隱含波動率反演的改進高斯牛頓法

袁敬嵐，江嘉華，何佳濱，鄧小毛

摘要：隱含波動率是將市場期權(quán)價格代入Black-Scholes方程等期權(quán)定價模型反推得到的波動率結(jié)果，它反映投資者對未來一段時間內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動程度的預(yù)期。牛頓迭代法、二分法等經(jīng)典算法計算隱含波動率時，在部分數(shù)據(jù)上無法收斂．因此該文基于高斯牛頓法，提出一種隱含波動率的改進算法，利用L曲線法進行正則化參數(shù)選取及最小殘差準(zhǔn)則確定最優(yōu)下降步長．使用上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)的實驗結(jié)果表明，本文提出的改進算法在數(shù)據(jù)集上可全部收斂，且可反演得到合理的隱含波動率。

關(guān)鍵詞：隱含波動率；Black-Scholes 方程；高斯牛頓法；L曲線法

中圖分類號：65F22， 68T05? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）33-0104-04

1 引言

金融衍生物是投資者用以風(fēng)險管理的工具，期權(quán)就屬于種類眾多的金融衍生物中的一種．期權(quán)的發(fā)行者和持有者都希望以公平合理的價格進行交易，這就是期權(quán)定價問題．關(guān)于現(xiàn)代期權(quán)定價問題的研究，最早于1900年法國數(shù)學(xué)家Louis Bachelier在其博士論文《投資理論 （The Theory of Speculation）》中，從隨機過程理論的角度研究資產(chǎn)價格，假設(shè)股票價格變化過程是一個布朗運動，首次提出了歐式看漲期權(quán)的定價公式．在Bachelier之后，期權(quán)定價理論開始蓬勃發(fā)展。1973年，F(xiàn)ischer Black和Myron Scholes建立了著名的Black-Scholes期權(quán)定價模型[1]，這一模型具有重大的意義。幾乎在同時Robert Merton也發(fā)現(xiàn)了同樣的公式并發(fā)表，同時做了推廣應(yīng)用的相關(guān)研究。

期權(quán)定價反問題也是期權(quán)領(lǐng)域的重要課題，其中一個為對隱含波動率的反演[2]。隱含波動率可以反映市場對標(biāo)的資產(chǎn)包括股票、大宗商品、債券、貨幣等價格波動的預(yù)期，包含了未來波動率的信息。通過編制隱含波動率指數(shù)、隱含波動率曲面等方法可以與實際波動率比較，從而可制定基于波動率的風(fēng)險溢酬的相關(guān)交易策略[3]。將市場期權(quán)價格等條件代入期權(quán)定價模型后可反推出隱含波動率，但是由于期權(quán)定價模型的復(fù)雜性，隱含波動率的計算通常不存在解析解。隱含波動率的計算方法主要分為近似解和數(shù)值解兩類。在近似解方面，通過將正態(tài)分布進行泰勒展開，并做二階近似可求解得到Corrado-Miller公式及其改進公式[4]；在數(shù)值解方面，從數(shù)值逼近的角度，若基于泰勒展開式可算得隱含波動率的無窮級數(shù)形式，通過計算系數(shù)得到其近似解[5]；此外基于Dirac Delta示性函數(shù)可得到隱含波動率的積分逼近形式，然后使用數(shù)值積分得到隱含波動率的漸進解[6] 。從最優(yōu)化的角度，可以將Black-Scholes公式轉(zhuǎn)化為一個最小二乘目標(biāo)函數(shù)，然后使用牛頓法和二分法等最優(yōu)化方法迭代求解，得到該優(yōu)化問題所對應(yīng)的隱含波動率[7] 。值得注意的是，經(jīng)典牛頓法及二分法應(yīng)用于實際期權(quán)數(shù)據(jù)時，常出現(xiàn)收斂較慢或者對部分數(shù)據(jù)無法收斂的情況，難以得到合理的結(jié)果。為此本文將基于Black-Scholes模型研究隱含波動率改進的計算方法。

本文選擇上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)作為實驗數(shù)據(jù)計算隱含波動率。2015年，上證50ETF期權(quán)經(jīng)過證監(jiān)會批準(zhǔn)后，在上海交易所上市，這是我國第一只ETF期權(quán)[8]。上證50ETF期權(quán)同時也是除銅期權(quán)外目前在我國上市交易的兩種歐式期權(quán)之一。自從上證50ETF期權(quán)推出以來，受到投資者踴躍參與，一直有著良好的發(fā)展態(tài)勢，對我國的衍生品市場乃至金融業(yè)都有積極的影響。我國的期權(quán)市場與國外期權(quán)市場相比起步較晚，現(xiàn)在仍處于萌芽階段，隨著我國期權(quán)市場不斷完善成熟，可預(yù)見期權(quán)市場將有著可觀的發(fā)展空間。因此對期權(quán)隱含波動率的研究不僅有學(xué)術(shù)價值，也具有現(xiàn)實意義。

2 Black-Scholes期權(quán)定價模型

在無稅收、紅利和交易成本，市場無賣空限制、交易連續(xù)進行、貼現(xiàn)率與無風(fēng)險利率相等等假設(shè)下，歐式期權(quán)價格[Vt]滿足如下Black-Scholes方程：

[?Vt?t+rSt?Vt?St+12σ2St2?2Vt?St2-rVt=0] （1）

其中[St]和[K]分別為股票價格和期權(quán)執(zhí)行價，[r]為連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險利率，[σ]為隱含波動率。[T]為期權(quán)有效期限，[t]為期權(quán)期限內(nèi)某一時間，則[T-t]為期權(quán)剩余有效時間。邊界條件為：

[hST=ST-K+，看漲期權(quán)K-ST+，看跌期權(quán)]? （2）

在風(fēng)險中性的條件下，不難解得歐式看漲期權(quán)的定價公式為[9]：

[C=SNd1-Ke-rT-tNd2] ? （3）

歐式看跌期權(quán)的定價公式為：

[C=Ke-rT-tN-d2-SN-d1] （4）

其中：

[d1=lnSK+r+σ22T-tσT-t]，

[d2=lnSK+r-σ22T-tσT-t]，

且[Nd1、Nd2]都是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量的概率分布函數(shù)。

3 改進的高斯牛頓迭代法

由于Black-Scholes公式的復(fù)雜性，隱含波動率[σ]不存在解析解，一般可以通過如牛頓迭代法、二分法等數(shù)值方法求出隱含波動率的近似解。下面以歐式看漲期權(quán)為例，簡要說明牛頓迭代法的計算步驟。首先構(gòu)造最小化目標(biāo)函數(shù)[fσ;S，K，r，T，t]，它表示期權(quán)定價模型中的理論價格[Cσ]與實際期權(quán)市場價格[C]的差，簡記為：

[fσ=Cσ-C=SNd1-Ke-rT-tNd2-C] （5）

則牛頓迭代法表達式為：

[σk+1=σk-fσkf'σk] （6）

令[τ=T-t]，不難推得[fσ]，即Vega值如下：

[fσ=?Cσ?σ=S?Nd1?d1?d1?σ-Ke-rτ?Nd2?d2?d2?σ =SN'd1τ12]

（7）

此外Matlab軟件的Finance工具箱中也集成了基于Black-Scholes公式求解隱含波動率的函數(shù)BLSIMPV， 該函數(shù)使用其優(yōu)化工具箱中fzero函數(shù)進行目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)。fzero函數(shù)使用了二分、割線和反二次插值等數(shù)值方法的組合。

牛頓法收斂速度快，但在計算隱含波動率時存在某些數(shù)據(jù)無法收斂的問題。因此本文在高斯牛頓法的基礎(chǔ)上提出改進算法。設(shè)[σ=σ1，σ2，…，σnT]為未知參數(shù)向量，其分量[σi]表示第[i]（[i=1，2，…，n]）個日期對應(yīng)的隱含波動率；基于Black-Scholes公式的理論期權(quán)價格為[Cσ=Cσ1，Cσ2，…，CσnT]，實際期權(quán)價格為[C=C1，C2，…，CnT]。高斯牛頓法基于最小二乘法建立目標(biāo)函數(shù)，且由于隱含波動率的求解是病態(tài)反問題，需加入正則化項來提高解的適定性。為了便于計算，選擇L2正則化項，則目標(biāo)函數(shù)可表示為：

[Fσ=C-Cσ22+ασ22]? ? ? （8）

[其中α]為正則化參數(shù)。目標(biāo)函數(shù)的解為：

[argminσi≥0Fσ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

高斯牛頓迭代法的基本原理為首先對目標(biāo)函數(shù)進行線性化近似處理。為此，假設(shè)[Cσ]可近似為[σ]的線性函數(shù)，則可表示為：

[Cσ≈Cσ0+J0Δσ]? ? ? ? ? ? ? ?（10）

其中，[σ0]是[σ]的n維初值向量；[Δσ=Δσ1，Δσ2，…，ΔσnT]是[σ]的修正方向向量；[J0]是n[×]n的雅可比矩陣，可使用式（7）求得。令線性誤差方程為：

[VΔσ=Cσ-C=Cσ0+J0Δσ-C] （11）

取[VΔσ]的二范數(shù)后得到：

[VΔσTVΔσ=Cσ0+J0Δσ-CTCσ0+J0Δσ-C]

（12）

則線性近似下的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為：

F[Δσ=VΔσTVΔσ+αΔσTΔσ] （13）

進一步，令F[Δσ]關(guān)于[Δσ]的一階偏導(dǎo)為0。

[?FΔσ?Δσ=2JT0VΔσ+2αΔσ=0n×1] （14）

可推得正則化后的解為：

[Δσ=JT0J0+αI-1JT0C-Cσ0] ? ? ?（15）

由此構(gòu)建高斯牛頓法的迭代公式為：對于[k=0，1，…，n]。

[σk+1=σk+λkΔσkΔσk=JTkJk+αI-1JTkC-Cσk]? ? ? ? （16）

[Jk]是第[k]步迭代的雅可比矩陣。

該迭代格式中有兩個需要確定的參數(shù)，即為正則化參數(shù)<E：＼2022知網(wǎng)文件＼33＼7xs202233＼Image＼image57.png>和迭代步長<E：＼2022知網(wǎng)文件＼33＼7xs202233＼Image＼image58.png>。首先，正則化參數(shù)的選取會影響解的精度，過大則解不準(zhǔn)確，過小則數(shù)值不穩(wěn)定。正則化參數(shù)可以通過先驗選取或者后驗選取。先驗選取依賴精確解的先驗信息，但在實際應(yīng)用中精確解的先驗信息往往難以獲得。后驗選取的方法有很多，常用的方法有廣義交叉驗證（GCV）、L曲線法等[10-11]。L曲線法可用于線性最小二乘泛函中正則化參數(shù)的選取。它的基本思路是通過構(gòu)造最小二乘殘差范數(shù)與L2范數(shù)正則化項的變化曲線，通過找出曲線上曲率達到最大值的點，得到其對應(yīng)的正則化參數(shù)[11]。由于高斯牛頓法已對目標(biāo)函數(shù)進行了線性化處理，故可采用L曲線法確定正則化參數(shù)。由于高斯牛頓法對初值的依賴性較強，在首先使用L曲線法取得正則化參數(shù)[α]之后，使用（15）計算[Δσ]后可得到一個改進的初值[σ0]如下：

[σ0=σ0+Δσ]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（17）

其次，在迭代過程中，步長[λk]也會對迭代結(jié)果產(chǎn)生影響。如果步長過小，則需要的迭代次數(shù)會增加，從而降低收斂速度；如果步長過大，則迭代結(jié)果會快速變化，容易導(dǎo)致無法收斂。本文使用最小殘差步長準(zhǔn)則確定迭代步長[12]。記第[k+1]次迭代的殘差[rk+1]為：

[rk+1=Cσk+1-C]

[≈Cσk+Jkσk+1-σk-C] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18）

把高斯牛頓法計算的[σk+1]表達式代入（3.14）式，得到如下形式：

示為殺出，長對

[ rk+1=Cσk-C-Jkσk+Jkσk+λkJTkJk+αI-1JTkC-Cσk]

[=rk-λkJkJTkJk+αI-1JTkrk][?rk-λkBkrk]? ? ?（19）

其中記[Bk?JkJTkJk+αI-1JTk]。對第[k+1]次迭代，要使殘差最小，即：

[argmin? Rλk=rk+122]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（20）

對[Rλk]關(guān)于[λk]求導(dǎo)，并令其為零，有：

[? R'λk=2rTk+1?r'k+1λk]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[ =2rk-λkBkrkT-Bkrk]? [=-2rkTBkrk+2λkBkrk22=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （21）

最后化簡可得到步長[λk]。 表達式為：

[λk=rkTBkrkBkrk22] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （22）

綜上所述，基于改進高斯牛頓法的隱含波動率計算方法具體步驟如下：

Step1： 給定隱含波動率初值[σ0]，對期權(quán)定價公式在[σ0]處做線性化處理；

Step2： 利用L曲線法確定正則化參數(shù)[α]，并用（17）式更新隱含波動率初值[σ0]；

對于 [k=1，…n，]和[σk]，給定誤差限[ε]，

Step3： 使用（7）式計算[Jk]，根據(jù)最小殘差步長準(zhǔn)則（22）式得到步長[λk]，使用（16）式更新得到[σk+1]；

Step4： 若滿足[σk-σk-12]<[ε]，則停止迭代，輸出隱含波動率的求解結(jié)果；否則回到Step3，直至收斂準(zhǔn)則被滿足。

4 實證分析

平值期權(quán)的執(zhí)行價格等于或最接近于市場期權(quán)價格。由于在平值附近的期權(quán)交易更加活躍，相比實值期權(quán)和虛值期權(quán)更能反映市場的真實情況，故本文選取的樣本包含四個50ETF期權(quán)平值看漲期權(quán)合約，分別是2016年7月28日至2017年3月22日、2017年3月23日至2017年6月28日、2017年6月29日至2017年9月27日、2017年9月28日至2017年12月27日共347個交易日的期權(quán)收盤價[C]、標(biāo)的資產(chǎn)價格[S]、執(zhí)行價格[K]、期權(quán)合約剩余期限[τ]（計算時除以年交易日數(shù)進行年化處理），無風(fēng)險利率[r]選擇2017年所有中債國債1年期利率的均值0.0330。數(shù)據(jù)來源為Wind數(shù)據(jù)庫，為便于展示，時間按日期順序排列并從1至347進行編號，下列所有圖的時間軸均以日期編號代替具體日期。

下面將使用50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)進行隱含波動率反演。由于從實際期權(quán)數(shù)據(jù)中反演的隱含波動率沒有真解，故主要對比計算期權(quán)價格與實際期權(quán)價格的誤差。高斯牛頓法的初值在所有日期均設(shè)為[σn=0.3，]誤差準(zhǔn)則選取為[σk-σk-12<ε]，其中誤差限選取為[ε=10-5]。 用L曲線法算得的最優(yōu)的正則化參數(shù)為[α=0.1091]，見圖1。

使用改進高斯牛頓法和Maltab軟件中BLSIMPV函數(shù)算得的隱含波動率及期權(quán)價格的比較結(jié)果見圖2-圖4，期權(quán)價格相對誤差見表1。由圖2及表1可看出，改進高斯牛頓法對該數(shù)據(jù)集的所有數(shù)據(jù)均可收斂，計算期權(quán)價格與實際期權(quán)價格較為接近，其滿足[Cσ-C<0.02]的數(shù)據(jù)點為311個，占比為[311347=89.63%] ；而BLSIMPV函數(shù)的計算結(jié)果中有98個數(shù)據(jù)無法收斂，顯示結(jié)果為NaN，反演失敗率為[98347=28.24%]。圖3的計算殘差分布顯示，在BLSIMPV函數(shù)能收斂的點處，改進的高斯牛頓法的計算殘差多位于零軸附近，比BLSIMPV函數(shù)的殘差更小；在BLSIMPV函數(shù)無法收斂的數(shù)據(jù)點處，這些點多位于每兩個期權(quán)數(shù)據(jù)的分界點附近，改進的高斯牛頓法均能收斂，且計算殘差保持在合理的范圍。圖4中改進高斯牛頓法迭代過程顯示其相鄰兩次迭代的絕對誤差能快速下降，達到收斂準(zhǔn)則的迭代次數(shù)為81次。由此知本文提出的計算方法對實際期權(quán)數(shù)據(jù)的隱含波動率反演更加有效，數(shù)值更加穩(wěn)定。

5 總結(jié)

由于經(jīng)典的牛頓法、二分法在應(yīng)用于實際期權(quán)數(shù)據(jù)計算隱含波動率存在局部不收斂的問題，本文提出的改進算法在高斯牛頓法的基礎(chǔ)上，利用L曲線法和最小殘差步長原則分別確定最優(yōu)正則化參數(shù)和迭代步長，可快速得到隱含波動率的合理解。基于上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)的實驗結(jié)果表明，利用本文改進算法計算的隱含波動率全部收斂，且精度優(yōu)于Matlab自帶函數(shù)BLSIMPV，理論期權(quán)價格與實際期權(quán)價格的相對誤差控制在合理的范圍內(nèi)。進一步研究可將本文提出的算法應(yīng)用于改進的期權(quán)定價模型中。

參考文獻：

[1] Black F， Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. J. Political Econ.， 1973， 81（3）： 637-654.

[2] 鄭振龍， 秦明. 隱含波動率與實際波動率的關(guān)系：中美比較[J]. 管理科學(xué)， 2018， 31（6）： 58-73，2018.

[3] Fassas A P， Siriopoulos C， Implied volatility indices – A review[J]. The Quarterly Review of Economics and Finance， 2020， DOI：10.1016/j.qref.2020.07.004.

[4] Li S， A new formula for computing implied volatility[J]. Applied Mathematics and Computation， 2005， 170（1）： 611-625.

[5] Keshan B G C， Wijerathna J K. Implementation and validation of a closed form formula for implied volatility[J]. Indian Journal of Science and Technology， 2020， 13（38）：4064–4072.

[6] Cui Z， Kirkby J， Nguyen D， Taylor S M. A Closed-form Model-free Implied Volatility Formula through Delta Families[J]. Journal of Derivatives， forthcoming， 2020， 24 pages， DOI： 10.13140/RG.2.2.21031.29602.

[7] 馬青華，李艷濤，呂書強. 用改進的Newton-Raphson方法計算隱含波動率[J]， 西南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015， 40（7）： 50-53.

[8] 史高桐. 上證50ETF期權(quán)推出對中國股票市場波動性影響的實證研究[J].廣西質(zhì)量監(jiān)督導(dǎo)報， 2019， 8：191-195.

[9] 鄭振龍， 陳蓉.金融工程（第四版）[M].北京： 高等教育出版社， 2016.

[10] 劉繼軍. 不適定問題的正則化方法及應(yīng)用[M].北京： 科學(xué)出版社， 2008.

[11] Cultrera A， Callegaro L. A simple algorithm to find the L-curve corner in the regularization of ill-posed inverse problems[J]. IOP SciNotes， 2020， 025004. DOI： 10.1088/2633-1357/ abad0d.

[12] 曾小牛，劉代志，牛超，齊瑋. 改進高斯牛頓法的位場向下延拓[J].測繪學(xué)報， 2014， 43（1）： 37-44.

【通聯(lián)編輯：李雅琪】