基于有限時間引導(dǎo)律的欠驅(qū)智能船舶循跡控制

馮輝，胡勝，余文曌，*，徐海祥

（1.高性能船舶技術(shù)教育部重點實驗室，武漢 430063； 2.武漢理工大學(xué) 船海與能源動力工程學(xué)院，武漢 430063）

在大數(shù)據(jù)和人工智能等新興技術(shù)的影響下，研究無人化、綠色和安全的智能船舶已是大勢所趨。作為智能船舶關(guān)鍵功能之一，智能航行受到了廣泛的關(guān)注并得到了迅速的發(fā)展［1］。其中，循跡控制是實現(xiàn)智能航行功能的關(guān)鍵技術(shù)之一。

循跡控制是指控制欠驅(qū)智能船舶沿著一條預(yù)定的路徑航行，并且這條路徑與時間無關(guān)［2］。目前，國內(nèi)外關(guān)于循跡控制的研究已有較多成果。Encarna??o等［3］在Serret-Frenet坐標系中依據(jù)期望路徑重新定義輸出信號，將控制目標轉(zhuǎn)化為位置誤差和艏向角誤差，但缺點是控制器的設(shè)計十分復(fù)雜。為了簡化控制器的設(shè)計，有學(xué)者將循跡控制系統(tǒng)分為2個子系統(tǒng)：引導(dǎo)律和控制系統(tǒng)［2］。在獲得路徑信息和環(huán)境信息后，引導(dǎo)律計算出控制系統(tǒng)的輸入信號，即期望艏向角；控制系統(tǒng)則產(chǎn)生相應(yīng)的控制信號，使船舶的實際艏向跟蹤引導(dǎo)律給出的信號，完成循跡控制目標。

LOS（line-of-sight）引導(dǎo)律［4］因其結(jié)構(gòu)簡單、收斂性好等優(yōu)點而被廣泛應(yīng)用于循跡控制。但在實際運行環(huán)境中，船舶受到風浪流等環(huán)境因素的干擾，即橫向環(huán)境力的作用，在循跡過程中會存在漂角。但欠驅(qū)動結(jié)構(gòu)無法產(chǎn)生橫向的控制力，因此船舶的實際運動軌跡將偏離期望的運動軌跡，限制了傳統(tǒng)LOS引導(dǎo)律的應(yīng)用。因此，如何減小漂角對循跡效果的影響是目前的研究熱點。

減小漂角影響的一種最直接的方法就是測量漂角。文獻［5］使用加速度計測量橫向和縱向的加速度，再通過積分得到橫向和縱向速度，進而計算出漂角，但缺點是加速度的測量值易受噪聲的污染從而導(dǎo)致計算出的速度存在較大的誤差。文獻［6］利用全球?qū)Ш较到y(tǒng)計算漂角，但成本較高且精確性較差。另一種方法是利用積分LOS（ILOS）引導(dǎo)律。B?rhaug等［7］針對傳統(tǒng)LOS引導(dǎo)律無法抵抗環(huán)境干擾的問題，提出了一種應(yīng)用廣泛、具有積分作用的ILOS引導(dǎo)律，并證明了其全局一致漸進穩(wěn)定性。文獻［8-9］在B?rhaug等［7］的基礎(chǔ)上，在設(shè)計引導(dǎo)律時考慮了航速，簡化了參數(shù)調(diào)整過程，但使得該算法的響應(yīng)速度易受航速的影響。文獻［10］針對直線接圓弧路徑不連續(xù)問題提出了一種參數(shù)化ILOS引導(dǎo)律，使控制輸出更加平滑，但引導(dǎo)效果易受期望路徑插值的邊界條件影響。文獻［11］設(shè)計時變增益的ILOS引導(dǎo)律減小位置超調(diào)，但前向距離的上限和下限難以確定。文獻［12］提出一種自適應(yīng)ILOS（ALOS）引導(dǎo)律，將漂角視為固定參數(shù)，通過設(shè)計自適應(yīng)項估計漂角。文獻［13］在引導(dǎo)系統(tǒng)建模時考慮流速的影響，提出了一種直接ILOS引導(dǎo)律和間接ILOS引導(dǎo)律用以應(yīng)對時變的海流，但無法應(yīng)對其他未建模環(huán)境干擾的影響。文獻［14］設(shè)計了一種降階的擴張狀態(tài)觀測器，用來估計由外部干擾引起的時變漂角，但未考慮引導(dǎo)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性。

近年來，有限時間控制方法因其更好的控制性能受到了廣泛的關(guān)注，并得到了迅速發(fā)展［15］。文獻［16］利用有限時間收斂的干擾觀測器，以估計時變的大漂角，提高了曲線循跡的精確性。文獻［17］提出了有限時間收斂的引導(dǎo)律，其不僅證明了漂角觀測器的有限時間收斂性，還證明了位置跟蹤誤差的有限時間收斂性，但該方法的缺點是漂角的估計值易受傳感器測量噪聲的影響。

本文在現(xiàn)有國內(nèi)外研究的基礎(chǔ)上，提出了一種基于自適應(yīng)控制理論的有限時間引導(dǎo)律，其控制參數(shù)可隨橫向偏差的變化而進行自適應(yīng)調(diào)整，提升引導(dǎo)系統(tǒng)的響應(yīng)速度，同時可適用于風浪流等環(huán)境載荷干擾下的欠驅(qū)智能船舶循跡控制，用于補償船舶在循跡過程中受到的流載荷的干擾，并證明了該引導(dǎo)律的有限時間穩(wěn)定性。通過仿真實現(xiàn)了欠驅(qū)智能船舶水平面內(nèi)的直線和曲線循跡，并進行了仿真對比實驗。

1 問題描述

1.1 船舶數(shù)學(xué)模型

欠驅(qū)船舶的水平面三自由度運動學(xué)和動力學(xué)方程如下［2］：

式中：η=［x，y，ψ］T為船舶在固定坐標系下的位置，x、y、ψ分別表示船舶在固定坐標系中的橫坐標、縱坐標、艏向角；R（ψ）為坐標系旋轉(zhuǎn)矩陣；υ=［u，v，r］T為船舶在運動坐標系下的運動速度，u、v、r分別表示船舶在運動坐標系中的縱向速度、橫向速度、轉(zhuǎn)艏角速度；M為包含水動力附加質(zhì)量的慣性矩陣；C為包含附加質(zhì)量的科里奧利向心力矩陣，由船舶自身和附加質(zhì)量共同作用產(chǎn)生；D為阻尼系數(shù)矩陣；B為控制輸入配置矩陣；τ=［τu，0，τr］T為控制輸入矩陣，τu為船舶縱向推力，τr為轉(zhuǎn)艏力矩。

因此，可以通過在式（1）的運動學(xué)和動力學(xué)方程中加入海流的速度，建立流載荷干擾下的船舶操縱運動方程，如下：

式中：υr=υ-Vc為船舶相對海流的速度。

1.2 有限時間穩(wěn)定性

有限時間穩(wěn)定是指系統(tǒng)狀態(tài)能在有限時間內(nèi)收斂到平衡點?？紤]如下系統(tǒng)：

式中：x（t）表示系統(tǒng)狀態(tài)；f：→Rn為包含原點的定義域 到n維空間Rn中的一個連續(xù)函數(shù)；0∈Rn表示零向量。

1.3 引導(dǎo)律

引導(dǎo)律的推導(dǎo)是在一個二維平面內(nèi)完成的，其中，期望路徑通常由一系列路徑點（xp（θ），yp（θ））相連組成，如圖1所示，其中θ為大于零的路徑參數(shù)變量。圖中：γp為期望路徑上任意一點處的切線與正北方向的夾角，即Serret-Frenet坐標系與固定坐標系之間的旋轉(zhuǎn)角。

假設(shè)在固定坐標系中，船舶的位置坐標為（x，y）。由圖1可知，船舶在Serret-Frenet坐標系中的坐標為

圖1 LOS引導(dǎo)律原理Fig.1 Geometrical illustration of LOS guidance law

式中：xe為縱向偏差；ye為橫向偏差。

旋轉(zhuǎn)角γp定義如下：

式中：x′p（θ）=?xp/?θ；y′p（θ）=?yp/?θ。

假設(shè)1 通常在直線或者直線圓弧循跡時，xe并不影響引導(dǎo)律的引導(dǎo)效果，為了簡化計算，故假設(shè)xe=0。

假設(shè)3 船舶的實際艏向角可以準確跟蹤期望艏向角，即ψ=ψd。

由式（5）和假設(shè)1可得

由式（1）可知船舶的運動學(xué)方程為

將式（9）代入式（8）得

注2 船舶在直線循跡或圓弧循跡時，漂角為一定值。但對于直線圓弧組成路徑，漂角會發(fā)生緩慢的變化。因為漂角的動態(tài)特性變化慢于控制帶寬變化，所以可通過自適應(yīng)項估計漂角。

將式（10）展開，并結(jié)合假設(shè)2可得

2 有限時間引導(dǎo)律

本文提出的有限時間引導(dǎo)律定義如下：

其中：參數(shù)k1＞0，k2＞0，參數(shù)0＜α＜1。

考慮到系統(tǒng)漂角β未知，建立如下誤差跟蹤系統(tǒng)：

定理1 對于系統(tǒng)（13），在滿足假設(shè)3的前提下，設(shè)計的引導(dǎo)律（12）可以使系統(tǒng)（13）有限時間穩(wěn)定，即

式中：ε1和ε2為大于零的極小常數(shù)。

證明 將式（12）代入式（11）中可得

由于

將式（15）和式（16）代入式（14）得

定義李雅普諾夫函數(shù)如下：

式（18）對時間求導(dǎo)并將式（17）代入可得

令

則式（19）可以改寫為

由文獻［18］可知，存在參數(shù)0＜θ0＜1，滿足：

得到

通過引理1可知，系統(tǒng)（13）是有限時間穩(wěn)定的，并且收斂時間T1滿足：

證畢

3 仿真實驗

3.1 仿真條件

為了驗證本文所提出的有限時間引導(dǎo)律的有效性，以武漢理工大學(xué)一艘欠驅(qū)智能船舶為模型進行了直線循跡仿真實驗和曲線循跡仿真實驗，并與文獻［7］中的ILOS引導(dǎo)律進行對比分析，采用PID控制算法進行縱向和艏向控制器設(shè)計。

3.2 仿真結(jié)果與分析

1）直線循跡仿真

仿真條件設(shè)置如表1所示，引導(dǎo)律參數(shù)k1=1，α=0.8，k2=0.008。其他仿真條件如表1所示。

直線循跡的期望路徑為連接表1中2個路徑點的直線。圖2為直線循跡航行路徑曲線，圖3為直線循跡橫向偏差曲線。圖2表示2種方法均能引導(dǎo)船舶沿期望路徑航行。但是從圖3中可以看出，本文引導(dǎo)律可以使ye更快地收斂至零且沒有超調(diào)，大約在t=110 s時收斂至零；傳統(tǒng)ILOS引導(dǎo)律的ye收斂速度較慢，大約在t=150 s時收斂至零。由此可知，本文引導(dǎo)律相比傳統(tǒng)ILOS引導(dǎo)律在直線循跡時，ye的收斂速度更快，具有更好的引導(dǎo)效果。圖4為比例系數(shù)kp隨時間變化曲線。圖5表示2種方法的實際艏向角都可以較好地跟蹤期望值。

圖3 直線循跡橫向偏差曲線Fig.3 Curves of straight-line path following cross-track error

圖4 直線循跡引導(dǎo)律比例系數(shù)變化曲線Fig.4 Curve of straight-line path following guidance law proportional coefficient

圖5 直線循跡艏向角變化曲線Fig.5 Curves of straight-line path following heading angle

表1 直線循跡仿真條件Table 1 Simulation conditions of str aight-line path following

圖2 直線循跡曲線Fig.2 Curves of straight-line path following

2）曲線循跡仿真

仿真條件設(shè)置如表2所示，引導(dǎo)律參數(shù)k1=0.4，α=0.8，k2=1。其他仿真條件如表2所示。曲線循跡的期望路徑為連接表2中5個路徑點的直線圓弧曲線。圖6為曲線循跡航行路徑曲線，圖7為曲線循跡橫向偏差曲線。圖6表示2種方法均能引導(dǎo)船舶沿期望的曲線路徑航行，但本文引導(dǎo)律的路徑更接近期望路徑。為了進一步比較2種方法引導(dǎo)效果的優(yōu)劣，從圖7中可以看出，本文引導(dǎo)律的ye收斂速度更快。在3處轉(zhuǎn)彎路徑處，ye由于曲率的增大而增大，本文引導(dǎo)律的ye的峰值分別為0.01 m、0.04 m和0.04 m，傳統(tǒng)ILOS引導(dǎo)律的ye的峰值分別為0.03 m、0.3 m和0.3 m；本文引導(dǎo)律的ye重新收斂至零所花費的時間分別為148 s、127 s和127 s，傳統(tǒng)ILOS引導(dǎo)律的ye又重新收斂至零所花費的時間分別為148 s、241 s和241 s。圖8為比例系數(shù)kp隨時間變化曲線。

表2 曲線循跡仿真條件Table 2 Simulation conditions of curved-line path following

圖6 曲線循跡曲線Fig.6 Curves of curved-line path following

圖7 曲線循跡橫向偏差曲線Fig.7 Curves of curved-line path following cross-track error

結(jié)合圖3和圖4、圖7和圖8分析可知，比例系數(shù)隨橫向偏差的變化關(guān)系有大誤差、小增益和小誤差、大增益的特點。由圖7和圖8可知，當橫向偏差穩(wěn)定于零附近時，比例系數(shù)有較大的變化（如圖中的80～280 s，448～515 s，697～816 s，997～1 175 s），原因是：橫向偏差此時是一個逐漸趨近零的極小值，而比例系數(shù)對趨近零的極小值變化非常敏感，因此比例系數(shù)在此過程中變化較大。但由于橫向偏差是極小值，當橫向偏差趨于零時，比例系數(shù)的變化并不會影響引導(dǎo)效果。

圖8 曲線循跡引導(dǎo)律比例系數(shù)變化曲線Fig.8 Curve of curved-line path following guidance law proportional coefficient

圖9表示曲線循跡情況下，2種方法的實際艏向角也都可以較好地跟蹤期望值。從圖5和圖9的艏向角對比曲線可以看出，在相同PID控制參數(shù)控制下，2種方法的艏向角跟蹤效果都較好，但2種方法計算的期望艏向角不同，證明本文引導(dǎo)律計算的期望艏向角相比傳統(tǒng)ILOS引導(dǎo)律更加合理和有效。

圖9 曲線循跡艏向角變化曲線Fig.9 Curves of curved-line path following heading angle

4 結(jié) 論

經(jīng)過理論分析和仿真對比實驗，得到以下結(jié)論：

1）所提出的有限時間引導(dǎo)律適用于直線循跡和曲線循跡，設(shè)計的自適應(yīng)項可以補償環(huán)境干擾和路徑曲率對循跡效果的影響。

2）基于有限時間穩(wěn)定理論證明了漂角未知時，橫向偏差控制系統(tǒng)在應(yīng)用所提出的有限時間引導(dǎo)律時是有限時間穩(wěn)定的。

3）通過直線循跡和曲線循跡仿真對比實驗結(jié)果可知，相比于傳統(tǒng)ILOS引導(dǎo)律，本文所提出的有限時間引導(dǎo)律可以使橫向偏差更快收斂至零附近且超調(diào)量更小。

綜上所述，對于欠驅(qū)智能船舶循跡控制，提出的有限時間引導(dǎo)律具有更大的應(yīng)用潛力。本文未涉及控制器研究，但船舶運動受模型不確定和時變外部環(huán)境干擾的影響，將導(dǎo)致動力學(xué)控制性能變差，因此，下一步將研究模型不確定和時變外部環(huán)境干擾情況下欠驅(qū)智能船舶循跡控制器設(shè)計問題。