改進Oliver-Pharr法在鐵電單晶納米壓痕中的應(yīng)用

張偉光，李繼軍,2，楊詩婷，侯小虎，邢永明

（1. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2. 上海海事大學(xué) 文理學(xué)院，上海 201306； 3. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 測試中心，內(nèi)蒙古 呼和浩特010051）

0 引言

納米壓痕技術(shù)也稱深度敏感壓痕技術(shù)，在科學(xué)研究及工業(yè)制造領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用[1-5].納米壓痕技術(shù)作為一種測試微納米尺度力學(xué)性能的重要手段，它具有分辨率高、可視化程度高、穩(wěn)定性強以及試樣制備簡單等優(yōu)點[6-10]，可以獲得材料的彈性模量、硬度、斷裂韌性等力學(xué)性質(zhì)，適用于金屬[11-13]、陶瓷[7,14-15]，以及微機電系統(tǒng)中的其他功能材料[16-18]的力學(xué)測試.

納米壓痕技術(shù)通常采用Oliver-Pharr[19]法，從彈性接觸理論出發(fā)，給出描述納米壓痕實驗位移-載荷曲線的經(jīng)驗公式，利用該經(jīng)驗公式得出接觸剛度，計算出彈性模量和硬度.Oliver-Pharr法是根據(jù)卸載曲線起始點的斜率計算接觸剛度的，只能得到最大深度處對應(yīng)的硬度和彈性模量，無法給出力學(xué)參數(shù)隨壓入深度連續(xù)變化的曲線關(guān)系.在納米壓痕測試中，還需要準(zhǔn)確校正壓頭接觸投影面積[20].而壓頭接觸投影面積受材料性質(zhì)和壓頭磨損等因素影響，準(zhǔn)確校正接觸投影面積比較困難.

本文提出了改進Oliver-Pharr法，并利用該方法分析了PIN-PMN-PT鐵電單晶納米壓痕數(shù)據(jù)，將計算結(jié)果與連續(xù)剛度測量（Continuous Stiffness Measurement，CSM）法的測量結(jié)果進行了比較，驗證了該方法在分析納米壓痕數(shù)據(jù)時的可行性和有效性.

1 理論方法

納米壓痕實驗中，接觸剛度S與壓頭的接觸投影面積A和彈性模量E之間的關(guān)系為

式中，β為與壓頭形狀有關(guān)的常數(shù)；Er為折合模量，GPa；E為待測試樣的彈性模量，GPa；ν為待測試樣的泊松比；Ei為壓頭的彈性模量，GPa；νi為壓頭的泊松比.對于金剛石Berkovich壓頭β=1.034，Ei=1 141 GPa，νi=0.07.

在Oliver-Pharr方法中，納米壓痕卸載深度h與載荷P滿足如下關(guān)系

式中，α、m為擬合參數(shù)；hf為卸載后的殘余深度，nm，可通過擬合得到；Smax為最大壓入深度處的接觸剛度，mN/nm.根據(jù)經(jīng)典彈性接觸理論[21]，冪律指數(shù)m的典型解為：圓柱型壓頭取1，拋物型壓頭取1.5，錐型壓頭取2.

考慮實際納米壓痕實驗中彈塑性失配導(dǎo)致的塑性壓痕與周圍彈性基體間的殘余接觸應(yīng)力的影響[22]，對式（3）引入虛擬載荷P0，則有

式中，α2為擬合參數(shù)；P0為虛擬載荷，mN.

虛擬載荷的引入是考慮壓頭完全卸載后，由于不可逆塑性變形的約束，塑性壓痕下仍然會存在一定程度的彈性變形，這種殘余彈性形變會使壓痕表面沿加載方向的行為就像用到P0預(yù)加載的彈簧一樣.式（5）在描述卸載曲線方面與式（3）一樣有效.

根據(jù)彈性接觸理論，當(dāng)一定幾何形狀的壓頭壓入理想的半無限彈性空間時，會存在一個與峰值載荷的大小無關(guān)的h-P關(guān)系[19].式（3）和式（5）中參數(shù)都依賴于峰值載荷，因此使用式（3）和式（5）只能確定最大載荷處的接觸剛度.

對于理想的Berkovich壓頭，根據(jù)壓頭的幾何形狀給出接觸投影面積A與接觸深度hc的關(guān)系為

由于納米級壓頭加工研磨技術(shù)的局限性和使用磨損，實際壓頭不可能是理想幾何形狀的，壓頭尖端往往偏離理想情況.這就導(dǎo)致在淺壓入深度處真實接觸投影面積函數(shù)與理想情況存在較大的差異.因此，需要在理想面積函數(shù)基礎(chǔ)上校正實際壓頭的面積函數(shù).通常，在使用過程中首先在標(biāo)準(zhǔn)試樣熔融硅上設(shè)置一系列深度不同的壓痕，擬合為

式中，C0，C1，…，C8為擬合參數(shù).在納米壓痕實驗前，需要采用標(biāo)準(zhǔn)試樣熔融硅對面積函數(shù)進行校正.一旦壓痕的接觸剛度S和真實接觸投影面積A確定，通過式（1）和式（2）可計算出待測試樣的彈性模量.硬度為

將式（5）改寫為二階多項式

式中，α0、α1和α2為擬合參數(shù).再對式（9）進行歸一化處理得到

將式（10）代入式（1）可得

式（11）反映了最大壓入深度處的接觸剛度Smax與Pmax/hmax成正比.

對于納米壓痕加載階段的任意數(shù)據(jù)（Parb，harb），如果（α1+2α2）為常數(shù)，任意加載過程中的接觸剛度為

利用式（12），在不需要預(yù)先校正壓頭面積函數(shù)的情況下，可連續(xù)確定接觸剛度.

2 材料及實驗

實驗材料選用 28Pb(In1/2Nb1/2)O3-43Pb (Mg1/3Nb2/3)O3-29PbTiO3（PIN-PMN-PT）鐵電單晶，由中國科學(xué)院上海陶瓷研究所提供，并將PIN-PMN-PT單晶切割成尺寸為6 mm×4 mm× 0.5 mm的長方形試樣.主平面6 mm×4 mm的法向是[111]晶向.對PIN-PMN-PT單晶試樣的主平面進行機械和電解拋光，使其達到光滑鏡面效果.

PIN-PMN-PT鐵電單晶的納米壓痕實驗在Nano Indenter G200納米壓痕儀上（Agilent，USA）進行，其載荷的分辨率為50 nN，最大載荷為500 mN.實驗采用金剛石三棱錐Berkovich壓頭，壓頭的尖端曲率半徑小于20 nm.實驗采用CSM方法在室溫下進行.實驗參數(shù)為：諧波位移為2 nm，頻率為45 Hz，應(yīng)變速率為0.05 s-1.實驗最大壓入深度設(shè)定為500 nm、1 000 nm、1 500 nm、2 000 nm和2 500 nm.對每一最大壓入深度測試5個點的數(shù)據(jù).為了避免每一壓痕相互不受干擾，壓痕間的距離設(shè)定為100 μm.在每一設(shè)定最大壓入深度處，保持載荷時間為10 s.

3 結(jié)果與討論

3.1 位移-載荷曲線分析

圖1給出了PIN-PMN-PT鐵電單晶在不同最大壓入深度500 nm到2 000 nm的壓入深度-載荷（h-P）曲線.從圖1中可以看出PIN-PMN-PT鐵電單晶納米壓痕壓入深度-載荷曲線離散度小、重復(fù)度很高，表明數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性高.

圖1 壓入深度-載荷曲線 Fig.1 indentation depth-load curve

圖2給出了最大壓入深度為2 000 nm的保載階段曲線.從圖2中可以清晰地看出卸載部分的最大壓入深度hmax2大于加載部分的最大壓入深度hmax1.需要指出的是，Olive-Pharr法確定接觸剛度是用的卸載部分的最大壓入深度hmax2，而不是加載階段的最大壓入深度hmax1；而式（10）和式（11）中用到的是加載階段的最大壓入深度hmax1.

圖2 保載階段壓入深度-載荷 Fig.2 loading depth-load in holding stage

根據(jù)式（10）分析PIN-PMN-PT鐵電單晶納米壓痕實驗卸載數(shù)據(jù)，計算參數(shù)α0、α1和α2的最佳擬合值，結(jié)果見圖3.從圖3可以看出，隨著最大壓入深度hmax的增加，α0和α2緩慢增加；α1明顯減小.但在整個最大壓入深度hmax變化范圍內(nèi)，2α2+α1和α1+α1+α2基本不變，其值分別為6.40和1.

圖3 各參數(shù)與最大壓入深度關(guān)系 Fig.3 relationship between each parameter and maximum indentation depth

圖4給出了PIN-PMN-PT鐵電單晶納米壓痕實驗中的殘余深度和最大壓入深度關(guān)系.

圖4 殘余深度與最大壓入深度關(guān)系 Fig.4 relationship between maximum indentation depth and residual depth

圖5給出了PIN-PMN-PT鐵電單晶納米壓痕實驗中上述引入的虛擬載荷和最大壓入載荷的關(guān)系.

圖5 虛擬載荷與最大壓入載荷關(guān)系 Fig.5 relationship between maximum indentation load and virtual load

從圖4、圖5中發(fā)現(xiàn)殘余深度和最大壓入深度呈線性關(guān)系；虛擬載荷和最大壓入載荷可以近似視為線性關(guān)系.這種線性關(guān)系與經(jīng)典彈性接觸理論[21]是一致的.這也說明在考慮塑性壓痕與周圍彈性基體間殘余接觸應(yīng)力影響的基礎(chǔ)上，引入虛擬載荷，提出的改進Oliver-Pharr法，即式（5）是合理的.

3.2 接觸剛度分析

運用式（10），對圖1中的每一條卸載曲線h-P數(shù)據(jù)進行擬合，求得參數(shù)α0、α1和α2的最佳擬合值，然后再根據(jù)式（11）計算每一個最大壓入深度處的接觸剛度.在Oliver-Pharr法中，使用式（3）對卸載曲線擬合，再通過式（4）導(dǎo)出最大壓入深度處的接觸剛度. 2種方法的運算結(jié)果顯示，2組接觸剛度值吻合很好，這也證實改進Oliver-Pharr法不會導(dǎo)致PIN-PMN-PT鐵電單晶納米壓痕卸載曲線最大壓入深度處的接觸剛度發(fā)生顯著變化.

通過式（5）對PIN-PMN-PT鐵電單晶納米壓痕實驗的各h-P曲線的卸載數(shù)據(jù)進行分析，然后使用擬合參數(shù)α2、hf和P0計算出接觸剛度，即初始卸載斜率.不同最大深度處的接觸剛度S隨每個測試點的Pmax/hmax變化情況見圖6.從圖6中可見，PIN-PMN-PT鐵電單晶納米壓痕實驗的最大深度處的接觸剛度S與Pmax/hmax呈線性關(guān)系，斜率為6.46，并與2α2+α1值一致.

圖6 接觸剛度與最大壓入載荷、最大壓入深度比的關(guān)系 Fig.6 relationship between contact stiffness and maximum indentation load and maximum indentation depth ratio

根據(jù)式（12）使用納米壓痕加載階段的實驗數(shù)據(jù)連續(xù)確定接觸剛度.圖7為接觸剛度計算值與實驗值對比結(jié)果.從圖7中可見，改進的Oliver-Pharr方法計算的接觸剛度與CSM方法結(jié)果吻合的很好.用改進Olive-Pharr法計算的接觸剛度與壓入深度呈線性關(guān)系，這種線性關(guān)系也證明式（12）分析PIN-PMN-PT鐵電單晶納米壓痕數(shù)據(jù)有效.

圖7 接觸剛度計算值與實驗值對比 Fig. 7 comparison between calculated and experimental values of contact stiffness

3.3 彈性模量和硬度分析

采用改進Oliver-Pharr法計算PIN-PMN-PT鐵電單晶的彈性模量，同時給出了CSM的測量結(jié)果，見圖8.

圖8 彈性模量計算值與實驗值對比 Fig.8 comparison between the calculated and experimental values of elastic modulus

由圖8可見，壓入深度小于200 nm，PIN-PMN-PT鐵電單晶的彈性模量隨著壓入深度的增加迅速減??；壓入深度大于200 nm，彈性模量的減小趨勢逐漸變緩，最終穩(wěn)定在134.5 GPa附近.壓入深度小于200 nm，改進Oliver-Pharr法的計算結(jié)果大于CSM的測量結(jié)果，壓入深度大于200 nm，改進Oliver-Pharr法的計算結(jié)果與CSM的測量結(jié)果吻合程度高.

采用改進Oliver-Pharr法計算了PIN-PMN-PT鐵電單晶的硬度，同時給出了CSM方法的測量結(jié)果，見圖9.

圖9 硬度計算值與實驗值對比 Fig.9 comparison of calculated and experimental hardness values

由圖9可見，壓入深度小于100 nm，PIN-PMN-PT鐵電單晶的硬度隨著壓入深度的增加迅速減?。粔喝肷疃却笥?00 nm，硬度的減小趨勢逐漸變緩，最終穩(wěn)定在6.5 GPa附近.

壓入深度小于100 nm，改進Oliver-Pharr法的計算結(jié)果大于CSM方法的測量結(jié)果，壓入深度大于100 nm，改進Oliver-Pharr法的計算結(jié)果與CSM方法的測量結(jié)果吻合程度高.

4 結(jié)論

基于傳統(tǒng)Oliver-Pharr法，提出一種根據(jù)實驗數(shù)據(jù)計算接觸剛度的改進Oliver-Pharr法.

（1）改進Oliver-Pharr法分析PIN-PMN-PT鐵電單晶納米壓痕實驗數(shù)據(jù)時，不需預(yù)先校正面積函數(shù)，就能得到與連續(xù)剛度測量實驗結(jié)果相一致的結(jié)果，避免了在預(yù)先校正面積函數(shù)時的一些不確定因素的干擾.

（2）改進Oliver-Pharr法能連續(xù)計算得到接觸剛度、楊氏和模量隨任意壓入深度的變化，且在穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)與連續(xù)剛度測量法的實驗結(jié)果相符.