GKP方程和YTSF方程的行波解

韓青秀，劉紅霞，伍 蕓

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

0 引言

隨著非線性科學(xué)飛速發(fā)展，孤立子理論也越來越重要，(1+1)維、(2+1)維、(3+1)維的偏微分方程引起了許多數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家的重視，例如，描述流體動力學(xué)和等離子體物理學(xué)中的許多非線性現(xiàn)象的(3+1)維GKP方程[1]；描述兩層液體中晶格或界面波中的彈性準(zhǔn)平面波的(2+1)維YTSF方程[2]等，它們的解可以解釋許多物理、化學(xué)等科學(xué)中的現(xiàn)象。已有學(xué)者對其求解，例如Gao等[1]和Tian等[2]用Hirota雙線性方法導(dǎo)出了一孤解、二孤解和N孤解，得到了GKP方程的一個塊和一個扭結(jié)之間的交互解。Wang等[3]通過符號計(jì)算有更普遍的塊解，研究了它在空間和時(shí)間的各個方向和更多的參數(shù)，通過塊解得到了塊波的移動路徑，描述了一個條紋孤子和塊波之間的相互作用，構(gòu)造了YTSF方程的塊化解。Cui[4]還應(yīng)用一種簡單的阿薩茨方法構(gòu)造了變量分離解，求出GKP方程的一類塊解;Chen等[5]通過符號計(jì)算，直接基于Hirota雙線性公式生成塊解和交互解，研究了(2+1)維YTSF方程的精確解，包括塊解和相互作用解，又通過對相關(guān)參數(shù)的特殊選擇，模擬和討論了相互作用現(xiàn)象。因此，用不同的方法研究這兩類方程可以得到不同形式的解，這些不同形式的解在實(shí)踐中有重要意義，能夠解釋一些自然現(xiàn)象，在不同領(lǐng)域中選擇恰當(dāng)?shù)慕獾男问娇梢钥焖俳鉀Q問題。非線性方程與動力系統(tǒng)理論在物理數(shù)學(xué)、物理化學(xué)、自然科學(xué)現(xiàn)象等領(lǐng)域中具有非常廣泛的應(yīng)用背景，已經(jīng)有了豐富的理論和廣泛的應(yīng)用，在這里主要是用動力系統(tǒng)定性理論[6-13]對GKP方程和YTSF方程進(jìn)行研究。

1 GKP方程的精確行波解

考慮如下GKP方程[1]

uxxxy+3(uxuy)x+utx+uty-uzz=0

(1)

令u(x,y,z,t)=φ(ξ)，ξ=x+y+z-ct。其中c為波速且c>0。代入(1)式并積分，有

φ?+3(φ′)2-(2c+1)φ′=g

(2)

其中g(shù)是積分常數(shù)。令φ′=v，則有

v″+3v2-(2c+1)v=g

(3)

令v′=y，則有

(4)

哈密頓系統(tǒng)(4)的哈密頓函數(shù)為

H(v,y)=y2+2v3-(2c+1)v2-2gv

(5)

令f(v)=-3v2+(2c+1)v+g，

Δ=(2c+1)2+12g。

則有

f′(v)=-6v+(2c+1)，

顯然，若Δ>0，f(v)有2個零點(diǎn)va和vb，表達(dá)式為：

根據(jù)動力系統(tǒng)定性理論[12]，我們有如下結(jié)論：

(6)

(7)

(8)

ω3ω4+ω3ω5+ω4ω5=-g,

C1、C3是積分常數(shù)。

圖1 GKP的軌線圖

將上式代入v′=y，則有

所以，積分上式可得

再由(3)式可以得到(1)式的孤立波解u1,見(6)式。

同理，對于圖1(a)中的一條閉軌Γ2，令H(v,y)=H(vb,0)=hb，由(5)式可得

將上式代入v′=y，則有

完全積分上式

再由(3)式以及奇偶性可得到(1)式的周期波解u2,見(7)式。

將上式代入v′=y，則有

所以，積分上式

經(jīng)驗(yàn)算，再由(3)式可得到(1)式的爆破波解u3,見(8)式。

2 YTSF方程的精確行波解

考慮如下YTSF方程[3]

-4uxt-uxxxx-6uxuxx+3uyy=0

(9)

令u(x,y,z,t)=φ(ξ),ξ=x+y+z-ct。其中c為波速且c>0。代入(9)式并積分，有

4cφ′-φ?-3(φ′)2+3φ′=g

(10)

其中g(shù)為積分常數(shù)。令φ′=v，則有

v″+3v2-(4c+3)v=g

(11)

令v′=y，則有

(12)

哈密頓系統(tǒng)(12)的哈密頓函數(shù)為

H(v,y)=y2+2v3-(4c+3)v2-2gv

(13)

令f(v)=-3v2+(4c+3)v+g,

Δ=(4c+3)2+12g

則有

f′(v)=-6v+(4c+3),

顯然，若Δ>0，f(v)有2個零點(diǎn)vd和vg，表達(dá)式為：

(14)

(15)

(16)

α3α4+α3α5+α4α5=-g,

C4和C6是積分常數(shù)。

圖2 YTSF的軌線圖

將上式代入v′=y，再積分可得

(17)

由(17)式可以得到(9)式的孤立波解u4,見(14)式。

同理，對于圖2(a)中的一條閉軌Γ4的解，令H(v,y)=H(vg,0)=hg，可表示為

將上式代入v′=y，再積分有

(18)

由(18)式以及橢圓積分可得到方程(9)的周期波解u5,見(15)式。

再積分，則有

(19)

由(19)式可得到方程(9)的爆破波解u6,見(16)式。

3 總結(jié)

這篇文章主要研究了GKP方程和YTSF方程的一些精確行波解，利用動力系統(tǒng)定性理論判斷哈密頓系統(tǒng)有3種類型的奇點(diǎn)，分別是鞍點(diǎn)、中心和退化鞍點(diǎn)；通過Maple軟件畫出系統(tǒng)的相位圖，利用橢圓積分公式，求解出孤立波、周期波以及爆破波的行波解，通過數(shù)值模擬，驗(yàn)證了這些解的正確性。