四參數(shù)2×n 階LC 矩形網(wǎng)絡(luò)電特性的研究

羅禮進，陳蜀媛，羅烽華，譚志中

(1.南通大學理學院，江蘇 南通 226019；2.防城港市城市建設(shè)投資有限責任公司，廣西 防城港538001 3.廣西大學資源環(huán)境與材料學院，廣西 南寧 530004)

0 引言

在科學研究及工程技術(shù)領(lǐng)域，許多實際問題可以通過構(gòu)建電阻網(wǎng)絡(luò)模型進行模擬研究[1-7]，這已成為一系列科學問題研究的基本方法。隨著電阻網(wǎng)絡(luò)研究的發(fā)展，研究者已經(jīng)建立了研究電阻網(wǎng)絡(luò)的數(shù)個主要方法，如格林函數(shù)技術(shù)方法[1]、拉普拉斯矩陣方法[2]、等效變換方法[3]、遞歸—變換方法[4-7]等。其中的遞歸-變換方法具有更廣泛的適用性，可適用于研究含有任意邊界的有限和無限的電阻網(wǎng)絡(luò)問題,彌補以往方法的不足[4-7]。

矩形電阻網(wǎng)絡(luò)問題一直是電阻網(wǎng)絡(luò)研究關(guān)注的熱點之一，近年來取得較大進展，尤其在少參數(shù)（一個或兩個）電阻網(wǎng)絡(luò)問題得到了比較好的解決，如含有2參數(shù)的m×n階矩形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻問題[6]。在多參數(shù)電阻網(wǎng)絡(luò)問題的研究上也取得一定的進展，如含有3參數(shù)的2×n階純電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻問題[5]。在復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)研究方面，少參數(shù)復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)的研究取得了一定的進展[7]，但在多參數(shù)復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)方面少有研究。本文將以含有4參數(shù)的2×n階LC矩形網(wǎng)絡(luò)為例，研究多參數(shù)的復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)模型的等效復(fù)阻抗問題。

1 四參數(shù)2×n 階LC 矩形網(wǎng)絡(luò)的研究

我們稱圖1為一類含有4參數(shù)的2×n階LC矩形網(wǎng)絡(luò)模型，該模型包含有4個電路參數(shù)Ca、Cb、L、L0。本文將研究a、b兩節(jié)點間的等效復(fù)阻抗Z ab（n）和a、c兩節(jié)點間的等效復(fù)阻抗Z ac（n）的普適公式和基本特性。為解決此問題，依據(jù)上述的遞歸-變換方法，分建立差分方程模型、求差分方程模型的通解、求邊界電流特解、計算節(jié)點間的復(fù)阻抗四個步驟進行。下面首先求解a、b兩節(jié)點間的等效復(fù)阻抗Z ab（n）。

圖1 含有4參數(shù)的2×n階LC矩形復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)模型

1.1 建立差分方程模型

在圖1所示的LC網(wǎng)絡(luò)中，設(shè)輸入電流的圓頻率為ω，則電感L、L0的阻抗分別為z=jωL、，電容Ca、Cb的阻抗分別為，j2=-1。設(shè)電流I從a輸入至b輸出。不失一般性，選取圖1所示網(wǎng)絡(luò)中的任意子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進行研究，如圖2所示。設(shè)在第k個子網(wǎng)絡(luò)中，水平方向的三個電感中通過的電流分別為Iak、Ibk、Ick（1≤k≤n），豎直方向的兩個電容中通過的電流分別為Ik、（1≤k≤n+1）。各LC網(wǎng)絡(luò)元中的電流方向如圖2所示。

圖2 子網(wǎng)絡(luò)電流參數(shù)

在圖2 的子網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用基爾霍夫電流定律得到節(jié)點電流方程

在圖2 的子網(wǎng)絡(luò)中應(yīng)用基爾霍夫電壓定律得到第k個回路的電壓方程

同理得到第k-1 個回路的電壓方程

取差運算，分別由式（4）-（6）和（5）-（7）得到

將式（1）、（2）、（3）分別代入（8）、（9）化簡整理得

為便于研究，將方程（10）、（11）寫成矩陣形式

方程（12）就是本文推導出的關(guān)鍵的差分方程模型，但是如何求解該方程是解決問題的關(guān)鍵。如果用傳統(tǒng)的方法求解該方程是很困難的事情，本文將采用矩陣變換的方法解決該問題。

1.2 求差分方程模型的通解

為了求解差分方程（12）的通解，根據(jù)文獻[3]的解法，先通過矩陣變換，將矩陣方程（12）變換為一個簡單的矩陣方程，然后求此簡單矩陣方程的特征方程的特征根，最后由特征根求出矩陣方程（12）的通解。

將方程（12）中Ik、的系數(shù)矩陣左乘一個二階矩陣A，使得

其中設(shè)待定的二階矩陣A為

并且其中λ1、λ2和t1、t2均為待定系數(shù)。將式（13）展開并且根據(jù)式（13）的矩陣左右相等得

把（16）代入（15）消去t得到

將矩陣方程（12）兩邊左乘矩陣A變換為如下成簡單的方程

其中k=1,2,3……，且

由矩陣方程式（20）得差分矩陣方程的特征方程

設(shè)關(guān)于x的方程的兩根分別為α、β，關(guān)于y的方程的兩根分別為γ、δ，解（22）得到

根據(jù)文獻[3]的解法，方程（20）的解為

1.3 求邊界電流的特解

當電流從a輸入至b輸出時，根據(jù)電流的連續(xù)性方程由圖3 可得

圖3 邊界網(wǎng)絡(luò)電流參數(shù)

將式（25）分別對k從1 到n+1 求和并應(yīng)用式（26）得

根據(jù)文獻[3]的分析方法，由圖3 得到邊界電流參數(shù)方程

將方程（29）兩邊左乘一個前文已經(jīng)求出的二階矩陣A，并且應(yīng)用式（18）、（19）的關(guān)系化簡整理得

將式（31）分別代入式（27）、（28）化簡整理得

第二，教學點逐步健全檔案，完善制度。中心校的規(guī)章制度在教學點上墻，且各種計劃及作息要和中心校要求保持一致。

式（32）、（33）即為4 參數(shù)2×n階LC矩形網(wǎng)絡(luò)中左邊界的電流特解。

1.4 求等效復(fù)阻抗

又由圖3 可知：Uab=I1za，根據(jù)歐姆定律

把式（34）代入（35）得到

其中α、β和γ、δ分別由式（23）、（24）確定。式（36）即為a、b二節(jié)點間的等效復(fù)阻抗Z ab（n）的普適公式。

用同樣的方法可計算出a、c兩節(jié)點間的等效復(fù)阻抗Z ac（n）。

其中α、β和γ、δ分別由式（23）、（24）確定，t1、t2由式（19）確定，。式（37）即為a、c二點間的等效復(fù)阻抗Z ac(n)的通項表達式。

2 等效復(fù)阻抗特性的討論

特征方程（22）的判別式分別為

將（19）代入（23）、（24）得到

2.1 情形1：ω ＞（q ＞ 0）

當ω＞2q時，有 Δ1＞ 0，Δ2＞ 0。此時，α、β、γ、δ分別如（40）、（41）所示，均為實數(shù)，因λ1、λ2都是實數(shù)，所以由（42）可知Z ab（n）為純虛數(shù)。

圖4 是Ca=1.2 ×10-3F、Cb=4.7 ×10-3F、L=2.6 ×10-2H、L0=7.2 ×10-2H，且n分別取1 至50 時，Z ab（n）/ j 隨ω（ω∈[300,30000]）變化的三維曲線圖。從圖中可看出，n取不同的值時，Z ab（n）/ j 隨ω的變化都有相同的趨勢，即都隨ω的增加單調(diào)增加，并且Z ab（n）/ j在低頻區(qū)（ω∈[300,2300]）的變化梯度較大，而在高頻區(qū)（ω∈[2300,∞]）的變化梯度較小。ω→∞時，Z ab（n）/ j → 0。

圖4 Z ab（n）/ j 隨ω（ω ∈[300,30000]）和n(n∈[1,50])變化的三維曲線圖

2.2 情形2：ω=（q ＞ 0）

此時，Z ab（n）也為純虛數(shù)。

圖5 ω=時 Z ab（n）/ j 隨n(n∈[1,50])變化的曲線圖

2.3 情形3：（p ＞0、q ＞0）

將（48）代入（42）得

由此可見，Z ab（n）仍為純虛數(shù)。

圖6 是Ca=1.2 ×10-3F、Cb=4.7 ×10-3F、L=2.6 ×10-2H、L0=7.2 ×10-2H，且n分別取1 至50 時，Z ab（n）/ j 隨ω（ω∈[90,290]）變化的三維曲線圖。從圖中可看出，對應(yīng)每一個n值，Z ab（n）/ j 隨ω的變化不再是單調(diào)變化，而是在Z ab（n）/ j=0兩則正負振蕩變化。

圖6 Z ab（n）/ j 隨ω（ω∈[90,290]）和n(n∈[1,50])變化的三維曲線圖

圖7 ω=時 Z ab（n）/ j 隨n(n∈[1,50])變化的曲線圖

2.4 情形4：ω=（p ＞ 0）

而γ、δ仍為（46）、（47）所示，并有（48）的結(jié)果，所以將（48）、（51）代入（42）得

由此可見，Z ab（n）仍為純虛數(shù)。

2.5 情形5：0＜ ω＜（p ＞ 0）

所以將（55）、（48）代入（42）得

由此可見，Z ab（n）仍為純虛數(shù)。

圖8 是Ca=1.2 ×10-3F、Cb=4.7 ×10-3F、L=2.6 ×10-2H、L0=7.2 ×10-2H，且n分別取1 至50 時，Z ab（n）/ j 隨ω（ω∈[1,85]）變化的三維曲線圖。從圖中可看出，對應(yīng)每一個n值，Z ab（n）/ j 隨ω的變化是在Z ab（n）/ j=0兩則正負振蕩變化。

圖8 Z ab（n）/ j 隨ω（ω∈[1,85]）和n(n∈[1,50])變化的三維曲線圖

3 總結(jié)