基于G-N迭代的雙星時(shí)頻差定位融合算法

徐英杰， 張 敏， 張文俊， 吳癸周， 郭福成

(國防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院， 湖南長沙 410073)

0 引言

星載無源定位系統(tǒng)以其偵察范圍廣、不受天氣氣候影響、觀測站是運(yùn)動的等優(yōu)點(diǎn)而受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，目前已被普遍應(yīng)用于軍事和民用領(lǐng)域。星載無源定位技術(shù)中常用的觀測量有到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival，TDOA)、到達(dá)頻率差(Frequency Difference of Arrival，F(xiàn)DOA)和到達(dá)角(Angle of Arrival，AOA)等，其中多星時(shí)差頻差定位憑借其可瞬時(shí)定位及高定位精度的優(yōu)勢，在對雷達(dá)等脈沖輻射源的定位中應(yīng)用更加廣泛。

國內(nèi)外的學(xué)者對多星時(shí)差頻差定位算法進(jìn)行了大量的研究,但以上研究僅針對單次定位進(jìn)行改進(jìn)且衛(wèi)星使用數(shù)量多為三顆以上。文獻(xiàn)[7]指出衛(wèi)星定位系統(tǒng)在過頂期間會多次截獲到地球上靜止輻射源發(fā)出的信號，而有效利用多次截獲的數(shù)據(jù)進(jìn)行融合并定位可以提高定位精度并減少成本。

針對多次觀測融合算法的研究，賈興江等人針對雙/多無人機(jī)測角頻差系統(tǒng)提出了一種融合多次觀測數(shù)據(jù)的定位算法，該算法在單次定位的基礎(chǔ)上，引入了批處理加權(quán)最小二乘融合算法以及序貫加權(quán)最小二乘融合算法，實(shí)現(xiàn)了多次觀測信息的有效融合。張莉等人提出了一種在觀測站存在誤差的情況下，運(yùn)動雙站對巡航目標(biāo)的時(shí)差頻差定位算法，該算法有效融合多次觀測的數(shù)據(jù)并達(dá)到了克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)。文獻(xiàn)[7]針對三星編隊(duì)過頂期間對輻射源多次觀測，提出了一種基于高斯-牛頓(Gauss-Newton，G-N)迭代的三星時(shí)差定位融合算法，該算法僅使用多次觀測的時(shí)差信息和輻射源高程信息進(jìn)行定位。實(shí)驗(yàn)證明該算法定位性能達(dá)到了CRLB且優(yōu)于現(xiàn)有的位置合批處理方法。

本文將在時(shí)差定位的基礎(chǔ)上融入頻差信息，提出一種將多次觀測的時(shí)差頻差數(shù)據(jù)與高程信息融合的雙星時(shí)差頻差定位算法。具體思路為將不同時(shí)刻下觀測到的時(shí)差信息和頻差信息融合并結(jié)合輻射源高程信息構(gòu)建代價(jià)方程，利用G-N迭代求解非線性最小二乘問題，迭代初值可以通過單次定位粗略得出，在使用相同數(shù)據(jù)的條件下，獲得比現(xiàn)有位置合批處理方法更高的定位精度。

1 定位數(shù)學(xué)模型

將衛(wèi)星1作為參考衛(wèi)星，則雙星在時(shí)刻下觀測到的衛(wèi)星2與1之間的TDOA定義為21,，即

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2 位置合批的融合算法

2.1 CRLB

由于考慮衛(wèi)星存在誤差的情況，因此未知參數(shù)=[T,T]，令=[,]，則

ln(;)=ln(;)+ln(;)=

(6)

式中為常數(shù)。則未知參數(shù)的CRLB為

(7)

式中，

經(jīng)計(jì)算可得輻射源的CRLB為

()=+

(-)

(8)

2.2 位置合批處理

工程上現(xiàn)有的位置合批處理方法主要有三種：一是取理論上的最優(yōu)單次定位結(jié)果。假設(shè)在衛(wèi)星過頂期間可以在個(gè)時(shí)刻截獲到輻射源信號，則將時(shí)刻的單次雙星時(shí)差頻差定位理論誤差設(shè)為(=1,2,…,)，理論上的最優(yōu)單次定位結(jié)果表示為

(9)

(10)

(11)

(12)

以上三種位置合批處理方法從理論上講并不是最優(yōu)的數(shù)據(jù)融合方法：理論上的最優(yōu)單次定位結(jié)果僅使用了一次觀測的數(shù)據(jù)；所有定位點(diǎn)的直接平均結(jié)果沒有考慮衛(wèi)星編隊(duì)在不同位置下的定位精度是不同的；所有定位點(diǎn)的加權(quán)平均結(jié)果所使用的加權(quán)矩陣是單次定位所得。為此下文介紹了一種融合多次觀測數(shù)據(jù)的理論最優(yōu)定位算法。

2.3 基于G-N迭代的時(shí)差頻差定位融合算法

本文算法參考文獻(xiàn)[10]給出了一種僅需估計(jì)的加權(quán)最小二乘算法，其表達(dá)式如下：

(13)

-1,,=1,…,,…,

(14)

(15)

(16)

式中，為雅克比矩陣，

(17)

迭代初值可選取個(gè)觀測時(shí)刻中的任一時(shí)刻得到的單次定位結(jié)果，其單次定位求解可參考文獻(xiàn)[11]。通過球面迭代可將算法從正球面模型轉(zhuǎn)換到WGS-84橢球模型來提高定位準(zhǔn)確性。

3 仿真分析

本節(jié)通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證上述算法。令輻射源位置的經(jīng)緯度分別為1178° W和196° N，其高程為零。用于實(shí)驗(yàn)的衛(wèi)星星歷點(diǎn)數(shù)據(jù)基于STK軟件生成，將同軌雙星的軌道高度設(shè)為1 100 km，軌道傾角設(shè)為634°，星間距設(shè)為104 km，軌道歷元時(shí)刻規(guī)定從2020年8月29日4時(shí)開始，衛(wèi)星采樣間隔設(shè)為1 s，整軌取960個(gè)星歷點(diǎn)數(shù)據(jù)作為樣本。

將時(shí)刻下觀測的時(shí)差頻差誤差協(xié)方差陣,設(shè)為

(18)

(19)

圖1 衛(wèi)星星下點(diǎn)軌跡和各種方法的定位點(diǎn)分布

通過計(jì)算位置估計(jì)的均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)來比較本文提出的算法和工程上常用的位置合批處理方法之間的性能，RMSE表達(dá)如下：

(20)

首先考慮理想情況下的電磁環(huán)境，這里的理想環(huán)境指衛(wèi)星每秒都能截獲到輻射源信號，測量誤差和衛(wèi)星誤差依然存在。我們?nèi)∪诤洗螖?shù)分別取30，60，120，240，320，480和960次，即對得到的960個(gè)星歷樣本每間隔960s進(jìn)行一次均勻采樣，用采樣所得星歷點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行融合定位，比較不同融合次數(shù)下各種位置合批處理方法的定位精度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 理想電磁環(huán)境各種方法的定位精度對比

通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出，在相同條件下，本文算法和位置加權(quán)平均都能達(dá)到CRLB，隨著融合次數(shù)逐漸增多，本文算法的性能開始優(yōu)于位置加權(quán)平均，而位置加權(quán)平均性能開始偏離CRLB；位置直接平均的性能要次于前兩種方法，但是在融合次數(shù)較多的情況下要優(yōu)于最優(yōu)單次定位。

但是在實(shí)際工程應(yīng)用中，空間電磁環(huán)境是復(fù)雜多變的，衛(wèi)星過頂期間可能僅僅截獲幾次輻射源信號，因此這里取融合次數(shù)分別為2，3，4，5，6，8和10次，同樣對得到的960個(gè)星歷樣本每間隔960/s進(jìn)行一次均勻采樣，用采樣所得星歷點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行融合定位，同樣比較不同融合次數(shù)下各種位置合批方法的定位精度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3 復(fù)雜電磁環(huán)境各種方法的定位精度對比

通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出，在相同條件下，本文算法和位置加權(quán)平均的性能都能達(dá)到CRLB且優(yōu)于位置直接平均和最優(yōu)單次定位；最優(yōu)單次定位的性能一開始優(yōu)于位置直接平均，當(dāng)融合次數(shù)大于5次之后，位置直接平均的性能開始優(yōu)于最優(yōu)單次定位。

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于G-N迭代的雙星時(shí)差頻差定位融合算法，有效地利用多次觀測的時(shí)差頻差和高程信息進(jìn)行定位。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，本文算法在理想電磁環(huán)境和復(fù)雜電磁環(huán)境下的定位精度要優(yōu)于工程上現(xiàn)有的最優(yōu)單次定位、位置直接平均和位置加權(quán)平均等位置合批處理方法。