洛倫茲對(duì)稱破缺框架下的廣義克萊因-戈?duì)柕侵C振子*

王恩權(quán) 陳浩 楊毅 隆正文? Hassanabadi Hassan

1) (貴州大學(xué)物理學(xué)院,貴陽 550025)

1 引言

眾所周知,應(yīng)用于無自旋標(biāo)量粒子的克萊因-戈?duì)柕?Klein-Gordon,KG)諧振子[1,2]是受狄拉克諧振子[3,4]的啟發(fā)而提出的,而狄拉克諧振子是在線性相互作用下描述自旋為1/2 粒子的物理對(duì)象.目前,相對(duì)論諧振子的推廣,如KG 諧振子[5-10]、Kemmer 諧振子[11]、Duffin-Kemmer-Petiau 諧振子[12-14]以及狄拉克諧振子[15,16]的廣義化是理論物理學(xué)家特別感興趣的研究課題,尤其是在拓?fù)淙毕荼尘跋碌闹C振子研究吸引了許多物理學(xué)家的興趣.文獻(xiàn)[8]在宇宙弦時(shí)空中通過一個(gè)新的動(dòng)量算符來替代之前的動(dòng)量算符實(shí)現(xiàn)了KG 諧振子的廣義化,即作這樣一個(gè)動(dòng)量算符的替換:pμ →pμ+imωXμ.

此外,隨著量子力學(xué)[17]和相對(duì)論的發(fā)展,由麥克斯韋電磁學(xué)衍生出來的規(guī)范理論已逐漸在物理學(xué)的各個(gè)分支中得到證實(shí),如粒子物理學(xué)中弱電相互作用的統(tǒng)一解釋了放射性衰變現(xiàn)象,基于希格斯機(jī)制,闡明了粒子物理學(xué)中的對(duì)稱性和對(duì)稱性自發(fā)破缺問題,建立了統(tǒng)一除引力之外的所有相互作用的標(biāo)準(zhǔn)模型(standard model,SM).然而,SM 面臨著一些無法解釋的物理現(xiàn)象,如暗物質(zhì)和暗能量及引力相互作用等,因此,Kosteleck 和Samuel[18]在弦理論的基礎(chǔ)上提出了具有洛倫茲對(duì)稱破缺(Lorentz symmetry violation,LSV)的標(biāo)準(zhǔn)模型擴(kuò)展理論(standard model extension,SME).后來,在考慮有效場(chǎng)論的情況下,具有量子效應(yīng)的SME 得到了廣泛應(yīng)用.如Bakke 和Belich[19-21]提出的朗道型量子化理論,他們?cè)贚SV 背景下研究了自旋為 1/2 的中性粒子與磁場(chǎng)和電場(chǎng)組成的混合場(chǎng)的相互作用.另外,許多物理學(xué)家也在LSV 背景下研究了中性粒子與不同類型的勢(shì)函數(shù)相互作用的情況,如反平方電勢(shì)[22]和庫侖型電勢(shì)[23]等.LSV的應(yīng)用還包括幾何量子相位[24,25]和宇宙弦背景時(shí)空[26,27]等領(lǐng)域.

本文主要基于LSV 框架研究KG 方程描述的標(biāo)量粒子的相對(duì)論量子效應(yīng).文獻(xiàn)[28]分析了LSV 對(duì)KG 方程的影響.Vitória 和Belich[29]研究了KG 諧振子與LSV 產(chǎn)生的線性中心勢(shì)的相互作用.因此,我們計(jì)劃基于LSV,在存在和不存在磁場(chǎng)兩種情況下研究康奈爾勢(shì)函數(shù)在洛倫茲對(duì)稱破壞框架中對(duì)廣義KG 諧振子的影響.本文其他部分的主要內(nèi)容如下:第2 節(jié)簡(jiǎn)要回顧LSV,并給出在LSV 背景下具有康奈爾函數(shù)的KG 諧振子方程;第3 節(jié)分別考慮康奈爾函數(shù)在有磁場(chǎng)和無磁場(chǎng)的情況下對(duì)KG 諧振子的作用;第4 節(jié)是結(jié)論.

2 洛倫茲對(duì)稱破缺下的廣義KG 諧振子

本節(jié)首先介紹洛倫茲對(duì)稱破缺框架下的廣義KG 諧振子,從標(biāo)準(zhǔn)模型擴(kuò)展理論的角度來看,描述存在非最小耦合和電磁張量,且靜止質(zhì)量為m的相對(duì)論標(biāo)量粒子的KG 方程為(?=c=1)[29]

這里的電磁張量Fμν滿足關(guān)系Fμν=?μAν -?νAμ,恒定的背景張量場(chǎng)來自于標(biāo)準(zhǔn)模型擴(kuò)展理論之外的洛倫茲對(duì)稱破缺,無量綱的張量系數(shù)是具有19 個(gè)獨(dú)立非零分量的黎曼張量[30].此外張量系數(shù)κDE,κDB,κHE和κHB被定義為[31,32]

需要強(qiáng)調(diào)的是張量 (κDB)jk和 (κHE)kj是反對(duì)稱矩陣,(κDE)ij和 (κHB)jk是對(duì)稱矩陣.因此協(xié)變KG方程被重新表示為

眾所周知,KG 諧振子也被稱為帶有諧振子的KG場(chǎng)[1,2],通過非最小耦合,動(dòng)量算符的相應(yīng)變化如下:

其中ω表示角頻率.基于這一點(diǎn),本文應(yīng)用(1+3)維柱坐標(biāo)形式下的閔可夫斯基時(shí)空度規(guī)

因此在考慮(5)式的作用后,(4)式中的KG 諧振子方程被重新寫為

眾所周知,KG 諧振子是通過考慮一個(gè)非最小耦合項(xiàng)的向量Xμ=(0,ρ,0,0,0)=ρρ? 得出的,在這種情況下,用徑向勢(shì)函數(shù)f(ρ) 來代替ρ把KG 諧振子廣義化,也就是

因此把(8)式代入(7)式,就可以得到如下二階微分方程:

下面研究康奈爾勢(shì)函數(shù)對(duì)廣義KG 諧振子的影響,康奈爾勢(shì)函數(shù)f(ρ) 可以寫為

其中參數(shù)Ξ1和Ξ2分別表示規(guī)范理論中的庫侖強(qiáng)度和弦張力.值得一提的是,康奈爾勢(shì)在粒子物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用[33-36],它包含一個(gè)描述夸克和膠子相互作用的短程庫侖勢(shì),以及一個(gè)長(zhǎng)距離線性勢(shì).把(10)式代入(9)式可以得到

其中動(dòng)量算符為=-i?z,角動(dòng)量算符為=-i?φ.假設(shè)方程(11)的特解為

我們知道,徑向波函數(shù)獨(dú)立于坐標(biāo)系的其他分量t,φ和z,(12)式中的?=0,±1,±2,···是角動(dòng)量算符的特征值,k是線性動(dòng)量算符在z分量的特征值.

此時(shí),把(12)式代入(11)式中得到

第3 節(jié)將研究在存在康奈爾勢(shì)情況下洛倫茲對(duì)稱破缺對(duì)廣義KG 諧振子的影響.

3 洛倫茲對(duì)稱破缺下廣義KG 諧振子的能級(jí)與波函數(shù)

現(xiàn)在來求解方程(14)在兩種不同情況下的能量本征值與束縛態(tài)波函數(shù).

情況一不存在磁場(chǎng),即B=0,此時(shí)待求解的方程(14)可被重新寫為

其中

為了求解方程(15),令r=ρ2,則方程(15)變?yōu)?/p>

此時(shí),可以發(fā)現(xiàn)波動(dòng)方程與NU 方法[41,42]中的方程形式類似,Nikiforov-Uvarov (NU)方法對(duì)于求解量子理論中波動(dòng)方程束縛態(tài)的精確解是非常有用的[43-48],NU 方法的詳細(xì)說明見附錄A.根據(jù)文獻(xiàn)[48]結(jié)果,再依據(jù)附錄A 中的NU 方法,可以得到波函數(shù)

將(19)式和(20)式代入(15)式,得到無磁場(chǎng)時(shí)洛倫茲對(duì)稱破缺下KG 諧振子的非歸一化徑向波函數(shù)為

此外,為了更直觀地反映不同λ值對(duì)波函數(shù)的影響,圖1 給出了徑向波函數(shù)R(ρ) 的圖像.可以看出,在ρ →0 時(shí)徑向波函數(shù)R(ρ) 的值為零,另外,徑向波函數(shù)的振幅隨著電場(chǎng)強(qiáng)度的增加而減少.通過系數(shù)關(guān)系

圖1 以 ρ 為變量取4 個(gè)不同 λ 值的徑向波函數(shù)Fig.1.Radial wave functions as a function of ρ for different λ .

得到能量特征值為

如果康奈爾勢(shì)函數(shù)參數(shù)滿足Ξ1=0,Ξ2=1,可以得到線性勢(shì)作用下KG 諧振子的能量特征值為

情況二 求解存在磁場(chǎng)B=B0的情況.方程(14)可重新寫為

為了得到一個(gè)可解的波函數(shù),令η=ρ2,則有

不難發(fā)現(xiàn),方程(27)與NU 方程形式類似,所以同樣利用NU 方法來處理這種情況.因此方程(27)的波函數(shù)可以假定為

相關(guān)系數(shù)表示為

在洛倫茲對(duì)稱破缺中具有康奈爾勢(shì)函數(shù)且存在磁場(chǎng)情況下的廣義KG 諧振子的非歸一化徑向波函數(shù)可以寫為

波函數(shù)(31)明顯依賴于量子數(shù)l及圖2 為非歸一化的徑向波函數(shù)R(ρ) 的圖像,在圖2中,令=(kDB)13=1,把ρ作為橫坐標(biāo),畫出了廣義KG 諧振子在不同Ξ1值時(shí)的圖像,能清晰地觀察到徑向波函數(shù)的振幅隨著勢(shì)函數(shù)參數(shù)的增加而增加.

圖2 以 ρ 為變量取4 個(gè)不同1 值的徑向波函數(shù)Fig.2.Radial wave functions as a function of ρ for different 1 .

根據(jù)系數(shù)關(guān)系

相應(yīng)的能量特征值為

圖3 以n 為變量取個(gè)不同 1 值的能量Fig.3.Energy eigenvalue as a function of n for different 1 .

圖4 以 λ 為 變量取4 個(gè)不同 B0 值的能量Fig.4.Energy eigenvalue as a function of λ for different B0 .

4 總結(jié)

本文研究了洛倫茲對(duì)稱破缺框架下的廣義KG諧振子,利用NU 方法分析了存在與不存在磁場(chǎng)時(shí)的廣義KG 諧振子.此外還討論了KG 諧振子在1的特殊情況.結(jié)果表明,存在磁場(chǎng)時(shí)的情況是無磁場(chǎng)情況的推廣,因?yàn)楫?dāng)令B0=0時(shí),束縛態(tài)能量特征值與無磁場(chǎng)時(shí)所得結(jié)果一致.兩種情況下的徑向波函數(shù)明顯取決于洛倫茲對(duì)稱破缺效應(yīng)相關(guān)的參數(shù)和康奈爾勢(shì)參數(shù).此外,通過固定一些參數(shù)值,可以觀察到在ρ→0 時(shí)徑向波函數(shù)R(ρ) 的值也為零.另外,根據(jù)本文所畫的圖像得知,圖1 中的徑向波函數(shù)的振幅隨電場(chǎng)強(qiáng)度的增加而減少,而圖2 中的徑向波函數(shù)的振幅隨勢(shì)參數(shù)的增加而增加.圖3 顯示了勢(shì)函數(shù)參數(shù)對(duì)廣義KG 諧振子能譜的貢獻(xiàn).可以看出,當(dāng)固定量子數(shù)n時(shí),較大的勢(shì)函數(shù)參數(shù)對(duì)應(yīng)著較大的能量特征值,而當(dāng)固定勢(shì)函數(shù)參數(shù)時(shí),較大的量子數(shù)n所對(duì)應(yīng)的能量特征值也相對(duì)較大.最后,發(fā)現(xiàn)在圖4 中的能量特征值存在簡(jiǎn)并,同時(shí)在B0=1.5 和2 時(shí),λ較小時(shí)能量特征值的增加趨勢(shì)尤為顯著.此外,從能譜的圖像可以清晰地看到洛倫茲對(duì)稱破缺的存在使得能譜得到了修正.

附錄A Nikiforov-Uvarov 方法

本文利用NU 方法求解了二階微分方程的本征函數(shù),該方法有助于找到各種類薛定諤方程的特征值和特征函數(shù),也可以用于一些涉及到二階微分方程的其他物理背景中.在NU 方法中微分方程通?？梢詫懗扇缦滦问?

在NU 方法中微分方程的本征值通常通過如下方程給出:

其中涉及到的所有參數(shù)(α4···α13)都是通過α1,α2,α3和β1,β2,β3這6 個(gè)參數(shù)得到的:

而α1,α2,α3和β1,β2,β3這6 個(gè)參數(shù)的值是可以通過微分方程(A1)直接確定的.

另外,對(duì)于α3=0 這種特殊情況有如下關(guān)系:

此時(shí)的波函數(shù)為