就對(duì)幾何量給予充分的關(guān)注。圖形對(duì)他們而言既是符號(hào),也是推理的工具。[8]古希臘哲學(xué)家亞里士多德將量分為連續(xù)量與離散量,包含線、面、體、時(shí)間、空間、數(shù)字、語言這七種量。其中,數(shù)字和語言屬于離散量,而線、面、體、時(shí)間、空間則屬于連續(xù)量。[9]19~20 世紀(jì),英國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素(Bertrand Arthur William Russell,1872—1970)在他的著作《論數(shù)與量的關(guān)系》中談及強(qiáng)度量與廣延量,認(rèn)為廣延量是可以表述為“整體=部分+部分”的, 而強(qiáng)度量的整體與部分之間是一致的。因此,從量的角度來看,面積既是連續(xù)量,也是廣延量,而幾何圖形既是抽象符號(hào),又是推理工具。

    在教學(xué)實(shí)踐中,教師通常利用“數(shù)方格”和“轉(zhuǎn)化法”來完成面積公式的推導(dǎo)過程。事實(shí)上,這類方法利用了面積作為廣延量的屬性,即通過考慮部分與整體的關(guān)系實(shí)現(xiàn)面積公式的推導(dǎo)。如果將教學(xué)實(shí)踐看作是一架天平,天平的左側(cè)是面積的廣延量屬性,右側(cè)是面積的連續(xù)量屬性,那么顯然這架天平已經(jīng)失去了平衡。認(rèn)識(shí)面積的連續(xù)量屬性,并從運(yùn)動(dòng)變化的角度對(duì)它進(jìn)行構(gòu)建,可以培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)思維。

    以學(xué)生學(xué)習(xí)平面圖形面積的整體過程來看,往往是將陌生的圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形,然后推導(dǎo)出新圖形的面積公式。并且嚴(yán)格遵循教科書順序,即“長(zhǎng)方形→平行四邊形→三角形→梯形”。然而,學(xué)習(xí)的道路絕不止一條,如果教師選擇使用固化的方式進(jìn)行課堂教學(xué),那么學(xué)生則不可避免地形成固化的思維。

    除了靜態(tài)的轉(zhuǎn)化、推理活動(dòng)以外,運(yùn)動(dòng)變化的方式同樣適用于幾何圖形的學(xué)習(xí)。比如梯形可以和長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形等圖形實(shí)現(xiàn)公式通用。通過變化梯形的上下底,直到二者相等,可以將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形或長(zhǎng)方形,梯形面積公式中上下底的和也就是平行四邊形或長(zhǎng)方形兩條底邊的和;當(dāng)梯形的上底為0時(shí),則轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形,此時(shí)上下底之和轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蔚牡走叄ㄈ鐖D5)。由于梯形的上下底之和與高保持不變,無論以上哪種圖形,面積大小都不會(huì)發(fā)生變化。因此,平行四邊形的面積公式并不是一成不變的,而是可以根據(jù)思考方式不同而產(chǎn)生不同的抽象結(jié)果。

    平行四邊形面積的學(xué)習(xí)方法除了“數(shù)方格”“轉(zhuǎn)化圖形”“變化梯形的上下底長(zhǎng)度”以外,還可以從“線動(dòng)成面”的角度展開學(xué)習(xí)。如圖6所示,長(zhǎng)方形的面積可以看作是線段EF由AB位置沿垂直方向平移至CD位置所形成的軌跡,其大小由線段EF的長(zhǎng)度以及線段AB到線段CD之間的距離決定。同理,平行四邊形的面積則可以看作是線段EF由AB位置沿某一角度平移至CD位置所形成的軌跡,其大小同樣由線段EF的長(zhǎng)度以及線段AB到線段CD之間的距離決定。[10]三角形與梯形的特殊之處是橫向線段EF在運(yùn)動(dòng)過程中不斷縮小,因此面積大小由橫向線段EF運(yùn)動(dòng)變化的平均值與運(yùn)動(dòng)距離所決定(如圖7)。

    平行四邊形面積公式的推導(dǎo)是一個(gè)開放性的問題,教學(xué)時(shí)需要打破固化的推導(dǎo)方式,通過設(shè)計(jì)聯(lián)系的、運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)來扭轉(zhuǎn)學(xué)生唯公式化的問題解決方式。

    (三)借助課后練習(xí),鍛煉學(xué)生眼光

    課后練習(xí)的作用在于既能鞏固所學(xué)知識(shí),又能鍛煉學(xué)生的眼光。在當(dāng)前雙減背景下,如何在壓減課后作業(yè)總量的同時(shí),又能保證創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)?這就要求教師強(qiáng)化作業(yè)的質(zhì)而減少作業(yè)的量。相比以往鋪天蓋地的公式運(yùn)用性題目,教師更應(yīng)該選取能夠鍛煉數(shù)學(xué)眼光與數(shù)學(xué)思維的練習(xí)題。要?jiǎng)?chuàng)造條件培養(yǎng)學(xué)生大膽設(shè)想的習(xí)慣,創(chuàng)設(shè)一些條件不夠充分、具有創(chuàng)造性空間的問題來培養(yǎng)學(xué)生的猜測(cè)能力。比如下面這題(如圖8),學(xué)生可以從圖形的結(jié)構(gòu)出發(fā),根據(jù)題目的要求將圖形進(jìn)行重組,從而構(gòu)造出新的圖形結(jié)構(gòu)來解決問題(如圖9)。也可以從面積公式的角度考慮,以達(dá)成問題的解決。因此,相比單純的公式運(yùn)用性練習(xí),教師可以布置開放性強(qiáng)、材料信息不充分、從多個(gè)角度進(jìn)行思考的練習(xí),進(jìn)一步鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光。

    四、原因及策略總結(jié)

    從上述內(nèi)容可知,學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形面積公式的過程中存在的誤區(qū)包括推導(dǎo)誤區(qū)與應(yīng)用誤區(qū)。推導(dǎo)誤區(qū)體現(xiàn)在課堂教學(xué)中公式的推導(dǎo)方式固化,即只考慮面積的廣延量屬性,采用“數(shù)方格”“轉(zhuǎn)化圖形”等方式推導(dǎo)面積公式,而忽視面積的連續(xù)量屬性,不能以動(dòng)態(tài)的眼光與方式看待該內(nèi)容。公式的應(yīng)用誤區(qū)體現(xiàn)在問題解決過程中凡與之相關(guān)的內(nèi)容都要借用公式解決,而無法對(duì)知覺信息進(jìn)行重新組織與轉(zhuǎn)換,以找到新的解決問題的策略。

    造成以上誤區(qū)的原因一方面與教師對(duì)知識(shí)內(nèi)容的理解有關(guān),另一方面與人的心理場(chǎng)和知覺組織原則相關(guān)。因此,教師要加強(qiáng)對(duì)知識(shí)屬性本身的理解,借助幾何直覺的力量,尋找事物之間的內(nèi)在聯(lián)系,從而打破傳統(tǒng)的教學(xué)方式,不斷創(chuàng)新,實(shí)施培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)。此外,思維和推理都依賴于知覺的過程,人的感知過程就是從對(duì)整體廣泛的、模糊的認(rèn)識(shí)到對(duì)具體細(xì)節(jié)的把握,以致呈現(xiàn)出有組織的、清晰的想法。[11]教師可以通過創(chuàng)造與心理場(chǎng)不相符合的行為目標(biāo)而促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生不平衡狀態(tài),從而打破思維定式,尋找新的解決問題的策略。

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    (首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048)

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